1、江苏省常州市教学联盟2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数满足，则复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】利用复数的除法运算法则，求得答案.【详解】因为故选：B【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.2.函数的导数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函数求导法则和复合函数求导法则，求得答案.【详解】对函数求导，可得导函数故选：C【点睛】本题考查导数的运算中复合函数求导，属于基础题.3.从5名男生和4名女生中，选
2、两人参加歌唱比赛，恰好选到一男一女的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别计算总的基本事件个数，和满足条件的基本事件个数，由古典概型概率计算公式求得答案.【详解】设事件A：从5名男生和4名女生中，选两人参加歌唱比赛，恰好选到一男一女，则总的基本事件个数有个；恰好选到一男一女的基本事件个数有，则，故选：B【点睛】本题考查利用组合公式求古典概型问题的概率，属于基础题.4.展开式中的常数项为（ ）A. 80B. -80C. 270D. -270【答案】D【解析】【分析】由公式表示二项展开式的通项，令其指数为零，即可表示指定项的系数.【详解】该二项展开式的通项为，令，即时，
3、有故选：D【点睛】本题考查求二项式展开式中指定项的系数，属于基础题.5.已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）A. 0.8B. 0.7C. 0.6D. 0.5【答案】A【解析】【分析】由正态分布的对称性可知，再由对立事件的概率计算方式求得答案.【详解】由正态分布的对称性可知，故故选：A【点睛】本题考查利用正态分布的对称性求概率，属于基础题.6.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将已知函数在区间上单调递减转化其导函数在该区间上恒小于等于零，进而由恒成立问题解决即可.【详解】因为若函数在区间上单调递减，则其导函数在区间上恒小于等于零，即
4、有，令，显然其在上单调递减，则故故选：A【点睛】本题考查由已知区间单调性求函数中参数的取值范围，属于简单题.7.用0，1，2，8这九个数字组成无重复数字的三位数的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】特殊元素优先考虑，优先考虑最高位置不排0，再任选2个数字全排列，由分步计数原理运算公式计算即可.【详解】第一步：优先考虑最高位放置非0外的8个数中的任意一个有8种可能；第二步：从除上述数字意外的8个数字中任选2个在后面全排列，有种可能；故已知要求的事件的个数是.故选：B【点睛】本题考查由排列问题中排数问题，属于基础题.8.若函数在区间内有且仅有一个零点，则在区间上的最大值为
5、（ ）A. 4B. 10C. 16D. 20【答案】D【解析】【分析】对函数求导整理得，分类讨论当时，在上单调递增且，则不符合题意；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则该零点处就是极值处，进而构建方程求得参数，再利用导数求三次函数的最值即可.【详解】因为，则，当时，显然，则原函数在上单调递增，又因为，则在上没有零点，不符合题意；当时，由于，令即函数在上单调递减，在上单调递增；又因为函数在有且仅有一个零点，则所以，即，令，解得或2故其单调性为：02+0-0+极大值极小值20所以函数的极大值为，右端点值为，故函数在区间上的最大值为20故选：D【点睛】本题考查由函数零点个数求参数，并求三次函数在
6、指定区间的最值，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9.若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）A. 第3项B. 第4项C. 第5项D. 第6项【答案】CD【解析】【分析】该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，表示出第3项与第8项的系数，可求得n，再表示该展开式中二项式系数最大的项即可.【详解】由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第3项与第8项的系数为，又因为其相等，则所以该展开式中二项式系数最大的项为与项即为第5
7、项；第6项.故选：CD【点睛】本题考查表示二项展开式的项的系数，还考查了求其中系数最大的项，属于基础题.10.下列等式中，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】选项A， 选项B， 选项D，利用排列数公式和组合数公式的阶乘形式表示并整理即可说明；选项C，由组合数性质还原化简即可判定.【详解】选项A，左边= =右边，正确；选项B，右边左边，正确；选项C，右边左边，错误；选项D，右边左边，正确.故选：ABD【点睛】本题考查排列数公式和组合数公式的运算，还考查了组合数公式的性质，属于中档题.11.在平面直角坐标系中，点在曲线上，则点到直线的距离可以为（ ）A. B. C.
