1、数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知，则A. B. 或C. D. 【答案】A【解析】解：，故选：A求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算得答案本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题2. 若其中i为虚数单位，则复数z的虚部是A. 2iB. C. D. 2【答案】D【解析】解：，复数z的虚部是2故选：D直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3. 等差数列的前n项和为，若，则A. 66B. 99C. 110D. 143【答案】D【解析】解：故选：D本题考查了等差数列的前n项和，是
2、基础题4. 在矩形ABCD中，若向该矩形内随机投一点P，那么使与的面积都小于4的概率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，由与的面积都小于4，得到两个三角形的高即为P点到AB和AD的距离，得到对应区域，利用面积比求概率【解答】解：由题意知本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积都小于4，由于，则点P到AB的距离，同样，点到AD的距离要小于，满足条件的P的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是使得与的面积都小于4概率为：故选A5. 从1，3，5三个数中选两个数字，从0，2两个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数
3、的个数为A. 6B. 12C. 18D. 24【答案】C【解析】解：由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇，因此总共种故选：C由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇，根据分类计数原理可得本题考查了分类计数原理，关键是如何分类，属于基础题6. 将函数向右平移个单位后得到函数，则具有性质 A. 在上单调递增，为偶函数B. 最大值为1，图象关于直线对称C. 在上单调递增，为奇函数D. 周期为，图象关于点对称【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数平移、单调性、奇偶性、周期的知识，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析，进行解答【解答】
4、解：将的图象向右平移个单位，得，则为偶函数，在上单调递增，故A正确，的最大值为1，对称轴为，即，当，图象关于对称，故B错误，由，函数单调递增，在上不是单调函数，故C错误，函数的周期，不关于点对称，故D错误故选A7. 已知数列，则是数列是递增数列的条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】解：数列是递增数列，例是1，2，3，1，数列不为递增数列，即是数列是递增数列的不充分条件当数列是递增数列，则恒成立，即，即是数列是递增数列的必要条件故是数列是递增数列的必要不充分条件，故选：B由数列是递增数列，当数列是递增数列，则恒成立，即本题考查了等差数列的概念，特
5、殊与一般的思想方法，属简单易错题8. 如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为63，36，则输出的A. 3B. 6C. 9D. 18【答案】C【解析】【分析】本题考查了算法和程序框图，主要是对循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用问题，是基础题由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论【解答】解：由，满足，则，由，则，由，则，由，则，由，则退出循环，输出故选C9. 在四边形ABCD中，则A. 5B. C. D. 3【答案】C【解析】解： 不妨用特例法完成，如图，在菱形ABCD中，则，在中，
6、求得，故选：C作为选择题，此题更适合用特例法，让AC，BD互相垂直平分，得到菱形ABCD，易得边长，再进一步变换式中向量，用数量积求解此题考查了特例法解选择题，向量相等，向量加法，数量积等，难度适中10. 若长方体的顶点都在体积为的球O的球面上，则长方体的表面积的最大值等于A. 576B. 288C. 144D. 72【答案】B【解析】解：设长方体的三度为：a，b，c，球的直径就是长方体的对角线的长，再设球的半径为R，则由，得，长方体的表面积为：当时取得最大值，也就是长方体为正方体时表面积最大故选：B设出长方体的三度，由球的体积求出长方体的对角线的长，得到长方体的表面积的表达式，然后利用基本不
7、等式求最大值本题考查长方体的外接球的知识，长方体的表面积的最大值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，是中档题11. 如果函数满足，则的一个正周期为A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：函数满足，则的一个正周期为，故选：A根据，依据函数的最小正周期的定义，得出结论本题主要考查函数的最小正周期的定义，属于基础题12. 下列四个命题：；，其中真命题的个数是为自然对数的底数A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：构造函数，导数，当时，递增；时，递减可得取得最大值由，可得，即有，即，故不正确；由，可得，即有，即，故正确；设，可得，在时，即有，故正确；由，可得，而，则，故正确故选
8、：C构造函数，求得导数和单调性、最值，由，可判断；由可判断；由，结合不等式的性质可判断；由，可得，可判断本题考查两个数的大小比较，注意运用构造函数法，以及导数判断单调性，考查化简运算能力，属于难题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. _【答案】【解析】解：故答案为：直接利用三角函数的诱导公式化简求值本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题14. 在的二项展开式中，所有项的系数之和为1024，则展开式常数项的值等于_【答案】15【解析】解：在的二项展开式中，令得所有项的系数和为，解得，所以的二项展开式中的通项为：，令得，常数项为：，故答案为：15在展开式中，令可得所有
9、项系数和，可解得，再由通项公式可得常数项为15本题考查了二项式定理属中档题15. 满分为100分的试卷，60分为及格线，若满分为100分的测试卷，100人参加测试，将这100人的卷面分数按照，分组后绘制的频率分布直方图如图所示，由于及格人数较少，某老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以10取整”的方法进行换算以提高及格率实数a的取整等于不超过a的最大整数，如：某位学生卷面49分，则换算成70分作为他的最终考试成绩则按照这种方式，这次测试的不及格的人数变为_【答案】18【解析】解：由题意卷面36分及36分以上的学生都及格，由频率分直方图得卷面36分以下的学生的频率为：，所以，按照这种方式，这
