1、单元质量测试(七)时间：120分钟满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1直线3xy10的倾斜角的大小为()A30B60C.120D150答案C解析直线的斜率k，120.故选C.2“a2”是“直线yax2与yx1垂直”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析由a2得两直线斜率满足(2)1，即两直线垂直；由两直线垂直得(a)1，解得a2.故选A.3已知双曲线1(a0，b0)的离心率为，则双曲线的渐近线方程为()AyxByxCy2xDyx答案A解析由题意得，双曲线的离心率e，故，故双曲
2、线的渐近线方程为yxx.4(2022河北省实验中学高三开学考试)若圆x2y22ax4ya2120上存在到直线4x3y20的距离等于1的点，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.答案A解析将圆的方程化为标准形式得圆(xa)2(y2)216，所以圆心坐标为(a，2)，半径为r4，因为圆x2y22ax4ya4120上存在到直线4x3y20的距离等于1的点，所以圆心到直线的距离d满足dr15，即d5，解得a.故选A.5已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点，离心率为.若点M在C上，且MF1MF2，M到原点的距离为，则C的方程为()A.1B1Cx21Dy21答案C解析显然OM为Rt
3、MF1F2的中线，则|OM|F1F2|c.又e，则a1.进而b2c2a22.故C的方程为x21.故选C.6(2021福建省泉州市高中毕业班质量检测(一)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点A，B在C上，若|FB|FA|4，|AB|5，则直线AB的斜率为()A.BC.D答案C解析如图，l为抛物线的准线，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为A，B，由抛物线的定义可知，|FB|BB|，|FA|AA|，所以|BB|AA|FB|FA|4.过A作AH垂直BB于H，在ABH中，|AB|5，|BH|4，所以|AH| 3，所以tanABH，kAB，由对称可知kAB也满足题意，点A，B其他情形用相同的
4、方法可得该结果故选C.7已知椭圆E：1(ab0)的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆外，且线段PF1与椭圆E交于点M.若|OM|MF1|OP|，则椭圆E的离心率为()A.BC.1D答案C解析过M作MHx轴于点H，由|OM|MF1|，知H为OF1的中点，进而得MH为PF1O的中位线，则M为F1P的中点从而依题意，有|F1P|OP|，即sinOF1P，则OF1P.则MF1O是边长为c的等边三角形连接MF2(F2为椭圆E的右焦点)，则由|OM|OF1|OF2|可知F1MF2.故e1.故选C.8. 如图，已知椭圆1(a0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若F1
5、，H是线段MN的三等分点，则F2MN的周长为()A20B10C.2D4答案D解析解法一：设点H(0，t)，0t0，b0)的下焦点F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2，则双曲线的离心率为_答案1解析过双曲线1(a0，b0)的下焦点F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，则|AB|，由以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2，可得2c，c2a22ac0，e22e10，解得e1或e1(舍去)15过抛物线x28y的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若，则AOB的面积为_答案6解析易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为ykx2，由得x28kx160，x
6、AxB16.，xB2xA，或则SAOB|OF|xBxA|6.16(2022重庆模拟)已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|_.答案12解析根据已知条件画出图形，如图设MN的中点为P，F1，F2为椭圆C的焦点，连接PF1，PF2.显然PF1是MAN的中位线，PF2是MBN的中位线，所以|AN|BN|2|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)2612.四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26，1)，Q(2,1)，且
7、|MP|5|MQ|.(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C，过点N(2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程解(1)由题意，得5，即5，化简，得x2y22x2y230，所以点M的轨迹方程是(x1)2(y1)225.轨迹是以(1,1)为圆心，5为半径的圆(2)当直线l的斜率不存在时，得直线l的方程为x2，此时所截得的线段长度为28，符合题意当直线l的斜率存在时，设l的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，圆心(1,1)到直线l的距离d.由题意，得24252，解得k.所以直线l的方程为xy0，即5x12y460.综上，直线l的方程为x2或5x12y
8、460.18(2021广东汕头二模)(本小题满分12分)已知双曲线方程为1，F1，F2为双曲线的左、右焦点，离心率为2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足0，|PF1|PF2|6.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点F2作直线l交双曲线于A，B两点，则在x轴上是否存在定点Q(m,0)，使得为定值？若存在，请求出m的值和该定值；若不存在，请说明理由解(1)由题意可得e2，可得c2a，b2c2a23a2，所以ba，因为0，|PF1|PF2|6，|PF1|PF2|2a，所以在RtPF1F2中，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2，而|PF1|2|PF2|24c2，所以4c2124a
