1、9.5圆锥曲线的综合问题应用篇知行合一应用一构建圆锥曲线模型解决与物理有关的实际问题1.(2021兰州一模,12课程学习情境)已知P(2,-2)是离心率为12的椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)外一点,经过点P的光线被y轴反射后,所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切,则此条切线的斜率是()A.-18B.-12C.1D.18答案D因为过点P的光线被y轴反射后,所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切,所以点P与椭圆右顶点的连线与x轴垂直,所以a=2.因为e=ca=12,所以c=1,所以b=a2-c2=3,所以椭圆的方程为x24+y23=1.由入射光线与反射光线的对称性知,反射光线所在直线过
2、点(-2,-2),设与椭圆相切的反射光线所在的直线的斜率为k,则该直线的方程为y+2=k(x+2),与椭圆方程联立,消去y,得(4k2+3)x2+16k(k-1)x+16k2-32k+4=0.所以=16k(k-1)2-4(4k2+3)(16k2-32k+4)=16(24k-3)=0,解得k=18.故选D.2.(2022届河北衡水模拟,14科技发展)“九天揽月”是中华民族的伟大梦想,我国探月工程的进展与实力举世瞩目.2019年,“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆,月球上“嫦娥四号”的着陆点被命名为天河基地,如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图,圆形轨道距月球表面100千米,椭圆形轨道的一个焦
3、点是月球球心,一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处,另一个长轴顶点距月球表面15千米,则椭圆形轨道的焦距为千米.答案85解析设椭圆的长半轴长为a千米,半焦距为c千米,月球半径为r千米,由题意可得a+c=100+r,a-c=15+r,解得2c=85,即椭圆形轨道的焦距为85千米.3.(2021皖北协作体4月联考,14科技发展)“天问一号”推开了我国行星探测的大门,通过一次发射,将实现火星环绕、着陆、巡视,是世界首创,也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日,天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体,球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时,天问一号探测器成功实
4、施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”,同时将近火点高度调整至约265千米.若此时远火点距离约为11945千米,火星半径约为3400千米,则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为.(精确到0.1)答案0.6解析设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c,最大值为a+c,根据题意可得近火点满足a-c=3400+265=3665,远火点满足a+c=3400+11945=15345,解得a=9505,c=5840,所以椭圆的离心率为e=ca=584095050.6.应用二构建数学模型解决数学文化问
5、题(2020云南名校月考,10数学文化与圆锥曲线)古希腊数学家阿波罗尼斯(约公元前262年公元前190年)的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果,他证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k0,且k1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中,设A(-3,0),B(3,0),动点M满足|MA|MB|=2,则动点M的轨迹方程为()A.(x-5)2+y2=16B.x2+(y-5)2=9C.(x+5)2+y2=16D.x2+(y+5)2=9答案A设M(x,y),由|MA|MB|=2,得(x+3)2+y2(x-3)2+y2=4,所以(x+3)2+y2=4(x-3)
6、2+4y2,即x2-10x+y2+9=0.故动点M的轨迹方程为(x-5)2+y2=16.故选A.创新篇守正出奇创新一曲线性质探索1.(2022届山东青岛二中开学考,7)将函数y=13-x2-2(x-3,3)的图象绕点(-3,0)逆时针旋转(0),得到曲线C,对于每一个旋转角,曲线C都是一个函数的图象,则最大时的正切值为()A.32B.23C.1D.3答案B由y=13-x2-2(x-3,3),得y0,x2+(y+2)2=13,则函数的图象是以M(0,-2)为圆心的圆弧AB,其中A(-3,0),B(3,0),如图所示,由图可知当此圆弧绕点A(-3,0)逆时针旋转的角大于MAB,即当圆心M在x轴上方