10、次测试的不及格的人数变为：故答案为：18由题意卷面36分及36分以上的学生都及格，由频率分直方图得卷面36分以下的学生的频率为：，由此能求出这次测试的不及格的人数本题考查及格率求法，考查频率分直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题16. 已知存在唯一的零点，且，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【解答】解：当时，令，解得，函数有两个零点，舍去当时，令，解得或当时，当或，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增故是函数的极大值点，0是函数的极小值点函数存在唯一的零点，且，则，即得舍或当时，当或时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减是函数的极大值点，0是函数的极
11、小值点，函数在上存在一个零点，此时不满足条件综上可得：实数a的取值范围是故答案为：【分析】讨论a的取值范围，求函数的导数判断函数的极值，根据函数极值和单调性之间的关系进行求解即可本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知向量当时，求的值；已知钝角中，角B为钝角，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，若函数，求的值【答案】解：向量，即，由角B为钝角知：，【解析】本题主要考查了平面向量垂直的性质，同角三角函数基本关系式，正弦定理，特殊角的三角函数值的综合应用考查了计算能力和转化
12、思想，属于中档题利用平面向量垂直的性质，同角三角函数基本关系式可求tanx的值，化简所求即可计算得解利用正弦定理化简已知等式，结合，可求，结合角B为钝角知：，化简函数利用特殊角的三角函数值即可计算得解18. 某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占，统计情况如表：同意不同意合计男生a5女生40d合计100求a，d的值，根据以上数据，能否有的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关？请说明理由；将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生
13、中，采用随机抽样的方法抽取4位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为X，求X的分布列及数学期望附：【答案】解：因为100人中同意父母生“二孩”占，所以，；由列联表可得；而，所以有的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关；由题意知持“同意”态度的学生的频率为，即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为，由于总体容量很大，故X服从二项分布，即，1，2，3，4；从而X的分布列为：X01234PX的数学期望为【解析】根据题意求出a、d的值，计算观测值，对照临界值得出结论；由题意知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率，写出分布列，计算数学期望值本题考查了离散型
14、随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了列联表与独立性检验的应用问题，是中档题19. 若数列的前n项和为，首项，且求数列的通项公式；若，令，设数列的前n项和，比较与大小【答案】解：且，或者，；，【解析】利用数列的递推关系式，转化求解数列的通项公式化简通项公式，通过裂项相消法求解数列的和即可本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形，且平面底面ABCD，证明：；点M在棱20. PC上，且，若二面角大小的余弦值为，求实数的值【答案】证明：取AD的中点O，连OC，OP，为等边三角形，且O是边AD的中点，平面底面ABCD，且它们
15、的交线为AD，平面ABCD，且，平面PAD，分别以OC，OD，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，即：，设，且是平面ABM的一个法向量，取，而平面ABD的一个法向量为，【解析】取AD的中点O，连OC，OP，证明，推出平面PAD，得到分别以OC，OD，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABM的一个法向量，平面ABD的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力已经计算能力21. 已知函数求的单调区间；若有极值，对任意的，当，存在使，证明：【答案】解：的定义域为，若，则，所以在上是单调递增若，当时，
16、 0/，单调递增当时，单调递减证明：由当时，存在极值由题设得，又，设则令，则所以在上是增函数，所以，又，所以，因此，即，又由知在上是减函数，所以，即【解析】本题考查函数的导数的应用，函数的大小以及构造法，二次导函数的应用，考查转化思想已经计算能力的定义域为，求出导函数，通过若，若，判断导函数的符号，推出函数的单调区间由当时，存在极值化简，又，作差设令，利用导函数，判断函数的大小转化求解即可22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：为参数，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为：求圆C的直角坐标方程；设点，若直线l与圆C交于A，B两点，求的值【答案】圆C
17、的极坐标方程为：转换为直角坐标方程为：，所以：将线l的参数方程为：为参数，代入，所以：，设点A、B所对应的参数为和，则：，【解析】直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换利用一元二次方程根和系数的关系求出结果本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型23. 设函数当时，求不等式的解集；对任意实数，都有成立，求实数a的取值范围【答案】解：当时，当时，即，可得；当时，即有；当时，即，可得综上可得原不等式的解集为；对任意实数，都有成立，即，恒成立，恒成立，即有或，即为或恒成立，由在递增，可得最大值为0，可得；在递减，可得最小值为，可知或【解析】求得的解析式，去绝对值讨论x的范围，解不等式，求并集可得所求解集；由题意可得，恒成立，恒成立，即有或，即为或恒成立，运用单调性可得最值，即可得到所求a的范围本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想方法和分离参数法，考查化简运算能力，属于中档题
