1、数 学 必修 人教A版新课标导学第 二 章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.4 平面与平面垂直的性质 1 自主预习学案 2 互动探究学案 3 课时作业学案 自主预习学案教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗？怎样画一条直线方能与地面垂直？平面与平面垂直的性质定理文字语言 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面_符号语言l_a图形语言作用证明直线与平面垂直垂直 a al 1已知平面平面，则下列结论正确的个数是()内垂直于与交线的直线必垂直于内的无数条直线；在内垂直于与的交线的直线必垂直于内的任意一条
2、直线；内的任何一条直线必垂直于；过内的任意一点作与交线的垂线，则这条直线必垂直于A4 B3 C2 D1C 解析 序号 正误理由设l，a，b，bl，则ab，故内与b平行的无数条直线均垂直于内的任意直线内垂直于与交线的直线垂直于平面，则它垂直于内的任意直线内不与交线垂直的直线不垂直于垂直于交线的直线必须在平面内才与平面垂直，否则不垂直2 如 图 所 示，在 长 方 体 ABCD A1B1C1D1 的 棱 AB 上 任 取 一 点 E，作EFA1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A平行BEF平面A1B1C1D1C相交但不垂直D相交且垂直解析 平面ABB1A1平面A1B1C1D1，EF
3、平面ABB1A1，平面ABB1A1平面A1B1C1D1A1B1，EFA1B1，EF平面A1B1C1D1D 3在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C平面ABCD，且ABBC，ADCD，则BD与CC1()A平行 B共面 C垂直 D不垂直C 解析 如图所示，在四边形ABCD中，ABBC，ADCD.BDAC平面AA1C1C平面ABCD，平面AA1C1C平面ABCDAC，BD平面ABCD，BD平面AA1C1C又CC1平面AA1C1C，BDCC1，故选C4已知三棱锥PABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PAPBPC(1)求证：ABBC；(2)若ABBC，过点A作AFPB于点F，连接CF
4、，求证：平面PBD平面AFC解析 如图所示：(1)取AC的中点D，连接PD、BD，PAPC，PDAC，又平面PAC平面ABC，且平面PAC平面ABCAC，PD平面ABC，D为垂足 PAPBPC，DADBDC，AC为ABC的外接圆的直径，故ABBC(2)PAPC，ABBC，PBPB，ABPCBP AFPB，CFPB，又AFCFF，PB平面AFC，又PB平面PBD，平面PBD平面AFC互动探究学案命题方向1 面面垂直性质的应用 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是DAB60的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD
5、典例 1思路分析 解答本题可先由面面垂直依据面面垂直的性质定理得线面垂直解析 连接PG，BD，四边形ABCD是菱形且DAB60，ABD是正三角形，G是AD的中点，BGAD又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BG平面PAD规律方法 1.若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的定理将其转化为线面垂直、线线垂直在应用面面垂直的性质定理时，注意三点：两个平面垂直，是前提条件；直线必须在其中一个平面内；直线必须垂直于它们的交线2先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样便把面面垂直问题
6、转化为线面垂直问题，进而转化为线线垂直问题跟踪练习1已知P是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC，求证：BCAC解析 如图，在平面PAC内作ADPC于点D，平面PAC平面PBC，AD平面PAC，且ADPC，AD平面PBC，又BC平面PBC，ADBC PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，ADPAA，BC平面PAC，又AC平面PAC，BCAC命题方向2 与面面垂直有关的计算 如图所示，平面平面，在与的交线l上取线段AB4 cm，AC、BD分别在平面和平面内，ACl，BDl，AC3 cm，BD12 cm，求线段CD的长典例 2思路分析 要求CD的长，由BDl，易知BC
7、D为直角三角形，已知BD的长，只要知道BC的长即可由ACl知ABC为直角三角形，从而可解解析 ACl，AC3 cm，AB4 cm，BC5 cmBDl，l，BD，BD又 BC，BDBC在 RtBDC 中，DC BD2BC213 cm规律方法 1.与面面垂直有关的计算问题的类型：(1)求角的大小(或角的某个三角函数值)：如两异面直线所成的角、线面角、二面角等(2)求线段的长度或点到直线、平面的距离等(3)求几何体的体积或平面图形的面积2计算问题的解决方法：(1)上述计算问题一般在三角形中求解所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直，然后转化为线线垂直往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题(2
8、)求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等体积)法跟踪练习2如图所示，平面平面，A，B，AB与平面、所成的角分别为45和30，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A、B，且AB12，求AB的长解析 连接 AB、AB在AAB 中，AAB90，ABA30，AB12，所以 AB6 3在ABB中，BBA90，BAB45，AB12，所以 BB6 2，在ABB 中，ABB90，AB6 3，BB6 2，所以 AB6线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想，其转化关系如下：转化思想在线线、线面、面面垂直关系中的应用 已知：，是三个不同的
