1、第24章密克尔定理定理1（三角形的密克尔定理）设在一个三角形每一边上取一点（可在一条边、或两条边、或三条边的延长线上取），过三角形的每一顶点与两条邻边所在线上所取的点作圆，则这三个圆共点 沈文选三角形的密克尔定理及应用J中等数学，2011（11）：5-8证明在中，令，如图24-1（1），、分别在的三边，上设与的外接除交于点外，另一交点为，联结，则，于是，从而知，四点共圆故，的外接圆共点于对于图24-1（2），、分别为的边，上的点，在边的延长线上设与的外接圆除交于点外，另一交点为，联结，则，于是，从而知，四点共圆故，的外接圆共点于对于图24-1（3）、分别为的三边，延长线上的点设与的外接圆除交于
2、点外，另一交点为，联结，则，于是，从而知，四点共圆故，的外接圆共点于对于其他取点情形均可类似于上述情形而证特别地，若有一点取在三角形的顶点，则过两个重合的点之圆与这两点所在的边相切又若取的三点共直线，如图24-1（2）、（3）中的点、共直线，则对来看，直线截其三边时，三圆，共点于；对来看，直线截其三边时，三圆，也共点于；此时四圆、共点于，因而可得如下推论：定理2（完全四边形的密克尔定理）四条一般位置的直线形成的四个三角形，它们的外接圆共点如图24-2，四条直线两两相交又没有三线共点而构成四个三角形的图形称为完全四边形，其交点记为，在完全四边形中，的外接圆共点于，也可这样推证：设和的外接圆的另一
3、交点为，联结，则由，即知，四点共圆同理，四点共圆或者也可这样推证：设和的外接圆的另一交点为，作分别在直线、上的射影，则由西姆松定理及其逆定理来证（第14章性质3）定理1中的点称为三点，关于的密克尔点，是点的密克尔三角形，三个圆称为密克尔圆若点为三边，上的点，关于该三角形的密克尔点，则有结论1，即密克尔点与所取三点的联线与对应边所成的锐角相等这个结论可由四点共圆时，同弧上的圆周角相等或四边形的外角等于内对角即得又对于图24-1（2）（其他图类似推导）有，等三式得到如下的密尔克等式（对于图24-1（2）、（3）亦有类似等式）：结论2，我们可以密克尔点作出任一组（3条）直线与三边成等角，或过与三角形
4、的一个顶点任作一圆从而有穷多种方法定出它的密克尔三角形因而，有结论：结论3若点为所在平面上一定点，则有无穷多种方法定出它的密克尔三角形对于三角形的密克尔圆，也有如下结论：结论4设的三个密克尔圆、与的外接圆依次交于点、，则，事实上，如图24-3，由相交两圆的性质2的推论1即证结论5设、分别是的，、上的点，自、各引一直线，分别交密克尔圆、于点、则（1）当，交于一点时，五点共圆；（2）当，时，、四点共线证明（1）如图24-4（1），由么，知、四点共圆同理，、四点共圆故、五点共圆（2）如图24-4（2）联结、，由，知、共线联结与直线交于点，则，即知、四点共圆，而又在直线上，从而知与重合，故、三点共线由
5、于、公用，这两条直线重合，故、四点共线在定理1中，任意一组在三角形三边所在直线上共线点，它们的密克尔点在其外接圆；反之，外接圆上任一点的密克三角形（所取的三点为顶点的三角形）化为一条直线段由此可知，三角形的西姆松线段也是一个特殊的密克尔三角形定理2中的点称为完全四边形的密克尔点，点在完全四边形各边的射影共线，此线称为完全四边形的西姆松线若点是完全四边形的密克尔点，即，的外接圆共点，若注意到这些三角形的外心，则有结论：结论6完全四边形的四个三角形的外心及密克尔点五点共圆事实上，如图24-2，设，分别为，的外心，则注意到为与的公共弦，有，注意到为与的公共弦，有从而，即知，四点共圆同理，四点共圆故，
6、五点共圆由于完全四边形中，既有凸四边形，又有凹四边形及折四边形，而其密克尔点唯一确定，因而，有结论：结论7若完全四边形中的凸四边形或折四边形满足特殊条件时，则其密克尔点处于特殊位置，且两个三角形外接圆的另一交点即为密克尔点注意到结论3，结论7，我们可得到三角形密克尔定理的一系列推论，下面仅以定理3，定理4为例介绍之定理3在中，点，分别在边，上，设为萁密克尔点，则（1）当，且在上时，点，与密克尔、的圆心、四点共圆的充要条件是为的垂心；（2）当，分别为内切圆与边的切点，的外接圆与其密克尔圆，依次交于点，时，为的内心，且直线，共点证明（1）如图24-5，由结论1知，此时，及，分别四点共圆，有，即知，
