1、5.1 任意角与弧度制(精讲)思维导图常见考法考法一 任意角【例1】(1)(2021上海市建青实验学校高一期中)在平面直角坐标系中，下列结论正确的是( )A小于的角一定是锐角B第二象限的角一定是钝角C始边相同且相等的角的终边一定重合D始边相同且终边重合的角一定相等(2)(2021全国)钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A8点处B10点处C11点处D12点处【答案】(1)C(2)B【解析】(1)对于选项A：小于的角不一定是锐角，如负角和零角均小于，但不是锐角，故A错误；对于选项B：钝角是第二象限角，但是反过来不正确，比如是第二象限
2、角但不是钝角，故B错误；对于选项C：始边相同且相等的角的终边一定重合，故C正确；对于选项D：始边相同且终边重合的角不一定相等，可以相差的整数倍，故D错误.故选：C.(2)一个周期是60分钟,则100分钟是一个周期,故100分钟后分针指在10点处.故选：B【一隅三反】1(2021安徽蚌埠二中高一期中)下列说法中，正确的是( )A锐角是第一象限的角B终边相同的角必相等C小于的角一定为锐角D第二象限的角必大于第一象限的角【答案】A【解析】对于A中，根据锐角的定义，可得锐角满足是第一象限角，所以A正确；对于B中，例如：与的终边相同，但，所以B不正确；对于C中，例如：满足，但不是锐角，所以C不正确；对于
3、D中，例如：为第一象限角，为第二象限角，此时，所以D不正确.故选：A.2(2021咸阳百灵学校高一月考)若将钟表调快5分钟，则分针转动角为( )ABCD【答案】C【解析】将钟表的分针拨快5分钟，则分针顺时针转过，则分针转动角为，故选：C3(2021江苏高一期中)下列命题：钝角是第二象限的角；小于的角是锐角；第一象限的角一定不是负角；第二象限的角一定大于第一象限的角；手表时针走过2小时，时针转过的角度为；若，则是第四象限角其中正确的题的个数是( )A1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】对于：钝角是大于小于的角，显然钝角是第二象限角. 故正确；对于：锐角是大于小于的角，小于的角也可能是负角.
4、故错误；对于：显然是第一象限角. 故错误；对于：是第二象限角，是第一象限角，但是. 故错误；对于：时针转过的角是负角. 故错误；对于：因为，所以，是第四象限角. 故正确.综上，正确.故选：B.考法二角度制与弧度制的互化【例2】(2021全国高一课时练习)把下列弧度化成角度(第(3)(4)题精确到0.01)：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)；(2)；(3)；(4)【一隅三反】1(2021蚌埠田家炳中学高一月考)下列转化结果正确的是( )A化成弧度是B化成角度是C化成弧度是D化成角度是【答案】D【解析】由得，对于A选项：化成弧度是，故A不正确；对于B选
5、项：化成角度是，故B不正确；对于C选项：化成弧度是，故C错误；对于D选项：化成角度是，故D正确，故选：D.2(2021全国高一专题练习)将下列角度化为弧度，弧度转化为角度(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，(6)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)【解析】(1)弧度弧度，(2)弧度弧度，(3)弧度弧度(4)弧度，(5)弧度，(6)弧度考法三 终边相同的角【例3-1】(1)(2021陕西省洛南中学高一月考)与角终边相同的角的集合是( )ABCD(2)(2021横峰中学高一月考(理)下列各角中，与终边相同的角为( )ABCD(3)(2021河南焦作)已知角的终边与300角的终
6、边重合，则的终边不可能在( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】(1)B(2)B(3)A【解析】，所以与角终边相同的角的集合是.故选：B.(2)与终边相同的角的集合为：，当时，得.故选：B(3)因为角的终边与300角的终边重合，所以，所以，令，终边位于第二象限；令，终边位于第三象限，令，终边位于第四象限，令，终边位于第二象限所以的终边不可能在第一象限，故选：A【例3-2】(2021全国高一课时练习)如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).(1)；(2)【答案】(1)；(2)或.【解析】如题图，以OA为终边的角为+2k(kZ
