1、山西省太原市2021届高三数学一模试题 文（含解析）一、选择题（每小题5分）.1已知全集U1，2，3，4，5，A2，3，B1，3，5，则A（UB）（）A2，3，4B2C1，5D1，3，4，52已知复数z满足z（1i）2i（其中i为虚数单位），则z的值为（）A1iB1+iC1iD1+i3公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a2sin18，若a2+b4，则（）AB2CD44函数ycos（sinx）的图象大致是（）ABCD5在区间1，1上任取一个实数k，则使得直线ykx与圆（x2）2+y21有
2、公共点的概率是（）ABCD6已知，为单位向量，且满足|，则|2+|（）ABCD27已知an是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且Sn是等差数列，则下列结论错误的是（）Aan+Sn是等差数列BanSn是等比数列Can2是等差数列D是等比数列8已知实数x，y满足，则z的取值范围是（）A（，1（2，4B1，2）（2，4C1，2）4，+）D（，14，+）9已知a4ln3，b3ln4，c4ln3，则下列结论正确的是（）AbcaBcbaCbacDabc10已知正四面体ABCD的棱长为4，点E在棱AB上，且BE3AE，过E作四面体ABCD外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（）AB3CD11已知过
3、抛物线y22px（p0）的焦点F（）的直线与该抛物线相交于A，B两点，若AOF的面积与BOF（O为坐标原点）的面积之比是2，则|AB|（）ABCD12已知函数f（x）sin（x+）（0，0）的图象关于x对称，且f（）0，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（）AB若g（x）是奇函数，则的最小值为1C若f（x）在上单调递增，则（0，D若g（x）是周期最大的偶函数，则f（x）在0，上单调递增二、填空题（每小题5分）.13函数f（x）（x1）ex的图象在点（0，f（0）处的切线方程为 14某公司初级、中级和高级职称的职工人数恰好组成一个公比为q的等比数列，现采
4、用分层抽样从全体职工中随机抽取130人进行一项活动，已知被抽取的高级职工人数为10，则被抽取的初级职工的人数为 15已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，3csinA4bsinC，cosC，点D在线段AB上，且BD2DA，若ABC的面积为2，则a ，CD 16已知椭圆C：1（ab0）的左焦点是点F，过原点倾斜角为的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若MFN，则椭圆C的离心率是 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，毎个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知数列an的前n项和为Sn，数列bn
5、满足bnan+an+1（nN*），再从下面条件与中任选一个作为已知条件，完成以下问题：（）证明：bn是等比数列；（）求数列nbn的前n项和Tn条件：a1，4Sn+2an+13n+1（nN*）；条件：a1a2，an+2an+23n（nN*）18某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深人调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表满意度老年人中年人青年人报团游自助游报团游自助游报团游自助游满意12
6、1184156一般2164412不满意116232（）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？（）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随机抽取2人征集改造建议，求这2人中有老年人的概率（）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？19如图，在三棱锥PABC中，PAB是正三角形，G是PAB的重心，D，E，H分别是PA，BC，PC的中点，点F在BC上，且BF3FC（）求证：平面DFH平面PGE；（）若PBAC，ABAC2，BC2，求三棱锥PDEG的体积20已知函数f（x）cosx+xsin
7、x（）讨论f（x）在2，2上的单调性；（）求函数g（x）f（x）x21零点的个数21已知椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点分别是F1、F2，其离心率e，点P是椭圆C上一动点，PF1F2内切圆面积的最大值为（）求椭圆C的标准方程；（）直线PF1，PF2与椭圆C分别相交于点A，B，求证：+为定值（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos
