1、第53讲 圆锥曲线的综合应用最值、范围问题思维导图知识梳理1几何转化代数法若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决2函数取值法当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值(或值域)、常用方法有：(1)配方法；(2)基本不等式法；(3)单调性法；(4)三角换元法；(5)导数法等，要特别注意自变量的取值范围.题型归纳题型1 构建目标不等式解最值或范围问题【例1-1】(2020山东济宁一模)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且椭圆C过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C分别相交于
2、A，B两点，且与圆O：x2y22相交于E，F两点，求|AB|EF|2的取值范围【解】(1)由题意得，所以a2b2，所以椭圆的方程为1，将点代入方程得b22，即a23，所以椭圆C的标准方程为1.(2)由(1)可知，椭圆的右焦点为(1,0)，若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x1，则A，B，E(1,1)，F(1，1)，所以|AB|，|EF|24，|AB|EF|2.若直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立可得(23k2)x26k2x3k260，则x1x2，x1x2，所以|AB|.因为圆心O(0,0)到直线l的距离d，所以|EF|24，所以|AB|EF
3、|2.因为k20，)，所以|AB|EF|2.综上，|AB|EF|2.【例1-2】设椭圆1(a)的右焦点为F，右顶点为A.已知|OA|OF|1，其中O为原点，e为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程及离心率e的值；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率的取值范围解(1)由题意可知|OF|c ，又|OA|OF|1，所以a1，解得a2，所以椭圆的方程为1，离心率e.(2)设M(xM，yM)，易知A(2,0)，在MAO中，MOAMAO|MA|MO|，即(xM2)2yxy，化简得xM1.设直线l的斜率为k(k
4、0)，则直线l的方程为yk(x2)设B(xB，yB)，联立消去y，整理得(4k23)x216k2x16k2120，解得x2或x.由题意得xB，从而yB.由(1)知F(1,0)，设H(0，yH)，则(1，yH)，.由BFHF，得0，即0，解得yH，所以直线MH的方程为yx.由消去y，得xM.由xM1，得1，解得k或k，所以直线l的斜率的取值范围为.【例1-3】已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点Q到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x平分，设弦MN的垂直平分线的方程为ykxm，求m的取值范围解
5、(1)由题意可设椭圆C的方程为1(ab0)，由条件可得a2，c，则b1.故椭圆C的方程为x21.(2)法一：设弦MN的中点为P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则由点M，N为椭圆C上的点，可知4xy4,4xy4，两式相减，得4(xMxN)(xMxN)(yMyN)(yMyN)0，将xMxN21，yMyN2y0，代入上式得k.又点P在弦MN的垂直平分线上，所以y0km，所以my0ky0.由点P在线段BB上，所以yBy0yB，即y0.所以m0，得k，所以mk，即m的取值范围为.【跟踪训练1-1】已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4.直
6、线l：ykxm与y轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两个点(1)求椭圆E的方程；(2)若3，求m2的取值范围【解】(1)根据已知设椭圆E的方程为1(ab0)，焦距为2c，由已知得，ca，b2a2c2.以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，42a4，a2，b1.椭圆E的方程为x21.(2)根据已知得P(0，m)，设A(x1，kx1m)，B(x2，kx2m)，由消去y，得(k24)x22mkxm240.由已知得4m2k24(k24)(m24)0，即k2m240，且x1x2，x1x2.由3，得x13x2.3(x1x2)24x1x212x12x0.0，即m2k2m2k240.当m21时，m2k
7、2m2k240不成立，k2.k2m240，m240，即0.解得1m2b0)，焦距为2c，则bc，a2b2c22b2，椭圆E的标准方程为1.又椭圆E过点，1，解得b21.椭圆E的标准方程为y21.(2)由于点(2,0)在椭圆E外，直线l的斜率存在设直线l的斜率为k，则直线l：yk(x2)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y得，(12k2)x28k2x8k220.由0，得0k2，从而x1x2，x1x2，|MN| |x1x2|2.点F2(1,0)到直线l的距离d，F2MN的面积S|MN|d.令12k2t，则t1,2)，S3 3 3 ，当，即t时，S有最大值，Smax，此时k.当直线l的斜率
8、为时，可使F2MN的面积最大，其最大值为.【跟踪训练2-1】(2020山东高考预测卷)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M(a,2)在抛物线C上(1)若|MF|6，求抛物线的标准方程；(2)若直线xyt与抛物线C交于A，B两点，点N的坐标为(1,0)，且满足NANB，原点O到直线AB的距离不小于，求p的取值范围【解】(1)由题意及抛物线的定义得，a6，又点M(a，2)在抛物线C上，所以202pa，由解得或所以抛物线的标准方程为y24x或y220x.(2)法一：联立方程，得消去y，整理得x2(2t2p)xt20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可得x1x22t2
9、p，x1x2t2.因为NANB，所以(x11)(x21)y1y20，又y1tx1，y2tx2，所以2x1x2(1t)(x1x2)t210，得2p.由原点O到直线AB的距离不小于，得，即t2(舍去)或t2，因为2pt14，函数y在t2，)上单调递增，所以p，即p的取值范围为.法二：将直线xyt，抛物线C，点N均向左平移1个单位长度，得到直线x1yt，抛物线y22p(x1)(p0)与点N(0,0)联立方程，得消去y，整理得x2(2t22p)x(t1)22p0，设直线x1yt与抛物线y22p(x1)交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可得x1x2(t1)22p.消去x，整理得y
10、22py2pt0，由根与系数的关系可得y1y22pt.由已知得，x1x2y1y20，所以(t1)22p2pt0，整理得2p.易得，即t2(舍去)或t2，因为2pt14，所以函数y在t2，)上单调递增，所以p，即p的取值范围为.【跟踪训练2-2】已知M为椭圆C：1上的动点，过点M作x轴的垂线，垂足为D，点P满足.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若A，B两点分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的左焦点，直线PB与椭圆C交于点Q，直线QF，PA的斜率分别为kQF，kPA，求的取值范围【解】(1)设P(x，y)，M(m，n)，依题意知D(m,0)，且y0.由，得(mx，y)(0，n)，则有又M(m
11、，n)为椭圆C：1上的点，1，即x2y225，故动点P的轨迹E的方程为x2y225(y0)(2)依题意知A(5,0)，B(5,0)，F(4,0)，设Q(x0，y0)，线段AB为圆E的直径，APBP，设直线PB的斜率为kPB，则kQFkPBkQFkQB，点P不同于A，B两点且直线QF的斜率存在，5x05且x04，又y在(5，4)和(4,5)上都是减函数，(，0)，故的取值范围是(，0).【名师指导】求圆锥曲线中范围、最值的2种方法几何法若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来求解代数法若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值、范围常用的方法有基本不等式法、导数法、判别式法等
