1、5.3.2 函数的极值与最大(小)值(精讲)思维导图常见考法考点一 极值(点)【例1】(2021全国高二课时练习)求下列函数的极值：(1)f(x)x3x23x；(2)f(x)x44x35；(3)f(x).【答案】(1)极大值为，极小值为9；(2)极小值为22；(3)极大值为【解析】(1)函数的定义域为R.f(x)x22x3(x1)(x3)令f(x)0，得x11，x23.由此可知当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示： x(，1)1(1，3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值当x1时，f(x)有极大值.当x3时，f(x)有极小值9.(2)因为f(x)x44x35，所以f(x)
2、4x312x24x2(x3)令f(x)4x2(x3)0，得x10，x23.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，3)3(3，)f(x)00f(x)不是极值极小值故当x3时函数取得极小值，且f(3)22.(3)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x).令f(x)0，得xe.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，) f(x)0f(x)极大值故当xe时函数取得极大值，且f(e) .【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)求下列函数的极值：(1)； (2) (3)；(4).【答案】(1)极小值为，无极大值；(2)极小值为，无极大值.(3)极
3、大值；极小值；(4)极小值，没有极大值【解析】(1)因为，所以，由可得，由可得，所以在单调递减，在上单调递增，所以时，取得极小值为，无极大值；(2)函数的定义域为，由可得，由可得，所以在单调递减，在上单调递增，所以时，取得极小值为，无极大值.(3)函数的定义域是，令，解得或，当变化时，、的变化情况如下表： 0 0 极大值极小值由表可知，函数的极大值为；的极小值为.(4)函数的定义域为，令，得.当变化时，、的变化情况如下表：0极小值由表可知，的极小值为，且没有极大值考点二 已知极值(点)求参数【例2】(1)(2021全国高二单元测试)若函数在处取得极值，则( )A2B3C4D5(2)(2021全
4、国高二课时练习)已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数的取值范围是( )ABCD【答案】(1)D(2)B【解析】(1)因为，所以，又函数在处取得极值，所以，即此时，当或时，当时，故是的极大值点，故符合题意故选：D(2)，函数既存在极大值，又存在极小值，导函数有两个不相等的变号零点，即，解得或实数的取值范围是，故选:B【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)函数，则( )Ax为f(x)的极大值点Bx 为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点【答案】D【解析】由函数， 则，令，解得，令，解得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以为函数的极小值点.故选
5、：D2(2021全国高二课时练习)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有( )A1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】依题意，记函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当axx1时，f(x)0；当x1xx2时，f(x)0；当x2xx4时，f(x)0；当x4xb时，f(x)0.因此，函数f(x)分别在xx1，xx4处取得极大值.故选：B3(2021全国高二课时练习)已知有极大值和极小值，则的取值范围为( )ABCD【答案】D【解析】由可得，因为有极大值和极小值，所以有两个
6、不相等的实数根，所以，即，解得：或，所以的取值范围为，故选：D.4(2021全国高二课时练习)已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为( )ABCD【答案】A【解析】易知函数的导数，令，得，即设，则，当时，或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，作出的图象如图所示由图得或当时，恒成立，所以无极值，所以故选：A5(2021全国高二课时练习)已知函数在区间上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】.因为在上有3个不同的极值点，所以在上有3个不同的实根，所以在上有2个不同的实根(且不等于1).由，得.令，则
7、，显然函数在单调递减，在单调递增.又，因为，所以.故答案为：考点三 最值【例3】(2021全国)求下列各函数的最值：(1)f(x)x42x23，x3,2；(2)f(x)x33x26x2，x1,1.【答案】(1)最小值60，最大值4；(2)最小值为12，最大值为2.【解析】(1)4x34x，令 4x(x1)(x1)0，得x1，x0，x1.当x变化时， 及f(x)的变化情况如下表：x3(3，1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2 000f(x)60递增极大值4递减极小值3递增极大值4递减5当x3时，f(x)取最小值60；当x1或x1时，f(x)取最大值4.(2) 3x26x63(x22x2)3
8、(x1)23， 在1,1内恒大于0，f(x)在1,1上为增函数.故当x1时，,当x1时，.即f(x)的最小值为12，最大值为2.【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)函数f(x)x2x，则下列结论正确的是( )A当x时，f(x)取最大值B当x时，f(x)取最小值C当x时，f(x)取最大值D当x时，f(x)取最小值【答案】D【解析】函数f(x)x2x，f(x)2xx(2x)2xx2xln 2.令f(x)0，得x.当x时，f(x)0，故函数在x处取极小值，也是最小值故选：D2(2021全国高二专题练习)函数在上的最大值是( )A当时，B当时，C当时，D当时，【答案】A【解析】因为，则.当时，此