8、（）0（）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（）已知点P（3，），曲线C1与C2相交于A，B两个不同点，求|PA|PB|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+|+|xm|（m0）（）当m1时，求函数f（x）的最小值；（）若存在x（0，1），使得不等式f（x）3成立，求实数m的取值范围参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集U1，2，3，4，5，A2，3，B1，3，5，则A（UB）（）A2，3，4B2C1，5D1，3，4，5解：全集U1，2，3，4，5，A2，3，B1，3，5，所以UB2，4，所以
9、A（UB）2，3，4故选：A2已知复数z满足z（1i）2i（其中i为虚数单位），则z的值为（）A1iB1+iC1iD1+i解：复数z满足z（1i）2i，z1+i，故选：B3公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a2sin18，若a2+b4，则（）AB2CD4解：a2sin18，若a2+b4，b4a244sin2184（1sin218）4cos218，2故选：B4函数ycos（sinx）的图象大致是（）ABCD解：f（x）cos（sin（x）cos（sinx）f（x），函数f（x）为偶函数，
10、1sinx1，+2kx+2k，ycos（sinx）在x2k时有最大值，且y0，故选：B5在区间1，1上任取一个实数k，则使得直线ykx与圆（x2）2+y21有公共点的概率是（）ABCD解：圆（x2）2+y21的圆心为（2，0），半径为1要使直线ykx与圆（x2）2+y21有公共点，则圆心到直线ykx的距离 1，解得：k在区间1，1中随机取一个实数k，则事件“直线ykx与圆（x2）2+y21有公共点”发生的概率为：故选：C6已知，为单位向量，且满足|，则|2+|（）ABCD2解：，为单位向量，且满足|，可得2，解得0，所以|2+|故选：C7已知an是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且S
11、n是等差数列，则下列结论错误的是（）Aan+Sn是等差数列BanSn是等比数列Can2是等差数列D是等比数列解：由Sn是等差数列，可得：2（a1+a2）a1+a1+a2+a3，a2a3，an是各项均为正数的等比数列，a2a2q，可得q1ana10，an+Sn（n+1）a1，数列an+Sn是等差数列，因此A正确，an2是常数列，为等差数列，因此C正确a10，是等比数列，因此D正确anSnn，anSn不是等比数列，因此B不正确故选：B8已知实数x，y满足，则z的取值范围是（）A（，1（2，4B1，2）（2，4C1，2）4，+）D（，14，+）解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，1），由
12、图可知，B（1，0），z2+，其几何意义为可行域内的动点与定点（2，1）连线的斜率加2由图可知，z的取值范围是（，14，+）故选：D9已知a4ln3，b3ln4，c4ln3，则下列结论正确的是（）AbcaBcbaCbacDabc解：a4ln3，b3ln4，c4ln3，设f（x）（x0），则f（x），令f（x）0，则xe，当x（0，e），f（x）在 （0，e）上递增，当x（e，+），f（x）在（e，+）递减，43e，f（4）f（）f（3），即 ，acb故选：A10已知正四面体ABCD的棱长为4，点E在棱AB上，且BE3AE，过E作四面体ABCD外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（）AB3CD
13、解：如图，正四面体ABCD的棱长为4，则正方体的棱长为，正四面体ABCD的外接球即正方体的外接球，其半径为2R，R，cosOAB，OAR，AEAB，3，则截面圆的半径r，截面面积的最小值为Sr23故选：B11已知过抛物线y22px（p0）的焦点F（）的直线与该抛物线相交于A，B两点，若AOF的面积与BOF（O为坐标原点）的面积之比是2，则|AB|（）ABCD解：由焦点的坐标可得，所以p1，所以抛物线的方程为：y22x，设直线AB的方程为：xmy+，设A（x1，y1），B（x2，y2），设A在x轴上方，设m0，联立整理可得：y22my10，y1+y22m，y1y21，由题意2，可得y12y2，代
14、入可得：8m21，解得：m，将m的值代入可得y1+y2，x1+x2m（y1+y2）+1，由抛物线的性质可得|AB|x1+x2+p+1，故选：A12已知函数f（x）sin（x+）（0，0）的图象关于x对称，且f（）0，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（）AB若g（x）是奇函数，则的最小值为1C若f（x）在上单调递增，则（0，D若g（x）是周期最大的偶函数，则f（x）在0，上单调递增解：由于函数f（x）sin（x+）（0，0）的图象关于x对称，（）+k+，kZ，f（）0，+k，kZ，将代入，无解，故A错，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）
