1、指数与指数函数 一、选择题1设a0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是()AaBaCaDaCaa故选C2已知函数f (x)42ax1的图像恒过定点P，则点P的坐标是()A(1，6)B(1，5)C(0，5)D(5，0)A由于函数yax的图像过定点(0，1)，当x1时，f (x)426，故函数f (x)42ax1的图像恒过定点P(1，6)3设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()AabcBacbCbacDbcaCy0.6x在R上是减函数，又0.61.5，0.60.60.61.5又yx0.6为R上的增函数，1.50.60.60.6，1.50.60.60.60.6
2、1.5，即cab4函数y(0a1)的图像的大致形状是()ABCDD函数的定义域为x|x0，所以y当x0时，函数是指数函数yax，其底数0a1，所以函数递减；当x0时，函数yax的图像与指数函数yax(0a1)的图像关于x轴对称，所以函数递增，所以应选D5函数f (x)的单调递减区间为()A(0，)B(1，)C(，1)D(，1)B令tx22x，由y为减函数知f (x)的单调递减区间为tx22x的单调递增区间又tx22x(x1)21，则函数t的单调递增区间为(1，)，即f (x)的单调递减区间为(1，)，故选B616世纪，随着航海和天文学的发展，人们需要面对越来越繁难的计算，那时数学家制造了很多数
3、表用于计算，比如德国数学斯蒂弗尔在综合算术中阐述了一种对应关系：012349101248165121 024已知光在真空中的传播速度为300 000千米/秒，一年按365天计算，利用上表，估算1光年的距离大约为2k千米(kN*)，则k的值为()A40B41C42D43D由表知：210103，1光年为31056060243659.460 8101223(103)423240243千米，故选D二、填空题7若函数f (x)a|2x4|(a0，a1)满足f (1)，则f (x)的单调递减区间是_2，)由f (1)得a2，所以a或a(舍去)，即f (x)由于y|2x4|在(，2上单调递减，在2，)上单调
4、递增，所以f (x)在(，2上单调递增，在2，)上单调递减8不等式2的解集为_(1，4)原不等式等价为22x4，又函数y2x为增函数，x22xx4，即x23x40，1x49若直线y12a与函数y2|ax1|(a0且a1)的图像有两个公共点，则a的取值范围是_(数形结合法)当0a1时，作出函数y2|ax1|的图像，由图像可知02a1，0a；同理，当a1时，解得0a，与a1矛盾综上，a的取值范围是三、解答题10已知关于x的函数f (x)2x(aa2)4x，其中aR(1)当a2时，求满足f (x)0的实数x的取值范围；(2)若当x(，1时，函数f (x)的图像总在直线y1的上方，求a的整数值解(1)
5、当a2时，f (x)2x24x0，即2x22x1，x2x1，x1故实数x的取值范围是(，1(2)f (x)1在x(，1上恒成立，即aa2在x(，1上恒成立因为函数和在x(，1上均为单调递减函数，所以在(，1上为单调递增函数，最大值为因此aa2，解得a故实数a的整数值是0，111函数yF(x)的图像如图所示，该图像由指数函数f (x)ax与幂函数g(x)xb”拼接”而成(1)求F(x)的解析式；(2)比较ab与ba的大小；(3)若(m4)b(32m)b，求m的取值范围解(1)依题意得解得所以F(x)(2)因为ab，ba，指数函数y在R上单调递减，所以，即abba(3)由(m4)(32m)，得解得
6、m，所以m的取值范围是1若eabeba，e为自然对数底数，则有()Aab0Bab0Cab0Dab0D令f (x)exx，则f (x)在R上单调递增由eabeba得eaaebb，即f (a)f (b)ab，即ab0，故选D2已知函数f (x)ex，其中e是自然对数的底数，则关于x的不等式f (2x1)f (x1)0的解集为()A(2，)B(2，)C(2，)D(，2)B函数f (x)ex的定义域为R，f (x)exexf (x)，f (x)是奇函数，那么不等式f (2x1)f (x1)0等价于f (2x1)f (x1)f (1x)，易证f (x)是R上的单调递增函数，2x1x1，解得x2，不等式f
7、 (2x1)f (x1)0的解集为(2，)3已知定义域为R的函数f (x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)若对任意的tR，不等式f (t22t)f (2t2k)0恒成立，求k的取值范围解(1)因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0)0，即0，解得b1，所以f (x)又由f (1)f (1)知，解得a2(2)由(1)知f (x)，由上式易知f (x)在R上为减函数，又因为f (x)是奇函数，从而不等式f (t22t)f (2t2k)0等价于f (t22t)f (2t2k)f (2t2k)因为f (x)是R上的减函数，由上式推得t22t2t2k即对一切tR有3t22tk0，从而412k
8、0，解得k故k的取值范围为1(2019全国卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星”鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：(Rr)设，由于的值很小，因此在近似计算中33，则r的近似值为()A RB RC RD RD由(Rr)，得M1因为，所以(1)M1，得由33，得3
9、3，即3，所以rR，故选D2定义在D上的函数f (x)，如果满足：对任意xD，存在常数M0，都有|f (x)|M成立，则称f (x)是D上的有界函数，其中M称为函数f (x)的上界，已知函数f (x)1(1)当a1时，求函数f (x)在(，0)上的值域，并判断函数f (x)在(，0)上是不是有界函数，请说明理由；(2)若函数f (x)在0，)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围解(1)设yf (x)1当a1时，yf (x)1(x0)，令t，x0，则t1，yt2t1，y1，即函数f (x)在(，0)上的值域为(1，)，不存在常数M0，使得|f (x)|M成立函数f (x)在(，0)上不是有界函数(2)由题意知，|f (x)|3对x0，)恒成立，即3f (x)3对x0，)恒成立，令t，x0，则t(0，1at对t(0，1恒成立，maxamin设h(t)，p(t)t，t(0，1，h(t)在(0，1上递增，p(t)在(0，1上递减，h(t)在(0，1上的最大值为h(1)5，p(t)在(0，1上的最小值为p(1)1实数a的取值范围为5，1