9、平面，l为直线，l.求证：l典例 3解析 证法一：在内取一点P，作PA垂直与的交线于A，作PB垂直与的交线于B，则PA，PB，l，lPA，lPB，PA与PB相交，又PA，PB，l证法二：在 内作直线 m 垂直于 与 的交线，在 内作直线 n 垂直于 与 的交线，m，n，mn，又 n，m，又 m，l，ml，l证法三：在 l 上取一点 P，过 P 作 的垂线 l，Pll PP PPlll同理llll与l重合 ll规律方法(1)证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”的这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线这是证法一、证法二的关键
10、证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了l这条辅助线，这是解法三的关键通过此例，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线的方法又在原题条件下，添加条件b，b，求证b.在l上任取一点B，过b和B的平面交于过B的直线a，交于过B的直线a，b，ab，同理ba，a和a同时过B且平行于b a和a重合于直线l，由l可得b(2)在垂直的判定定理和性质定理中，有很多限制条件，如“相交直线”“线在面内”“平面经过一直线”等这些条件一方面有很强的约束性；另一方面又为证明指出了方向在利用定理时，既要注意定理的严谨性，又要注意推理的规律性跟踪练习
11、 3如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BAD2，ABBC1，AD2，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点将ABE 沿 BE 折起到A1BE 的位置，如图 2 图 1 图 2(1)证明：CD平面 A1OC；(2)若平面 A1BE平面 BCDE，求二面角 A1DCB 的大小解析 在图 1 中，因为 ABBC12AD1，E 是 AD 的中点，BAD2，所以 BEAC又在图 2 中，BEA1O，BEOC，A1OOCO，从而 BE平面 A1OC又 CDBE，所以 CD平面 A1OC 图 1 图 2(2)因为 OCCD，A1CCD，所以A1CO 即为二面角 A1DCB 的平面角
12、，计算得A1CO45 如 图 所 示，四 棱 锥 P ABCD 的 底 面 是 一 个 直 角 梯 形，ABCD，BAAD，CD2AB，PA底面ABCD，E是PC的中点，则平面EBD能垂直于平面ABCD吗？请说明理由典例 4考虑问题不全面，导致证明过程不严谨错解 平面EBD不能垂直于平面ABCD.理由如下：假设平面EBD垂直于平面ABCD，过E作EOBD于O，连接AO、COEO平面EBD，EOBD，平面EBD平面ABCDBD，EO平面ABCD又PA平面ABCD，EOPA又E是PC的中点，O是AC的中点又ABCD，ABOCDO又AOOC，ABCD，这与CD2AB矛盾，假设不成立故平面EBD不能垂
13、直于平面ABCD错因分析 错误的原因是默认了A、O、C三点共线，而A、O、C三点若不共线，则ABOCDO不成立事实上，很容易证A、O、C三点共线，由于A、O、C是PC上三点P、E、C在平面ABCD上的投影，故P、E、C三点的投影均在直线AC上，故A、O、C三点共线，补上这一点证明就完整了正解 平面EBD不能垂直于平面ABCD.理由如下：假设平面EBD垂直于平面ABCD，过E作EOBD于O，连接AO、COEO平面EBD，EOBD，平面EBD平面ABCDBD，EO平面ABCD又PA平面ABCD，EOPAA、O、C是PC上三点P、E、C在平面ABCD上的投影，P、E、C三点的投影均在直线AC上，A、
14、O、C三点共线又E是PC的中点，O是AC的中点又ABCD，ABOCDO又AOOC，ABCD，这与CD2AB矛盾，假设不成立故平面EBD不能垂直于平面ABCD1设两个平面互相垂直，则()A一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面B过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面上C在一个平面内过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面D分别在两个平面内的两条直线互相垂直解析 由面面垂直的性质可知，选CC 2如图所示，三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，PAPB，ADDB，则()APD平面ABCBPD平面ABCCPD与平面ABC相交但不垂直DPD平面ABC解析 PAPB，ADDB，PDAB又
15、平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，PD平面PAB，PD平面ABCB 3如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，SA平面ABCD，且SAAB，点E为AB的中点，点F为SC的中点求证：(1)EFCD；(2)平面SCD平面SCE解析(1)连接 AC、AF、BFSA平面 ABCD，SAAC，SAC 为直角三角形又F 为 SC 的中点，AF 为 RtSAC 斜边 SC 上的中线，AF12SC又四边形 ABCD 是正方形，CBAB而由 SA平面 ABCD，得 CBSA，CB平面 SAB，CBSB，BF 为 RtSBC 斜边 SC 上的中线，BF12SC，AFBFAFB 为等腰三角形E 为 AB 的中点，EFAB又 CDAB，EFCD(2)在RtSAE和RtCBE中，SACB，AEBE，RtSAERtCBE，SEEC，即SEC为等腰三角形 F为SC的中点，EFSC又EFCD，且SCCDC，EF平面SCD又EF平面SCE，平面SCD平面SCE课 时 作 业 学 案