15、sin（x+）的图象，则g（x）的图象关于y轴对称，故g（x）为偶函数，故B错；由题意，（）（）T，k10，1，2，1+2k1，则1，C选项错，故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分试题中包含两空的，答对第一空的给3分，全部答对的给5分13函数f（x）（x1）ex的图象在点（0，f（0）处的切线方程为y1解：由题意可得f（x）xex，则f（0）0因为f（0）1，所以所求切线方程为y+10，即y1故答案为：y114某公司初级、中级和高级职称的职工人数恰好组成一个公比为q的等比数列，现采用分层抽样从全体职工中随机抽取130人进行一项活动，已知被抽取的高级职工人数为10，则被抽取的
16、初级职工的人数为90解：根据题意知，抽取的样本中初级、中级和高级职称的人数也组成一个公比为q的等比数列，且a310，S3130，所以，消去a1，解得q，或q（不合题意，舍去），当q时，a190，即被抽取的初级职工的人数为90故答案为：9015已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，3csinA4bsinC，cosC，点D在线段AB上，且BD2DA，若ABC的面积为2，则a4，CD解：由正弦定理及3csinA4bsinC得3ac4bc，故a，由余弦定理得cosC，整理得bc，因为cosC，所以sinC，因为ABC的面积S2，所以b3，c3，a4，因为BD2DA，所以，即，整理得，4+
17、，故CD故答案为：4，16已知椭圆C：1（ab0）的左焦点是点F，过原点倾斜角为的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若MFN，则椭圆C的离心率是解：设右焦点为F，由题意可得直线l的方程为：y，设M（x0，y0），N（x0，y0），连接MF，NF，因为MFN，所以四边形FMFN为平行四边形，则FMF，而SMFFb2tanb2cy0，（焦三角形面积公式Sb2tan，为焦顶角），所以可得y0，代入直线l的方程可得：x0，将M的坐标代入椭圆的方程可得：+1，整理可得：4a414a2c2+c40，即e414e2+40，解得：e273，由椭圆的离心率e（0，1），所以e，故答案为：三、解答题：共70分，解答
18、应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，毎个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知数列an的前n项和为Sn，数列bn满足bnan+an+1（nN*），再从下面条件与中任选一个作为已知条件，完成以下问题：（）证明：bn是等比数列；（）求数列nbn的前n项和Tn条件：a1，4Sn+2an+13n+1（nN*）；条件：a1a2，an+2an+23n（nN*）解：选条件：a1，4Sn+2an+13n+1（nN*）；（）证明：当n1时，4S1+2a232，因为S1a1，所以a2，所以b1a1+a23，当n1时，4Sn+2an+13n+1，
19、4Sn+1+2an+23n+2，可得an+2+an+13n+1，即bnan+an+13n（nN*），则bn是首项、公比均为3的等比数列；（）由（）可得bn3n（nN*），所以Tn13+232+333+n3n，3Tn132+233+334+n3n+1，两式相减可得2Tn3+32+33+3nn3n+1n3n+1，化简可得Tn（2n1）3n+1选条件：a1a2，an+2an+23n（nN*）（）证明：由an+2an+23n（nN*），可得an+2+an+1an+an+1+23n，因为bnan+an+1，所以bn+1bn+23n，则bn+13n+1bn3n，所以bn3nb13a1+a230，所以bn3
20、n（nN*），则bn是首项、公比均为3的等比数列；（）由（）可得bn3n（nN*），所以Tn13+232+333+n3n，3Tn132+233+334+n3n+1，两式相减可得2Tn3+32+33+3nn3n+1n3n+1，化简可得Tn（2n1）3n+118某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深人调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表满意度老年人中年人青年人报团游自助游报团游自助游报团
21、游自助游满意121184156一般2164412不满意116232（）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？（）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随机抽取2人征集改造建议，求这2人中有老年人的概率（）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？解：（）由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为：P1，P2，P3，P1P2P3，老年人更倾向于选择报团游（）由题意得满意度为“不满意”的自助游人群中，老年人有1人，记为a，中年人有2人，记为b，c，青年人有2人，记为d，e，
