1、1.1 集合的概念(精讲)思维导图常见考法考点一 集合的概念【例1】(2021浙江)下列各对象可以组成集合的是( )A与1非常接近的全体实数 B某校2020-2021学年度笫一学期全体高一学生C高一年级视力比较好的同学 D与无理数相差很小的全体实数【答案】B【解析】A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D中相差很小的对象不确定，故错.故选：B【一隅三反】1(2021江苏高一)下列说法中正确的有( )个：很小的数的全体组成一个集合：全体等边三角形组成一个集合；表示实数集；不大于3的所有自然数组成一个集合.A1B2C3D4【答案】B【解析】很小的数不确定，不
2、能组成一个集合，故错误：全体等边三角形组成一个集合，故正确；表示以实数集为元素的集合，不表示实数集，故错误；不大于3的所有自然数是0，1，2，3，组成一个集合，故正确.故选：B2(多选)(2021全国高一单元测试)下列各组对象能构成集合的是( )A拥有手机的人B2020年高考数学难题C所有有理数D小于的正整数【答案】ACD【解析】根据集合的概念，可知集合中元素的确定性，可得选项A、C、D中的元素都是确定的，故选项A、C、D能构成集合，但B选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合故选：ACD.3(2021全国高一课时练习)考察下列每组对象，能组成一个集合的是( )我校高一年级聪明的
3、孩子 直角坐标系中，横、纵坐标相等的点不小于3的整数 的近似值ABCD【答案】C【解析】对于，“某高中高一年级聪明的学生”，其中聪明没有明确的定义，故不能构成集合；对于，“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”，符合集合的定义，能构成集合；对于，“不小于3的正整数”，符合集合的定义，能构成集合；对于，“的近似值”，对近似的精确度没有明确定义，故不能构成集合综上所述，只有能构成集合，不能构成集合故选：考点二 元素与集合的关系【例2】(2021广东)用符号“”或“”填空：(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国_A，美国_A，印度_A，英国_A；(2)若，则-1_A；(3)若，则3_B；(4)若，则8
4、_C，9.1_C.【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)根据国家的地理位置直接得到答案：中国，美国，印度，英国；(2)，故；(3)，故；(4)，故；故答案为：(1)；(2)；(3)；(4)【一隅三反】1.(2021安徽省安庆九一六学校)下列元素与集合的关系表示不正确的是( )ABCD【答案】D【解析】根据元素与集合的关系可得，故D不正确，符合题意.故选：D.2(2021全国高一课时练习)用符号“”或“”填空：(1)0_；(2)_；(3)_；(4)2017_.【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】(1)为不含有任何元素的集合，所以；(2) ，；(3) (4)因为2017不能被表
5、示为的形式，所以；3(2021全国高一课时练习)已知集合,则下列四个元素中属于M的元素的个数是( );A4B3C2D1【答案】C【解析】当时，可得，这与矛盾， ，可得 ，都是有理数，所以正确，可得，都是有理数，所以正确， 而 ，是无理数，不是集合中的元素，只有是集合的元素.故选：C考点三 集合的表示方法【例3-1】(1)(2021全国高一课时练习)把集合用列举法表示为( )ABCD(2)(2021安徽省桐城中学高一月考)方程组的解集可表示为( )ABCD【答案】(1)D(2)C【解析】(1)解方程得或，因此集合用列举法表示为.故选：D.(2)方程组的解为，根据集合的表示方法可知方程组的解集可表
6、示为或.所以C选项正确.故选：C【例3-2】(2021全国高一课时练习)用适当的方法表示下列集合：(1)二次函数的函数值组成的集合；(2)反比例函数的自变量组成的集合；(3)不等式的解集【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)二次函数的函数值为y，二次函数的函数值y组成的集合为.(2)反比例函数的自变量为x反比例函数的自变量组成的集合为.(3)由，得，不等式的解集为.【一隅三反】1(2021上海高一期末)10的所有正因数组成的集合用列举法表示为_.【答案】【解析】对于正因数分解，有，其正因数组成的集合为.故答案为：2(2021全国高一课时练习)若集合，用列举法表示_【答案】【解析】因为，所以故