7、四点共圆又，知，分别为，的中点，即有，从而充分性当为的垂心时，由九点圆定理即知，四点共圆或者注意到，及，分别四点共线，有，即知，四点共圆必要性当，四点共圆时，即有(*)由，共圆，有，又，则由（*）式，有于是，得，即知从而有，即有故，其中为的外接圆半径另一方面，当是的垂心时，易得从而，点与重合，即为的垂心（2）加图24-6，当，分别为内切圆与边，的切点时，密克尔圆、均过的内心，此时密克尔点即为其内心联结、，则，故又由，有，从而从而，即知平分由上即知，过的外接圆的的中点同理，分别平分，且分别过上弧，的中点，又，分别过，点，则只需证明，三线交于一点由于，则同理，设的外接圆、内切圆半径分别为，则若设直
8、线与交于点，则由上述比例式知，直线，均过点故直线，三线共点于定理4在完全四边形中，设为其密克尔点，则（1）当，四点共圆于时，在直线上，且；（2）当，四点共圆于时，在直线上，且，又为过点的的弦的中点证明（1）设的外接圆交于，连结，则，即知，四点共圆，如图24-7从而，为完全四边形的密克尔点，故与重合设的半径为，则同理，于是，由定差幂线定理，即知（2）如图24-8，设的外接圆交直线于，则，即知，四点共圆从而，为完全四边形的密克尔点，故与重合联结，设为延长线上一点，则，即知，四点共圆故，且为过点的的弦的中点由图24-7，我们又可得如下结论（类似地也可由图24-8得到有关结论）结论8若点为的三边，上的
9、点，关于该三角形的密克尔点，设为密克圆的圆心，则下面，介绍定理4的两个推论，这也是定理2的应用实例推论1在完全四边形中，凸四边形内接于，与交于点，则，六圆共点；，六圆共点；，六圆共点证明如图24-9，设为完全四边形的密克尔点，则由定理4（1），知在上，且于是，及，分别四点共圆，有从而，知点在上同理，知点在上由密克尔点的性质，知，四圆共点于故以上六圆共点同理，设为完全四边形的密克尔点，则，六圆共点于设为完全四边形的密克尔点，则，六圆共点于推论2在完全四边形中，凸四边形内接于，与交于点，与，与，与，与，与，与，与，与，与共九对圆的连心线分别记为，则，五线共点于的中点；，五线共点于的中点；，五线共点
10、于的中点证明如图24-10，设，分别为完全四边形，的密克尔点，则于，于，于由推论1中证明，知是写的公共弦，则是的中垂线，从而知过的中点，也过的中点因是与的公共弦，则是的中垂线，而，从而过的中点；由是与的公共弦，则是的中垂线又，则过的中点；由是与的公共弦，则是的中垂线又，则过的中点，故，五线共点于的中点同理，注意到，分别是与、与，与的公共弦，推知，五线共点于的中点注意到、分别是与，与，与，与的公共弦，推知，五线共点于的中点下面，运用上面的定理、结论、推论处理一些问题例1（2007年全国高中联赛加试题）在锐角中，是边上的高，是线段内一点，过作，垂足为，作，垂足为，分别是，的外心求证：，四点共圆的充
11、要条件为是的垂心事实上，此即由定理3（1）即证例2（2007年第39届加拿大数学奥林匹克题）的内切圆分别切三边，于点，的外接圆与的外接圆，的外接圆、的外接圆分别交于点和，和，和求证：（1），交于一点；（2），三线交于一点事实上，此即由定理3（2）即证例3（2009年土耳其数学奥林匹克题）已知圆和直线不相交，为圆上的点，与，与分别交于点，而，在直线上试确定所有以为直径的圆的公共点证明如图24-11，由定理4（1），知和的外接圆交于点，且在边上设圆的圆心为，半径为，则注意到圆幂定理，有从而，对任何一对满足条件的点，因为，是固定的，所以，以为直径的圆一定过直线上的两点，每点到直线的距离为的几何平均值
12、，即为例4（2009年第35届俄罗斯数学奥林匹克题）和分别是平行四边形的边和上的点，线段和交于点，和的外接圆的第二个交点位于内部证明：证明如图24-12，由于和的外接圆的第二个交点为，则由定理2知，为完全四边形的密克尔点，从而知，共圆，有由于位于内，可设直线交于，由，知点在上联结，注意，共圆及，有即知，四点共圆，从而，由，知，例5（IMO26试题）已知，以为圆心的圆经过三角形的顶点，且与边，分别交于另外的点，和的外接圆交于点试证：是直角证明如图24-13（1），若三个圆的圆心共线时，为等腰三角形，此时，与重合因此，三个圆的圆心必不共线，如图24-13（2）不妨设它们的根轴交于点在完全四边形中，