9、时函数单调递增，当时，此时函数单调递减.所以，当时，函数取得最大值，即.故选：A.3(2021全国高二课时练习)求下列各函数的最值.(1)f(x)x33x26x2，x1，1；(2)f(x)xsin x，x0，2.(3)f(x)2x36x23，x2，4；(4)f(x)exex，x0，a，a为正实数.【答案】(1) f(x)的最小值为12，最大值为2；(2) f(x)的最小值f(0)0；最大值f(2).(3) f(x)的最大值为35，最小值为37；(4)f(x)的最小值为eaea，最大值为0.【解析】(1)f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23f(x)在内恒大于0，f(x)在1，1上为
10、增函数.故当x1时，f(x)min12；当x1时，f(x)max2.即f(x)的最小值为12，最大值为2.(2)f(x)cos x，令f(x)0，又x0，2，解得x或x或；函数在和上单调递增，在上单调递减计算得f(0)0，f(2)，.所以当x0时，f(x)有最小值f(0)0；当x2时，f(x)有最大值f(2).(3)f(x)6x212x6x(x2).令f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表x2(2，0)0(0，2)2(2，4)4f(x)00f(x)37极大值3极小值535当x4时，f(x)取最大值35.当x2时，f(x)取最小值37.即f(x)的最大值为35，
11、最小值为37.(4)当x0，a时，f(x)0恒成立，即f(x)在0，a上是减函数.故当xa时，f(x)有最小值f(a)eaea；当x0时，f(x)有最大值f(0)e0e00.即f(x)的最小值为eaea，最大值为0.考点四 已知最值求参数【例4】(2021全国)已知函数()，的最大值为3，最小值为，则( )ABCD【答案】C【解析】令，得或(舍去)当时，当时，故为极小值点，也是最小值点，的最小值为，最大值为，解得，故选：C【一隅三反】1(2021昆明市外国语学校)已知函数，若函数在上存在最小值，则a的取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】，当时，单调递减；当或时，单调递增，在、处取得极值.
12、，函数在处取得最小值，函数在上存在最小值，解得.故选：A.2(2021全国)已知函数在处取得最大值，则下列判断正确的是( )，ABCD【答案】B【解析】，令， ，可得函数在上单调递增，在上单调递减时，；(1)；(3)，(4)，存在唯一，满足使得函数在单调递增，在，上单调递减函数在处取得极大值即最大值，满足，因此正确故选：B3(2021全国高二课时练习)函数f(x)x33axa在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是( )A0，1)B(0，1)C(1，1)D【答案】B【解析】由题意，3x23a3(x2a),当a0时，0，f(x)在(0，1)内单调递增，无最小值.当a0时，3(x)( x),不妨只
13、讨论时当x，f(x)为增函数，当0x时，, f(x)为减函数，f(x)在x处取得最小值，1，即0a1时，f(x)在(0，1)内有最小值.故选：B.4(2021全国高二专题练习)若函数f(x)x33xa在区间0，3上的最大值、最小值分别为m，n，则mn_.【答案】20【解析】f(x)3x23，当x1或x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0.f(x)在0，1上单调递减，在1，3上单调递增f(x)minf(1)13a2an.又f(0)a，f(3)18a，f(0)f(3)f(x)maxf(3)18am，mn18a(2a)20.故答案为：20.5(2021全国高二专题练习)已知函数(x-2，2)，f
14、(x)的最小值为1，则m=_.【答案】1【解析】由求导得：，因x-2，2，则当时，当时，于是得f(x)在上单调递减，在上单调递增，因此，当x=0时，所以m=1.故答案为：1考点五 极值最值综合运用【例5】(2021全国高二课时练习)(多选)下列关于函数f(x)(2xx2)ex的判断正确的是( )Af(x)0的.解集是x|0x0，解得0x2，故A正确.求导可得(2x2)ex，令0，得x，当x时，0，f(x)单调递减当x0，f(x) 单调递增当x时，f(x)取得极小值，当x时，f(x)取得极大值，故B正确.当或时，f(x)0，结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，故C不正确，D正确.
15、故选：ABD【一隅三反】1(2021全国高二课前预习)连续函数在上( )A极大值一定比极小值大B极大值一定是最大值C最大值一定是极大值D最大值一定大于极小值【答案】D【解析由函数的最值与极值的概念可知，yf(x)在a，b上的最大值一定大于极小值.2(2021辽宁阜新高二期末)已知，若对，使得，则a的取值范围是( )A2，5BCD【答案】A【解析，所以在1，2递减，在(2，3递增，,可得的值域为，对称轴为，在1，3递增，可得的值域为，若对，使得，可得的值域为的值域的子集.则，且，解得，故选：A.3(2021全国高二课时练习)已知函数f(x)x22ln x，若关于x的不等式f(x)m0在1，e上有实数解，则实数m的取值范围是_.【答案】(，e22【解析由f(x)m0得f(x)m，函数f(x)的定义域为(0，)，当x1，e时，此时，函数f(x)单调递增，所以f(1)f(x)f(e).即1f(x)e22，要使f(x)m0在1，e上有实数解，则有me22.故答案为：(，e224(2021全国高二课时练习)设函数，若关于的方程在上恰好有两个相异的实数根，则实数a的取值范围为_.【答案】【解析由题意，方程在上恰好有两个相异的实数根，设，则的图象与在上恰好有两个不同的交点.，函数在上单调递减，在上单调递增.又，得.需使，即.故所求实数的取值范围是.故答案为：.