8、 D. 【答案】CD【解析】【分析】将问题转化为计算曲线与直线的最短距离，由导数的几何意义求得即可.【详解】设直线与曲线相切于点，则，因为解得，即，故曲线与直线的最短距离为所以可以为故选：CD【点睛】本题考查导数的几何意义，属于中档题.12.4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同下列结论中正确的是（ ）A. 恰有四支球队并列第一名为不可能事件B. 有可能出现恰有三支球队并列第一名C. 恰有两支球队并列第一名的概率为D. 只有一支球队名列第一名的概率为【答案】ABD【解
9、析】【分析】4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；选项A，这6场比赛中不满足4支球队得分相同的的情况；选项B，举特例说明即可；选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，再分类计数相互获胜的可能数，最后由古典概型计算概率；选项D，只有一支球队名列第一名，则该球队应赢了其他三支球队，由古典概型问题计算即可.【详解】4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；选项A，这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队伍获胜，那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，正确；选项B，其中6场比赛中，依次获胜的可以是，此时3队都
10、获得2分，并列第一名，正确；选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，若选中a，b，其中第一类a赢b，有a,b,c,d,a,b和a,b,d,c,a,b两种情况，同理第二类b赢a，也有两种，故恰有两支球队并列第一名的概率为，错误；选项D，从4支球队中选一支为第一名有4种可能；这一支球队比赛的3场应都赢，则另外3场的可能有种，故只有一支球队名列第一名的概率为，正确.故选：ABD【点睛】本题考查利用计数原理解决实际问题的概率问题，还考查了事件成立与否的判定，属于较难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卷中的横线上13.曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】
11、【分析】求函数求导，利用导数的几何意义求得切线方程的斜率，再由点斜式表示切线方程.【详解】对函数求导得，则切线的斜率为，故切线方程为，即故答案为：【点睛】本题考查求利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属于基础题.14.在复平面内，若复数满足，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】由已知表示复数z在复平面的运动轨迹为圆，又因为所求可视为两点间的距离，最后计算点到圆心的距离加半径即为最大值.【详解】设复数，则，即故复数z在复平面上的运动轨迹是以为圆心，2为半径的圆，则可视为在复平面上点与间的距离，由圆的性质可知.故答案为：【点睛】本题考查复数的几何意义，还考查了与圆有关的距离的最值问题，属于简单题
12、.15.设随机变量的概率分布列如下表所示：123其中，成等差数列，若随机变量均值为，则的方差为_【答案】【解析】【分析】利用等差中项的性质与分布列中概率和为1和均值的计算公式构建方程求得参数，再由方差的计算公式求得答案.【详解】因为，成等差数列，则，其在分布列中，所以，又因为机变量的均值，且,故所以的方差为故答案为：【点睛】本题考查分布列的性质与均值的计算，还考查了方差公式的应用与计算，属于简单题.16.已知函数，其中为自然对数的底数，若函数与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】将已知等价转化为函数与函数的图象有两个交点，分别作出图象，观察其只需满足二次函数顶点低
13、于函数的顶点，从而构建不等式，解得答案.【详解】函数与函数的图象有两个交点，等价于函数与函数的图象有两个交点，对函数求导，得，,，函数单调递增；,，函数单调递减，在处取得极大值，也是最大值为，对二次函数，其对称轴为，顶点坐标为分别作出图象，其若要有两个交点，则故答案为：【点睛】本题考查由函数图象的交点个数求参数的取值范围，属于中档题.四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知复数（，是虚数单位）（1）若是纯虚数，求实数的值；（2）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用复数除法公式计算并整理，
14、再由纯虚数中实部为零，虚部不为零构建方程组，求得答案；（2）由共轭复数和复数的加减法计算公式整理，再由复数的几何意义构建不等式组，求得答案.【详解】（1），因为为纯虚数，所以，解得（2）因为是的共轭复数，所以，所以因为复数在复平面上对应的点位于第二象限，所以，解得【点睛】本题考查复数中利用纯虚数的定义求参数取值范围，还考查了由复数的几何意义求参数范围，属于基础题.18.在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球从这10个球中任取3个求：（1）取出的3个球中红球的个数的分布列；（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）优先表示