13、显然为其密克尔点，从而故是直角例6（1992年试题）凸四边形内接于圆，对角线与相交于，的外接圆相交于和另一点，且，三点两两不重合试证：证明由题设，三点两两不重合知，四边形必不为矩形（困圆内接平行四边形必为矩形），则不妨设，此时，可设直线与直线交于点在完全四边形中，点为其密克尔点，于是，故例7（35试题）是一个等腰三角形，假如（i）是的中点，是直线上的点，使得垂直于；（ii）是线段上不同于和的任意点；（iii）是直线上，在直线上，使得，和是不同的三个共线点求证：垂直于当且仅当证明如图24-15，对及截线应用梅涅劳斯定理，有因，则由题设对称性知，四点共圆于是，注意，四点共圆为完全四边形的密克尔点，
14、F四点共圆从而与为等圆，且与直径为等圆且EO为直径0Q上EF例8（2010年全国高中联赛题）如图24-16，锐角三角形的外心为，是边上一点（不是边的中点），是线段延长线上一点，直线与交于点，直线与交于点求证：若，则，四点共圆证明用反证法，若，四点不共圆，设的外接圆与直线交于点，直线交直线于点，直线交直线于点由定理4（2）知，完全四边形的密克尔点在直线上，且；完全四边形的密克尔点在直线上，且联结于是，注意到，分别为过的圆的弦的中点，知，及，分别三点共线，从而知点是的垂心，即有由题设，从而知，即有对及截线，对及截线分别应用梅涅劳斯定理，有及由得再应用分比定理，有，即知于是，即知，从而，得到为的中点
15、与已知矛盾故，四点共圆例9（2007年国家集训队测试题）凸四边形内接于，的延长线相交于点，对角线，相交于点，分别为，的外心，设与相交于点，射线分别交，于点，设为的中点，求证：证明如图24-17，过点作，则知切于，即有，从而于是，而，则知同理，即知为平行四边形于是，分别为，的中点由定理4（2）知，完全四边形的密克尔点在直线上，且设，分别为点，在直线上的射影，则知为的中点，为的中点，为的中点，且为的中点于是，从而为的中点，即知与重合，亦即知故练习题二十四1设是圆的直径，在直线的同侧引射线和相交于点若，则2（2001年北方数学邀请赛题）设圆内接四边形的两组对边的延长线分别交于点，两对角线交于点，则圆
16、心恰为的垂心3（1990年全国高中联赛题）四边形内接于，对角线与交于点，、的外心分别为，求证：，与三线共点4（2006年中国国家集训队测试题）四边形内接于，且圆心不在四边形的边上，对角线与交于点，、的外心分别为、求证：、与三线共点5（1997年CMO试题）四边形内接于圆，与的延长线交于点，的延长线交于点由点作该圆的两条切线和，切点分别为，求证：，三点共线6（2002年IMO43预选题）已知圆与圆交于，两点，为圆上不同于，的两个点，直线，分别交圆于，直线和交于点证明：当和变化时，的外心总在一个定圆上7（时为IMO46试题）给定凸四边形，且不平行于，设点和分别在边和的内部，满足，直线和相交于点，直
17、线和相交于点，直线和相交于点求证：当和变动时，的外接圆经过点外的另一个定点8（2005年国家集训队训练题）已知，是边，的中点，是边，上的高，联结，交于点又设、分别是的外心、垂心，联结、求证：9（数学教学2005（8）数学问题652）在中，为边上的中线，分别为，上的高，设，交于点，直线，交于点求证：10（2009年巴尔干地区数学奥林匹克题）在中，点，分别在边，上，且，与交于点，和的外接圆的另一个交点为证明：11（2010年国家集训队测试题）设凸四边形的两组对边的延长线分别交于点，的外接圆与的外接圆交于，两点求证：的充分必要条件是12（2007年国家队集训题）锐角的外接圆在和处的切线相交于点，是的
18、中点证明：13（2008-2009年斯洛文尼亚国家队选拔试题）在锐角中，点在边上，的外接圆分别与边，交于点，设的外心为证明：，的外心与点，六点共圆，且14（IMO46试题）给定凸四边，且不平行于，设点和分别在边和的内部，满足直线和相交于点，直线和相交于点，直线和相交于点证明：当点和变动时，的外接圆经过除点外的另一个定点15（2006年IMO预选题）已知，分别是的边，上的点，的外接圆与的外接圆分别交于点，（，），分别是，关于边，的中点的对称点证明：16（2005年第31届俄罗斯数学奥林匹克题）设的三个旁切圆分别与边，相切于点，的外接圆分别与的外接圆再次相交于点，证明：与的内切圆在各自三条边上的切点所形成的三角形相似17（2008年国家集训队测试题）设，分别是锐角三角形的边、上的点，使得是正三角形，并且它还是这样的内接正三角形中面积最小的，求证：点到的垂线、点到的垂线和点到的垂线，这三条直线共点