7、时,曲线C不是一个函数的图象,所以的最大值即为MAB,又tanMAB=23,所以最大时的正切值为23.故选B.2.(2021浙江宁波北仑中学质检,8)已知定点P(m,0),动点Q在圆O:x2+y2=16上,PQ的垂直平分线交直线OQ于M点,若动点M的轨迹是双曲线,则m的值可以是()A.2B.3C.4D.5答案D当P在圆内时,设直线PQ与圆的另一交点为N,点H为弦NQ的中点,线段PQ的中点为E,连接OH,则OHPQ,线段PQ的中点E在线段HQ上(不包括端点),则线段PQ的中垂线交线段OQ于点M,如图1.连接MP,则|QM|=|MP|,所以|MP|+|MO|=|MQ|+|MO|=|OQ|=4,则|
8、MP|+|MO|=4|OP|=|m|,此时M的轨迹是以O,P为焦点的椭圆.图1图2当P在圆上时,线段PQ的中垂线交线段OQ于圆心O.当P在圆外时,线段PQ的中点E在线段HP上(不包括端点),则线段PQ的中垂线交线段QO的延长线于点M,如图2.连接MP,则|QM|=|MP|,所以|MP|-|MO|=|MQ|-|MO|=|OQ|=4,则|MP|-|MO|=4|OP|=|m|,此时M的轨迹是以O,P为焦点的双曲线的一支.同理,当Q在圆上运动时,还会得到|MO|-|MP|=44,故选D.3.(2022届北京八中10月月考,15)“双纽线”像数字“8”,不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美,同时也
9、具有有价值的艺术美,是形成其他一些常见的漂亮图案的基石,也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线C:(x2+y2)2=4(x2-y2)是“双纽线”,下面是关于曲线C的四个结论:曲线C的方程中,x-2,2;曲线C经过3个整点(横、纵坐标均为整数的点);若直线y=kx与曲线C只有一个交点,则实数k的取值范围是(-,-1)(1,+);曲线C上任意一点到坐标原点的距离不超过2.则上述结论正确的是.答案解析对于,因为(x2+y2)2=4(x2-y2)0,所以x2y2,且x2+y2x2-y2,所以x2+y24,即x2+y22,所以曲线C上任意一点到坐标原点的距离不超过2,中结论正确;对于,由x2+y24
10、,可得x24,解得-2x2,所以曲线C的方程中,x-2,2,中结论正确;对于,在曲线C的方程中,令y=0,可得x4=4x2,解得x=0或x=2,所以曲线C经过点(-2,0)、(0,0)、(2,0),由(x2+y2)2=4(x2-y2)得x4+(2y2-4)x2+y4+4y2=0,令t=x2,可得t2+(2y2-4)t+y4+4y2=0,=(2y2-4)2-4(y4+4y2)=16(1-2y2),当y212时,0),如图,一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P,反射后又射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行于x轴的方向射出,且P,Q间的最小距离为3,则抛物线的方程为.答案y2=3x解析由抛物线的光学
11、性质可得,PQ必过抛物线的焦点Fp2,0,设直线PQ的方程为x=my+p2,P(x1,y1),Q(x2,y2),由x=my+p2,y2=2px得y2-2pmy-p2=0,则y1+y2=2pm,y1y2=-p2,所以|PQ|=1+m2|y1-y2|=1+m2(y1+y2)2-4y1y2=(1+m2)(4p2m2+4p2)=2p(m2+1)2p,当且仅当m2=0,即直线PQ垂直于x轴时,|PQ|取得最小值,由题意得|PQ|min=3,即2p=3,所以此时抛物线的方程为y2=3x.创新二自选条件的问题探索1.(2022届广西玉林一模,20改编题型创新)双曲线C的渐近线方程为y=33x,左焦点为F1(
12、-2,0);双曲线C的实轴长为23,点P为双曲线C右支上一点,F1,F2分别为左、右焦点,且PF1PF2的最小值为-1,在上面两个条件中任选一个,补充在下面横线中,再进行求解.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2.(1)求双曲线C满足条件时的标准方程;(2)过点Q(2,0)作直线l与(1)中所求的双曲线C右支交于A,B两点,若AQ=2QB,求直线l的方程.解析(1)若选条件,由已知得c=2,ba=33,c2=a2+b2,解得a=3,b=1.双曲线C的标准方程为x23-y2=1.若选条件,由题意可得,2a=23,则a=3,PF1PF2=(PO+OF1)(PO+OF2)=PO2-c2a2-c2=3-c2,PF1PF2的最小值为-1,3-c2=-1,即c2=4,b2=c2-a2=4-3=1,双曲线C的标准方程为x23-y2=1.(2)设直线l的方程为x-2=my,A(x1,y1),B(x2,y2),AQ=2QB,y1=-2y2,由x-2=my,x23-y2=1化简整理,可得(m2-3)y2+4my+1=0,则y1+y2=-4mm2-3,y1y2=1m2-3,由得m=111,检验得0,直线l的方程为y=11(x-2).