15、随机变量可能的取值，显然该事件服从超几何分布，由其概率计算公式分别求得对应概率即可列出分布列；（2）事件“红球个数多于白球个数” 可以分解为，“恰好取出个红球和个黑球”为事件，“恰好取出个红球”为事件，“恰好取出个红球”为事件，再由计数原理和古典概型概率公式分别计算概率，最后由相互独立事件的概率计算方式求得答案.【详解】（1）题意知的所有可能取值为，且服从参数为， 的超几何分布，因此 所以 ， 故 的分布列为 ：X0123P（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件，“恰好取出个红球和个黑球”为事件，“恰好取出个红球”为事件，“恰好取出个红球”为事件， 由于事件，彼此互斥，且，而，所
16、以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：答：取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为【点睛】本题考查求超几何分布事件的分布列，还考查了相互独立事件的概率的计算，属于中档题.19.（1）解不等式：；（2）已知，且求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由排列数公式转化已知，再解一元二次不等式，最后注意排列数公式中；（2）由二项展开式的通项公式表示的系数，从而求得n，最后由赋值法分别赋值与x=-1再相加除以2即可.【详解】（1）由题得，化简得，即，所以因为，且所以不等式的解集为（2）二项式展开中的系数为，所以，化简得，即，因为，所以所以，当当，+得，所以【点睛】本题考查运用排列数
17、公式求参数取值范围，还考查了二项展开式中由指定项系数求参数并利用赋值法求系数和问题，属于中档题.20.已知函数(是自然对数的底数，)（1）求函数的单调区间；（2）设函数，求证：当时，【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为，；（2）详见解析【解析】【分析】（1）优先确定定义域，再由求导法则求导，分别令导函数大于0与小于0构建不等式，解得解集即为对应的单调区间；（2）由（1）表示的解析式，欲证，等价转化为证明大于0，再对求导分析单调性并求最值，从而说明即可得证.【详解】（1）由题得函数的定义域为，化简得令，解得或，所以单调增区间为，令，解得或，所以单调减区间为，综上的单调增区间为，单调减区间为，
18、（2），即，令，令得列表-+极小值所以当时，最小值为，所以因为当时，所以，得证【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，还考了利用导数证明不等式，属于较难题.21.某工厂生产了一批高精尖的仪器，为确保仪器的可靠性，工厂安排了一批专家检测仪器的可靠性，毎台仪器被毎位专家评议为“可靠”的概率均为，且每台仪器是否可靠相互独立（1）当，现抽取4台仪器，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为，求的分布列和数学期望；（2）为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪器可靠，则仪器通过检测若三位专家检测结果都为不可靠，则仪器报废其余情况，仪器需要回厂返修
19、拟定每台仪器检测费用为100元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费现以此方案实施，且抽检仪器为100台，工厂预算3.3万元用于检测和维修，问费用是否有可能会超过预算？并说明理由【答案】（1）分布列详见解析，数学期望；（2）不会超过预算，理由详见解析【解析】【分析】（1）该事件满足二项分布，由其概率计算公式分别计算随机变量为，4的概率，即可列出分布列，再由np计算均值；（2）设每台仪器所需费为X元，则X的可能取值为100，400，为100时，即都通过或都不通过，即可计算，再由对立事件概率计算方式求得，即可表示一台仪器花费的数学期望函数，利用导数求得最值，即可判定.【详解】（1）题
20、意知的所有可能取值为，4，且服从参数为的二项分布，所以，故 的分布列为 ：X01234P从而（2）设每台仪器所需费为X元，则X的可能取值为100，400，所以=，化简得，令，解得，当，在单调递增，当，在单调递减，所以当时，的最大值为实施此方案，最高费用为元33000元，不会超过预算【点睛】本题考查求二项分布事件的分布列与均值，利用数学期望解决实际问题，还考查了利用导数求最值，属于较难题.22.已知，函数，函数（1）当函数图象与轴相切时，求实数的值；（2）若函数对恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，讨论函数在区间上的零点个数【答案】（1）；（2）；（3）当时，在区间有1个零点，当时，在区间内无
21、零点【解析】【分析】（1）设切点，由导数的几何意义为切线的斜率构建方程，求得答案；（2）结合已知表示函数的解析式，对其求导，由导函数解析式可知在单调递增，再分类讨论当，当，两种情况下的单调性和最值即可；（3）结合已知表示函数的解析式，对其求导，由导函数解析式可知在单调递减，分类讨论当时，易证，无零点；当时，由不等式性质与单调性易证得有1个零点；当时，由零点的存在性定理可知存在唯一，使得，再利用导数分析单调性，进而分析出此时无零点.详解】（1）由题得设切点，所以，解得；（2），因为在单调递增，所以在单调递增，所以当，在单调递增，所以恒成立，所以当，所以，当，所以，使得，当，在单调递减，所以时，与矛盾舍去综上 （3），在单调递减当时，因为，所以，即在单调递增则，所以在区间内无零点当时， 所以，所以存在唯一，使得所以在区间有1个零点当时，在单调递减，所以存在唯一，使得，当，在单调递增，当，在单调递减，所以当时，最大值为，代入得，因为，所以，故，所以，在在区间内无零点综上，当时，在区间有1个零点，当时，在区间内无零点【点睛】本题考查由导数的几何意义求参数，利用导数由不等式恒成立求参数的取值范围，还考查了利用导数研究函数零点问题，属于难题.