22、从中随机先取2人，基本事件共10个，分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），其中这2人中有老年人包含的基本事件有4个，分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），这2人中有老年人的概率为P（）根据表中的数据，得到：报团游的满意率为P4，自助游的满意率为P5，P4P5，建议他选择报团游19如图，在三棱锥PABC中，PAB是正三角形，G是PAB的重心，D，E，H分别是PA，BC，PC的中点，点F在BC上，且BF3FC（）求证：平面DFH平面PGE；（）若PBAC，ABAC2，BC2，求三棱锥PDEG
23、的体积解：（）证明：连结BG，由题意可得BG与GD共线，且BG2GD，E是BC的中点，BF3FC，F是CE的中点，GEDF，GE平面PGE；DF平面PGE；DF平面PGE，H是PC的中点，FHPE，PE平面PGE，FH平面PGE；FH平面PGE，DFFHF，DF平面DEF，FH平面DEF，平面DFH平面PGE；（）ABAC2，BC，AB2+AC28BC2，ABAC，PBAC，ABPBB，AC平面PAB，PAB是正三角形，SPAB，VPDEGVEPDG.20已知函数f（x）cosx+xsinx（）讨论f（x）在2，2上的单调性；（）求函数g（x）f（x）x21零点的个数解：（）因为f（x）cos
24、（x）xsin（x）cosx+xsinxf（x），xR，所以f（x）是R上的偶函数，也是2，2上的偶函数，当x0，2时，f（x）xcosx，令f（x）0，则0x或x2，令f（x）0，则x，所以f（x）在0，和，2上单调递增，在（，）上单调递减，因为f（x）是偶函数，所以f（x）在2，和，0上单调递减，在（，）上单调递增综上所述，f（x）在2，、，0和（，）上单调递减，在（，）、0，和，2上单调递增（）由（）得g（x）f（x）（x）21g（x），所以g（x）是R上的偶函数，（1）当x0，2时，g（x）x（cosx），令g（x）0，则0x或x2，令g（x）0，则x，所以g（x）在0，和，2上单调递
25、增，在（，）上单调递减，因为g（）g（0）0，g（）（）（）20，g（2）20，所以g（x）在（0，）上有一个零点，所以g（x）在0，2上有两个零点；（2）当x（2，+）时，g（x）cosx+xsinxx21xx20，所以g（x）在（2，+）上没有零点由（1）（2）及g（x）是偶函数可得g（x）在R上有三个零点21已知椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点分别是F1、F2，其离心率e，点P是椭圆C上一动点，PF1F2内切圆面积的最大值为（）求椭圆C的标准方程；（）直线PF1，PF2与椭圆C分别相交于点A，B，求证：+为定值解：（）设PF1F2内切圆的半径为r，则，r，当PF1F2的面积最大时，PF
26、1F2内切圆的半径r最大，显然当点P为椭圆的上顶点或下顶点时，PF1F2的面积最大，最大值为bc，r的最大值为，即，由，解得：，椭圆C的标准方程为：（）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），当y00时，设直线PF1，PF2的直线方程分别为xm1y1，xm2y+1，由得：，x0m1y01，同理，由可得，当y00时，直线PF1，PF2与x轴重合，易得：3+，综上所述，+为定值（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参
27、数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos（）0（）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（）已知点P（3，），曲线C1与C2相交于A，B两个不同点，求|PA|PB|的值解：（）曲线C1的参数方程为（t为参数），整理得，转换为普通方程为；曲线C2的极坐标方程为cos（）0，根据，转换为直角坐标方程为；（）把直线转换为（t为参数），代入，得到：，所以，所以选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+|+|xm|（m0）（）当m1时，求函数f（x）的最小值；（）若存在x（0，1），使得不等式f（x）3成立，求实数m的取值范围解：（）当m1时，f（x）|x+2|+|x1|，|x+2|+|x1|（x+2）（x1）|3，故当且仅当（x+2）（x1）0，即当2x1时，f（x）取最小值3；（）由题意得存在x（0，1）使得x+|xm|3，（1）当m1时，x+|xm|3等价于+m3，解得：1m2；（2）当0m1时，令g（x）x+|xm|，0xm时，g（x）+m，mx1时，g（x）2x+m，故g（x）min+m，故+m3，故1m2，与0m1矛盾，此时m无解，综上：实数m的取值范围是1，2