7、)；以OB为终边的角为+2k(kZ)，所以阴影部分内的角的集合为；如题图，以OA为终边的角为+2k(kZ)；以OB为终边的角为+2k(kZ).不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1=，M2=.所以阴影部分内的角的集合为或.【一隅三反】1(2021全国高一课前预习)下列各组的两个角中，终边不相同的一组角是( )A-56与664B800与-1360C150与630D-150与930【答案】C【解析】因终边相同的两个角总是相差的整数倍，对于A，即角-56与664终边相同，A不正确；对于B，即角800与-1360终边相同，B不正确；对于C，即角150与630终边不
8、相同，C正确；对于D，即角-150与930终边相同，D不正确，所以角150与630终边不相同.故选：C2(2021全国高一课时练习)角的终边所在的象限是( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【解析】因为，所以角与角是终边相同的角，又，所以角的终边在第四象限.故选：D3(2021全国)是一个任意角，则的终边与的终边( )A关于坐标原点对称B关于轴对称C关于轴对称D关于直线对称【答案】C【解析】因为的终边与的终边相同，而的终边与的终边关于轴对称，所以的终边与的终边关于轴对称.故选：C.4(2021江西省靖安中学高一月考)-1104是第_象限角.【答案】四.【解析】，又是第四象限角
9、，所以也是第四象限角故答案为：四5(2021全国)写出如图所示阴影部分的角的范围.(1)；(2).【答案】(1)|150k36045k360，kZ；(2)|45k360300k360，kZ.【解析】(1)因为与45角终边相同的角可写成45k360，kZ的形式，与18030150角终边相同的角可写成150k360，kZ的形式.所以图(1)阴影部分的角的范围可表示为|150k36045k360，kZ.(2)因为与45角终边相同的角可写成45k360，kZ的形式，与60360300角终边相同的角可写成300k360，kZ的形式，所以图(2)中角的范围为|45k360300k360，kZ.考法四 扇形
10、的弧长与面积【例4】(2021咸阳百灵学校高一月考)已知扇形周长是60.(1)当半径r=20，求扇形面积.(2)当半径为何值时，扇形有最大面积？(3)并求出最大面积和此时扇形的圆心角.【答案】(1)；(2)；(3)，.【解析】(1)设扇形所对应的圆心角为，由题意知，所以，因此扇形的面积为；(2)设扇形所对应的圆心角为，半径为，由题意知，即，则因此扇形的面积为；根据二次函数的性质，当时，扇形的面积最大；(3)由(2)知当时，扇形的面积最大，扇形的面积最大值为，此时；【一隅三反】1(2021全国高一课时练习)已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R.(1)若，求扇形的弧长l及面积S；(2)若扇形的周
11、长是一定值C()，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积；(3)若扇形的面积是一定值S()，当为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求最小周长.【答案】13.(1)，；(2)当弧度时，扇形面积最大，为；(3)当弧度时，扇形周长最小，为.【解析】(1)若，则，所以扇形的弧长，扇形的面积；(2)扇形周长，当且仅当，即时，扇形面积有最大值(3)扇形的面积，所以所以当且仅当即时周长取得最小值2(2021全国)已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为.(1)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；(2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【答案】(1)；(2).【解析】解：(
12、1)由题意得，解得(舍去)，.故扇形圆心角为.(2)由已知得，.所以，所以当时，取得最大值25，此时，.3(2021全国高一课时练习)九章算术是我国古代的数学巨著，其中方田章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.(1)当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；(2)已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意，如下图示，令圆弧的半径为，即，得，弧田面积，而，.(2)由题意知：弧长为，即该扇形周长，而扇形面积，当且仅当时等号成立.当时，该扇形面积最大.