7、答案为：3(2021北京大峪中学高一期中)方程组的解集是 【答案】(1，1),(1，1)【解析】方程组的解为或，其解集为故选：A4(2021全国高一课时练习)把下列集合用适当方法表示出来：(1)；(2)；(3)； (4) ；(5).【答案】(1)且；(2).(3) ；(4) ；(5).【解析】(1)因为集合中的元素都是偶数，所以且；(2).(3)由得，,因此.(3)由，且,，,得，因此.(4)由得，.因此.考点四 元素的个数【例4】(1)(2021江苏苏州市)设集合，则C中元素的个数为( )A3B4C5D6(2)(2021江苏南通市)已知集合，则中元素的个数为( )ABCD(3)(2021黑龙
8、江大庆市)由实数所组成的集合，最多可含有( )个元素A2 B3 C4 D5【答案】(1)B(2)D(3)B【解析】(1)时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素故选：B(2)由题意可知，集合中的元素有：、，共个.故选：D.(3)由题意，当时所含元素最多，此时分别可化为，所以由实数所组成的集合，最多可含有3个元素故选：B【一隅三反】1(2021江西宜春市)设集合，则中元素的个数为( )A3B4C5D6【答案】C【解析】因为，所以当时，由可得：；当时，由可得：；当时，由可得：，当，时，由可知：不存在整数使该不等式成立，所以,因此中元素的个数为5.故选：C2 (2021阜阳市颍东区衡水实验
9、中学)已知集合，则集合等于( )A BCD【答案】B【解析】因为，所以，当时，；当时，；当时，；当时，所以，故选：B3(2021全国)若集合，则中所含元素的个数为( )AB6CD10【答案】D【解析】因为集合，当时，；则是集合中的元素；当时，或，则，是集合中的元素；当时，或或，则，是集合中的元素；当时，或或或，则，是集合中的元素.即中所含元素的个数为个.故选：D.考点五 已知元素的特征求参数【例5-1】(1)(2021河北艺术职业中学)若a1，a22a+2，则实数a的值为( )A1B2C0D1 或2(2)(2021江西)已知集合只有一个元素，则的取值集合为( )ABCD(3)(2021全国高一
10、课时练习)已知集合，若，则的取值范围为( )ABCD(4)(2021宝山区)已知实数集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则_【答案】(1)B(2)D(3)C(4)-3【解析】(1)因为a1，a22a+2，则：a1或aa22a+2，当a1时：a22a+21，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当a1时：aa22a+2，解得：a1(舍去)或a2；故选：B（2） 当时，此时满足条件；当时，中只有一个元素的话，解得，综上，的取值集合为，故选：D(3)因为集合，所以，又因为，则，即，故选：(4)因为实数集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，所以(无解)或者，解得：故答案为：-3【例5-2】(2020上海
11、)已知集合(1)若中只有一个元素，求的值；(2)若中至少有一个元素，求的取值范围；(3)若中至多有一个元素，求的取值范围.【答案】(1)或；(2)；(3)或.【解析】(1)若中只有一个元素，则当时，原方程变为，此时符合题意，当时，方程为二元一次方程，即，故当或时，原方程只有一个解；(2)中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，由得综合(1)当时中至少有一个元素；(3)中至多有一个元素，即中有一个或没有元素当，即时原方程无实数解，结合(1)知当或时中至多有一个元素.【一隅三反】1(2021安徽省桐城中学)已知集合Aa，|a|，a2，若2A，则实数a的值为( )A2B2C4D2或4【答案】A【解析
12、】依题意，若，则，不满足集合元素的互异性，所以；若，则或(舍去)，此时，符合题意；若，则，而，不满足集合元素的互异性，所以.综上所述，的值为.故选：A2(2021寿县第一中学)已知集合，且，则的值可能为( )ABC0D1【答案】C【解析】集合，四个选项中，只有，故选：C3(2021全国高一单元测试)设集合，若且，则实数的取值范围是( )ABCD【答案】C【解析】因为集合，而且，且，解得故选：C4(多选)(2021全国高三专题练习)已知集合，若，则满足条件的实数可能为( )A2BCD1【答案】AC【解析】由题意得，或，若，即，或，检验：当时，与元素互异性矛盾，舍去；当时，与元素互异性矛盾，舍去若，即，或，经验证或为满足条件的实数故选：AC5(多选)(2020河北安平中学高一月考)已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为( )ABCD【答案】BC【解析】当时，即，解得，当时，代入方程解得，满足题意；当时，方程无解，不满足题意；当时，即，即，整理可得，解得，满足题意；故选：BC
