1、2.2 直线的方程(精讲)思维导图常见考法考点一 求直线的方程【例1-1】(2021全国高二课时练习)写出满足下列条件的直线的方程.(1)经过点，斜率是；(2)经过点，且与x轴垂直；(3)斜率是，在y轴上的截距是7；(4)经过，两点；(5)在y轴上的截距是2，且与x轴平行；(6)在x轴、y轴上的截距分别是4，【答案】(1)(2)(3)(4)(5)；(6)【解析】(1)经过点，斜率是；则直线方程为，即(2)经过点，且与x轴垂直；则直线方程为(3)斜率是，在y轴上的截距是7；则直线方程为，即(4)经过，两点；则斜率，所以直线方程为，即(5)在y轴上的截距是2，且与x轴平行；则直线方程为(6)在x轴
2、、y轴上的截距分别是4，则直线方程为，即【例1-2】(2021福建)下面说法正确的是( ).A经过定点的直线都可以用方程表示B不经过原点的直线都可以用方程表示C经过定点的直线都可以用方程表示D经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示【答案】D【解析】经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以A错；不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程表示，所以B错；经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以C错；当时，经过点的直线可以用方程即表示，当时，经过点的直线可以用方程，即表示，因此经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示，所以D对；故选：D【一隅三反】1(2021重庆高二期末)已知直
3、线l经过点，且与直线垂直，则直线l在y轴上的截距为( )ABC2D4【答案】B【解析】易知的斜率为2，故直线l的斜率为，根据点斜式可得直线l的方程为，整理可得，故直线l在y轴上的截距为，故选：B.2(2021全国高二课时练习)求满足下列条件的直线的方程.(1)经过点，且与直线平行；(2)经过点，且平行于过和两点的直线；(3)经过点，且与直线垂直【答案】(1)；(2)；(3)【解析】(1)与直线平行的直线斜率为-4，且经过点则直线为；(2)过和两点的直线斜率为，则与MN平行且过点的直线方程为：；(3)直线的斜率为-2，与之垂直的直线斜率为，则经过点，且与直线垂直的直线方程为；3(2021广东湛江
4、)根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式.(1)经过点，斜率是； (2)经过点，平行于x轴；(3)经过点，； (4)在x轴、y轴上的截距分别是，【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【解析】(1)由点斜式写出直线方程，其一般式为；(2)由点斜式写出直线方程，其一般式为；(3)由两点式写出直线方程，其一般式为；(4)由截距写出直线方程，其一般式为；考点二 直线过定点【例2】(2021惠民县第二中学高二期末)已知直线恒过定点，则点的坐标为( )ABCD【答案】D【解析】由得，因为恒成立，所以 解得 所以恒过定点 故选：D【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)直线，当变动时，所有直线恒过
5、定点坐标为()ABCD【答案】C【解析】把直线方程整理为，令，故，所以定点为，故选：C.2(2021黑龙江伊春市伊春二中高二期中(文)直线：必过定点( )ABCD【答案】D【解析】由直线方程可得过定点.故选：D.3(2021全国高二课时练习)已知函数的图象恒过定，若点在直线上，其中，则的最小值为( )ABCD【答案】D【解析】，所以，函数的图象恒过定点，由于点在直线上，则，则，则，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：D.考点三 直线的图像【例3】(1)(2021全国高二课时练习)直线经过第二、三、四象限，则斜率和在轴上的截距满足的条件为( )A， B， C， D，(2)(2021安徽
6、六安市六安一中)直线不过第二象限，则的取值范围为( )ABCD【答案】(1)B(2)C【解析】(1)在平面直角坐标系中作出图象，如图所示：由图可知：，.故选：B.(2)若，可得，直线的方程为，该直线不过第二象限，合乎题意；若，可得，直线的斜截式方程为，若直线不过第二象限，则，解得.综上所述，.故选：C.【一隅三反】1(2021全国高二专题练习)在直角坐标系中，直线经过( )A一、二、三象限B一、二、四象限C一、三、四象限D二、三、四象限【答案】A【解析】由，令可得，；令可得；即直线过点，所以直线经过一、二、三象限.故选：A.2(2021全国高二课时练习)方程表示的直线可能是ABCD【答案】C【
