1、第6章 等腰三角形的底边所在直线上的点平面几何中的基本图形所蕴含的性质是组成几何问题的基本构思，有时也是沟通直线型问题与曲线型问题的重要细节本章就介绍这样的一个基本图形所呈现的优美数量关系，即等腰三角形的一条性质定理及其应用性质 设是等腰的底边所在直线上一点，则 （）证明 如图（1），当点在底边上时，设为底边的中点，联结，则，且注意到勾股定理，有如图（2），当点在底边的延长线上时，设为的中点同上述证法，有（或当在左侧时，有）（或）证毕注：也可利用在点处的角相等或相补，分别对和运用余弦定理而证；或由证显然，上述结论是斯特瓦尔特定理（若为的所在直线上一点，则）的特殊情形，上述基本图形常出现在与等腰
2、三角形有关的问题中；也常出现在与线段的中垂线有关的问题中；与切线长定理有关的问题中；与点对圆的幂（即圆幂定理）有关的问题中，即为：若以为圆心，过，作圆，则对于所在直线上一点，有，此即为圆幂定理下面，我们从四个方面列举一些应用的例子1在与等腰三角形有关的问题中例 在中，边上有个不同的点，记，求的值解 由于是等腰三角形，则可应用性质（即（）式），有，从而故例 如图，和是的割线，分别交于，且过的直线交于，（在与之间），交于，交于求证：证明 因为等腰三角形，注意到，知，即也为等腰三角形，应用（）式，有由，有再注意到，于是，又在中，有将，代入有整理，即得2在与线段的中垂线有关的问题中例 （2008年天津
3、市高中数学竞赛题）已知锐角的三边，的中点分别为，在，的延长线上分别取点，若证明：的外心为的垂心证明 如图，设的三条高线分别为，垂心为，与交于点由于是的中位线，则为线段的中垂线，应用（）式，有同理，注意到垂心的性质，有，及已知条件，从而故的垂心为的外心，即的外心为的垂心例 （2005年国家队集训题）已知，是的边，的中点，是边，上的高，联结，交于点又设，分别是的外心，垂心，联结，求证：证明 如图，联结，设，分别为，的中点在中，；在中，于是点在线段的中垂线上，应用（）式，有注意到为的中位线，而在的中垂线上，从而也在线段的中垂线上，应用（）式，有 又注意到，知，四点共图圆，有而，知，四点共圆，且为其圆
4、心，有于是，由，并注意，有从而由定差幂线定理，知因，故3在与切线长定理有关的问题中例 （2009年陕西省高中竞赛题）如图，为的两条切线，切点分别为，过点的直线交于，两点，交弦于点求证：证明 由切线长定理知，应用（）式，有注意到；故例 （中等数学2009（7）数学奥林匹克问题高251）凸四边形外切于，两组对边所在的直线分别交于点，对角线交于点求证：证明 如图，设与边，分别切于点，则由牛顿定理知，四线共点于由切线长定理知，应用（）式，有同理，联结，令的半径为，则，显然，有于是，由，有从而由定差幂线定理，知4在与点对圆的幂有关的问题中例 （2007年国家队选拔赛题）已知是的弦，是弧的中点，是外任意一
5、点，过点作的切线，联结，分别交于点，过点，作的垂线，分别交，于点，通过点作的割线，交于，联结交于点，设是的外心求证：，三点共线证明 如图，联结，则知由，知，从而，即有联结，应用（）式，有运用相似三角形，易得，若令，则有由，有因是的外心，联结，且令，则在，分别应用（）式，得由，有从而由定差幂线定理，同理，故，三点共线例 （2009年国家队选拔赛题）设是的边上一点，满足，经过，两点，并分别与，交于，两点，交于点联结，取的中点求证：证明 如图，在的延长线上取点，使（即，四点共圆），则由知，也四点共圆于是，即知，四点共圆，即有联结，并令的半径为在中应用（）式，有在中应用性质，有联结，并利用三角形中线长
6、公式及注意，式，有联结，在中，应用（）式，有由题设，知于是，由，有，故注：点即为完全四边形的密克尔点（参见第14章或24章）练习六1设是直角（）的直角边所在直线上一点（异于），则2在中，点在边上，使得，且求的长3在中，是边上一点，求证：4（2009年世界杯数学奥林匹克题）中，的对边分别为，（1）求证：；（2）求的值5设为锐角的垂心，以为圆心的任一圆分别与边，平行的中位线依次交于，求证：6，是圆中的三条弦，点在上，且请你说明以下各式成立的理由：（1）；（2）7（1979年江苏省竞赛题）如图，设在中，平分，且交于，在上有一点，使求证：8（2001年湖南省夏令营题）自圆外一点引圆的两条切线，其中，为切点，过点任意引圆的一条割线交圆于，交于点证明：9，四点在同一圆周上，且，与相交于点，若线段和的长都是整数，求的长10.（1997牟CMO试题）四边形内接于圆，其边与的延长线交于点，与的延长线交于点，过作该圆的两条切线和，切点分别为，求证：，三点共线11设四边形内接于圆，对角线，交于点，直线，交于点，的外心分别为，求证：12为圆内一点，是经过点的圆的三条弦，过点，的圆的切线交于点求证：，三点共线13（2007年CMO试题）设和分别是的外心和内心，的内切圆与边，分别相切于点，直线与相交于点，直线与相交于点，又，分别是线段，的中点求证：
