1、浙江大学附属中学2021学年第一学期高三12月月考数学试卷考试时间：120分钟；试卷总分：150分选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则（ ）A B C D2已知为虚数单位，复数，则（ ）A BC D（第3题图）3某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（ ）A B CD4已知为单位向量，则是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 5函数，的图象大致为（ ）6若，则（ ）AB C D7在的展开式中常数项为（ ）ABCD8已知随机变量的分
2、布列如下表：X-101Pabc其中.若的方差对所有都成立，则（ ）A. B. C. D.9设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为 （ ） A B C. D. 10已知等差数列满足，公差为d，数列满足，若对任意的都有，则公差d的取值范围是 （ ）A B C. D. 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。11若，则 ， 12在中，则 ，若是的中点，则 13安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行毕业生实践，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有 种；其中学生甲被单独安排去杭州的概率是 .14已知且，数列
3、的通项满足，则 ，记的前项和为，则 .15若实数满足，则的最小值为 .16已知， ，则的取值范围为 .（第17题图）17如图，已知正四面体的棱长为2，是棱上一动点，若于，则线段的长度的最小值是 .三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18（本题满分14分）已知函数（1）求函数的单调递增区间；（2）设ABC中的内角，所对的边分别为，若，且，求的最大值19（本题满分15分）已知函数（1）若，解不等式：；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围20（本题满分15分）（第20题图）如图，将矩形沿折成二面角，其中为的中点，已知.，为的中点.（1）求证平面；（2）求
4、与平面所成角的正弦值. 21（本题满分15分）已知数列的前n项和为，数列为等差数列，其前n项和为，.（1）求；（2）证明：对，有.22（本题满分15分）已知函数为的导函数，求证：（1）在上存在唯一零点；（2）有且仅有两个不同的零点浙江大学附属中学2021学年第一学期高三12月月考参考答案一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）12345678910DDACABADDB 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11. 12. 13. 150， 14. 84， -2 15. 16. 17. 三、解答题（本
5、大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18（本题满分14分）18解：（）. 3分所以，解得，Z.所以函数的单调递增区间为，Z. 7分（）因为，所以.所以. 10分又因为，所以，即. 而，所以，即. 14分19（本题满分15分）19.解：（1）由，得. 2分， .4分. 6分（2） 8分 法一：即：对任意恒成立. 10分 ，此时无解； 12分 ，此时无解； 14分 综上， 15分 法二：即：对任意恒成立.时，左式右式； 10分 时，对任意恒成立，时，； 12分 时，对任意恒成立，时，； 14分 综上， 15分 20.（本题满分15分）20.（I）取的中点，连结,易得所以四
6、边形是 平行四边形，因此4分又平面，所以/平面 6分（II）取的中点中点，连结,由，所以，又，所以平面，所以，又，所以平面，所以平面平面8分又，所以平面9分所以，又，所以平面10分所以是与平面所成角12分又，所以14分所以15分另解：如图建立空间直角坐标系，则设由即9分得，10分所以,，,，设平面的法向量，由，得，所以取12分设与平面所成角为，则14分15分21.（本题满分15分） 解：（1）由，得，上述两式相减得，即，故为等比数列，公比为又，得，得 设的公差为d，得，即，故 （2）证明：由（1），故，又，得， 从而，22.（本题满分15分）(1)f(x)lnxx2sinx，定义域(0，)，f
7、(x)，f(x)2sinx，当x(0，)时，sinx0，所以f(x)2sinx0，f(x)在x(0，)上单调递减，3分又由f()30，f(1)2cos10，由零点存在定理知f(x)在(0，)上存在唯一零点6分(2)先证lnxx1(x0)，记g(x)lnxx1，g(x)，所以当x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递增；当x(1，)时，g(x)0，g(x)单调递减；所以g(x)maxg(1)0，所以g(x)0成立，即lnxx1(x0)结论成立8分由(1)知f(x)在(0，)上存在唯一零点，记为，则，由f(x)在x(0，)上单调递减知时f(x)0，f(x)单调递增，时f(x)0， f(x)单调递减，因0(因为lnxx1)，f()ln0，0，所以f(x)在和(1，)上各有一个零点故f(x)在(0，)上有两个不同的零点10分当x，2时，sinx0，因为lnxx1，所以f(x)lnxx2sinx10；10分当x(2，)时，sinx1，lnxx1，f(x)lnxx2sinxlnxx2，令t(x)lnxx2，x(2，)，t(x)，所以t(x)lnxx2在(2，)上单调递减，f(x)lnxx2sinxlnxx2ln2220，综上可知f(x)有且仅有两个不同的零点15分