7、解析】由题意，排除.当时，此时直线与轴的交点在轴的负半轴上，排除.当时，此时直线与轴的交点在轴的正半轴上，排除，选.故选：.3(2021全国高二课时练习)若直线()经过第一、二、三象限，则系数满足的条件为( )A同号 B C D【答案】B【解析】由题意得，直线，即，直线经过第一、二、三象限，所以,，即，故选：B.考点四 直线方程在几何中运用【例4】(2021全国高二课时练习)已知ABC的三个顶点分别为A(3，0)，B(2，1)，C(2，3)，试求：(1)边AC所在直线的方程；(2)BC边上的中线AD所在直线的方程；(3)BC边上的高AE所在直线的方程.【答案】(1)3xy+90(2)2x3y+
8、60(3)2xy+60【解析】(1)A(3，0)，C(2，3)，故边AC所在直线的方程为：，即3xy+90，(2)BC边上的中点D(0，2)，故BC边上的中线AD所在直线的方程为，即2x3y+60，(3)BC边斜率k，故BC边上的高AE的斜率k2，故BC边上的高AE所在直线的方程为y2(x+3)，即2xy+60.【一隅三反】1(2021青海西宁市高二期末(文)一条光线沿直线入射到轴后反射，则反射光线所在的直线方程为( ).ABCD【答案】B【解析】令得，所以直线与轴的交点为，又直线的斜率为，所以反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线所在的直线方程为，即.故选：B.2(2021山西)(多选)三条
9、直线，构成三角形，则的值不能为( )ABCD2【答案】AC【解析】直线与都经过原点，而无论为何值，直线总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行，所以故选：AC.3(2021广西)已知直线l的斜率为1，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的方程【答案】yx1或yx1【解析】设直线l的方程为yxb，则它与两个坐标轴的交点为A(b，0)和B(0，b)，所以围成的两个直角边长都为|b|，故其面积为，由，解得b1，故所求直线的方程为yx1或yx14(2021全国高二课时练习)的三个顶点是，求：(1)边BC上的中线所在直线的方程；(2)边BC上的高所在直线的方程；(
10、3)边BC的垂直平分线的方程【答案】(1)；(2)；(3)【解析】(1)BC的中点坐标为则边BC上的中线所在直线的方程为；(2)边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过，则边BC上的高所在直线的方程为；(3)由(1)知BC的中点坐标，由(2)知高的斜率为，则边BC的垂直平分线的方程为.考点五 直线中的最值问题【例5】(2021全国高二课时练习)已知直线的方程为(1)当时，求直线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)证明：不论取何值，直线恒过第四象限(3)当时，求直线上的动点到定点，距离之和的最小值【答案】(1)；(2)详见解析；(3).【解析】(1)当时，直线的方程为，令，得；令，得，所以直线与坐
11、标轴围成的三角形的面积为(2)证明：将直线的方程整理得，由，得，所以直线恒过点，所以不论取何值，直线恒过第四象限(3)当时，直线的方程为，定点，在直线的同一侧，其中关于直线的对称点为，则，所以动点到定点，距离之和为，所以当，三点共线时，最小，此时【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)已知直线l：(1)若直线l的斜率是2，求m的值；(2)当直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时，求此直线的方程【答案】(1)m4；(2)xy20.【解析】(1)直线l过点(m，0)，(0，4m)，则，解得m4.(2)由m0，4m0，得0m4，则.当m2时，S有最大值，故直线l的方程为xy20.2(202
12、1江苏)如图，过点作直线，分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于点A，B当直线在什么位置时，的面积最小？最小面积是多少？【答案】当直线AB倾斜角为时，的面积最小，最小面积是2.【解析】依题意，设点，直线AB的方程为，而点在直线上，于是有，显然有，当且仅当a=b时取“=”，即，于是得a=b=2时，此时为等腰直角三角形，面积取最小值2，直线AB倾斜角为，所以当直线AB倾斜角为时，的面积最小，最小面积是2.3(2021上海高二专题练习)在平面直角坐标系中，已知射线：，：过点作直线分别交射线于点A，B(1)当的中点在直线上时，求直线的方程；(2)当的面积取最小值时，求直线的方程；(3)当取最小值时，求直线的方程【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)设，则的中点为，因为的中点在直线上，所以，即，所以直线的斜率，所以直线的方程为，即.(2)设直线的方程为，联立，得，所以，联立，得，所以，所以，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，此时，直线的方程为，即.(3)由(2)知，所以，令，则，当且仅当，即时，取得最大值，取得最小值，此时直线的方程为，即.