9、2，可得b23，a21，所以双曲线的标准方程为x21.(2)由(1)可得F2(2,0)，当l的斜率不为0时，设l的方程为xty2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理可得(3t21)y212ty90，3t210且0，所以y1y2，y1y2，因为(x1m，y1)(x2m，y2)(ty12m)(ty22m)y1y2(t21)y1y2(2m)t(y1y2)(2m)2(t21)(2m)t(2m)2(2m)2，要使为定值，则，解得m1，所以Q(1,0)，定值为0.当直线l的斜率为0时，l的方程为y0，此时A(1,0)，B(1,0)，Q(1,0)，则0.综上，存在定点Q(1,0)，使得为定值0.1
10、9(2022湖南长沙长郡中学高三上开学考试)(本小题满分12分)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交抛物线C于D，E两点，且|DE|4.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l过点A(2,0)且与抛物线C交于P，Q两点，点R在抛物线C上，点N在x轴上，0，直线PR交x轴于点B，且点B在点A的右侧，记APN的面积为S1，RNB的面积为S2，求的最小值解(1)由已知可得焦点F，将x代入抛物线的方程，可得y2p2，则|DE|2p4，解得p2，抛物线C的方程为y24x.(2) 如图，设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，R(xR，yR)，N(xN,0)，令yP2t(t0
11、)，则xPt2，直线l过点A(2,0)，直线l的方程为xy2，将其与y24x联立并消去x，得y2y80，由根与系数的关系，得2tyQ8，即yQ，Q，连接QR，0，N为PQR的重心，xN，0，yRyPyQ2t，则xR2，xN，R，N，则直线PR的方程为y2tt(xt2)，令y0，得xt22，即B(t22,0)，点B在点A的右侧，t222，即t24，2，令mt24，则m0，2222(当且仅当m，即m2时取等号)，的最小值为.20(2021新高考八省联考)(本小题满分12分)双曲线C：1(a0，b0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上当BFAF时，|AF|BF|.(1)求C的离心率；(2)若B在
12、第一象限，证明：BFA2BAF.解(1)设双曲线的半焦距为c，则F(c,0)，B，因为|AF|BF|，故ac，故c2ac2a20，即e2e20，又e0，故e2.(2)证明：设B(x0，y0)，其中x0a，y00.因为e2，故c2a，ba，故双曲线的渐近线方程为yx，所以BAF，BFA.当BFA时，由题意易得BAF，此时BFA2BAF.当BFA时，因为tanBFA，tanBAF，所以tan2BAFtanBFA，因为2BAF，故BFA2BAF.综上，BFA2BAF.21(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2y2r2(r0)与直线l0：yx2相切，点A为圆C1上一动点，ANx
13、轴于点N，且动点M满足，设动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设P，Q是曲线C上两动点，线段PQ的中点为T，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，且k1k2，求|OT|的取值范围解(1)设动点M(x，y)，A(x0，y0)，ANx轴于点N，N(x0,0)又圆C1：x2y2r2(r0)与直线l0：yx2，即xy20相切，r2，圆C1：x2y24.由，得(x，y)(xx0，yy0)(x0,0)，即又点A为圆C1上一动点，x24y24，曲线C的方程为y21.(2)当直线PQ的斜率不存在时，可取直线OP的方程为yx，不妨取点P，则Q，T(，0)，|OT|.当直线PQ的斜率存在时，设直线P
14、Q的方程为ykxm，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由可得(14k2)x28kmx4m240，x1x2，x1x2.k1k2，4y1y2x1x20.4(kx1m)(kx2m)x1x2(4k21)x1x24km(x1x2)4m24m244m20，化简得2m214k2，m2.64k2m24(4k21)(4m24)16(4k21m2)16m20，设T(x0，y0)，则x0，y0kx0m.|OT|2xy2，|OT|.综上，|OT|的取值范围为.22(2021湖南长沙市雅礼中学高三月考(二)(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)过点P(2,1)，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，且1.(1)求
15、椭圆C的方程；(2)过P点的直线l1与椭圆C有且只有一个公共点，直线l2平行于OP(O为原点)，且与椭圆C交于A，B两点，与直线x2交于点M(M介于A，B两点之间)当PAB面积最大时，求直线l2的方程；求证：|PA|MB|PB|MA|.解(1)设F1(c,0)，F2(c,0)，(c2，1)，(c2，1)因为c2411，所以c，又P(2,1)在椭圆上，故1，结合a2b26，解得a28，b22，故所求椭圆C的方程为1.(2)由于kOP，设直线l2的方程为yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y整理得x22tx2t240，4(t24)0t24，x1x22t，x1x22t24，则|AB| ，又点P到直线l2的距离d.所以SPAB 2.当且仅当4t2t2时取等号，此时t22，又M介于A，B两点之间，故t，故直线l2的方程为yx.证明：要证结论成立，只需证明，由角平分线性质，即证直线x2为APB的平分线，转化成证明kPAkPB0.因为kPAkPB0，因此结论成立
