1、海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学 （理科） 2013.4本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合，则A. B. C. D.2.在极坐标系中, 曲线围成的图形面积为.B. . .3.某程序的框图如图所示，执行该程序， 若输入的值为5，则输出的值为. B. C. D.4.不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则的值为. B. C. D.5. 若向量满足，则 的值为A. B. C. D. 6. 一个盒
2、子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有A.12种 B. 15种 C. 17种 D.19种7. 抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是A. B. C. D.8. 设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：，使得是直角三角形；，使得是等边三角形；三条直线上存在四点，使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的序号是A. B. C. D. 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在复平面上，若复数（）对应的点恰好在实
3、轴上，则=_.10.等差数列中, 则11.如图，与切于点，交弦的延长线于点，过点作圆的切线交于点. 若，则弦的长为_.12.在中，若，则13.已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_. 14.已知函数，任取，定义集合：，点，满足. 设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记. 则（1）函数的最大值是_；（2）函数的单调递增区间为_.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数.（）求的值和的最小正周期；（）求函数在区间上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加
4、了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人. （I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分； (ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望. 17.（本小题满分14分）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，点在线段上，且（）求证
5、：；（）求证：平面;（）求二面角的余弦值18.（本小题满分13分）已知函数(其中为常数且)在处取得极值. (I) 当时，求的单调区间；(II) 若在上的最大值为，求的值.19.（本小题满分14分）已知圆：（）.若椭圆：（）的右顶点为圆的圆心，离心率为. （I）求椭圆的方程；（II）若存在直线：，使得直线与椭圆分别交于，两点，与圆分别交于，两点，点在线段上，且，求圆半径的取值范围.20.（本小题满分13分）设为平面直角坐标系上的两点，其中.令，若,且，则称点为点的“相关点”，记作：. 已知为平面上一个定点，平面上点列满足：，且点的坐标为，其中.（）请问：点的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是
6、否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；（）求证：若与重合，一定为偶数；（）若，且，记，求的最大值.海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理）参考答案及评分标准20134说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案BCCDADBB90 1014 11.12 13 14二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15（本小题满分13分）解：（I）因为2分4分6分所以7分所以 的周期为9分（II）当时
7、，所以当时，函数取得最小值11分当时，函数取得最大值13分16.解：（）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有人1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为3分(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为7分（）设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19，208分， ， 所以的分布列为161718192011分所以所以的数学期望为13分17.证明：(I) 因为是正三角形，是中点，所以,即1分又因为，平面，2分又，所以平面3分又平面，所以4分（）在正三角形中，5分在中，因为为中点，所以，所以，所以6分在等腰直角三角形中，所以，所以8分又平
8、面，平面，所以平面9分（）因为，所以，分别以为轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系，所以由（）可知，为平面的法向量10分，设平面的一个法向量为,则，即，令则平面的一个法向量为12分设二面角的大小为， 则所以二面角余弦值为14分18. 解：（I）因为所以2分因为函数在处取得极值3分当时，随的变化情况如下表：00 极大值 极小值5分所以的单调递增区间为, 单调递减区间为6分(II)因为令,7分因为在 处取得极值，所以当时，在上单调递增，在上单调递减所以在区间上的最大值为，令，解得9分当，当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增所以最大值1可能在或处取得而所以，解得11分当时,在区间上单调递增，
9、上单调递减，上单调递增所以最大值1可能在或处取得而所以，解得，与矛盾12分当时，在区间上单调递增，在单调递减，所以最大值1可能在处取得，而，矛盾 综上所述，或. 13分1.（本小题满分14分）解：（I）设椭圆的焦距为，因为，所以，所以. 所以椭圆：4分（II）设（，），(，)由直线与椭圆交于两点，则所以 ，则，6分所以7分点（，0）到直线的距离则9分显然，若点也在线段上，则由对称性可知，直线就是轴，矛盾，所以要使，只要所以11分当时，12分当时，又显然, 所以综上，14分20.解：（）因为为非零整数）故或，所以点的相关点有8个2分又因为，即所以这些可能值对应的点在以为圆心，为半径的圆上4分（）依题意与重合则，即，两式相加得（*）因为故为奇数，于是（*）的左边就是个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以一定为偶数8分（）令，依题意，因为10分因为有，且为非零整数，所以当的个数越多，则的值越大，而且在这个序列中，数字的位置越靠前，则相应的的值越大而当取值为1或的次数最多时，取2的次数才能最多，的值才能最大.当时，令所有的都为1，都取2，则.当时，若，此时，可取个1，个，此时可都取2，达到最大此时=.若,令,其余的中有个，个1.相应的，对于，有,其余的都为2，则当时，令则相应的取则=+综上，13分
