1、第一节 平面向量的概念及线性运算考纲要求：1.了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量规定：0 与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的
2、线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)减法求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算aba(b)数乘求实数 与向量 a 的积的运算|a|a|，当 0时，a 与 a 的方向相同；当 0 时，a与 a 的方向相反；当0 时，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab3.共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得 ba.自我查验1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小()(2)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()()(4)
3、向量 ab 与 ba 是相反向量()(5)若 ab，bc，则 ac.()(6)向量与向量是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上()(7)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 ba，反之成立()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)2如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，则图中与相等的向量有_3化简：4已知 a 与 b 是两个不共线的向量，且向量 ab 与(b3a)共线，则 _.答案：13典题 1(1)给出下列命题：若|a|b|，则 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是
4、|a|b|且 ab.其中正确命题的序号是()A BCD(2)给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；a0(为实数)，则 必为零；，为实数，若 ab，则 a 与 b 共线其中错误的命题的个数为()A1 B2C3D4听前试做(1)不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 又 A，B，C，D 是不共线的四点，四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，正确ab，a，b 的长度相等且方向相同，又 bc，b，c 的长度相等且方向相同，a，c 的长度相等且方向相同，故 ac.不正确当 ab 且方向相反时，即使|a
5、|b|，也不能得到 ab，故|a|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.故选 A.(2)错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误，当 a0 时，不论 为何值，a0.错误，当 0 时，ab0，此时，a 与 b 可以是任意向量故选 C.答案：(1)A(2)C(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈(4)非零向量 a 与
6、a|a|的关系：a|a|是 a 方向上的单位向量典题 2(1)(2015新课标全国卷)设 D 为ABC 所在平面内一点，则()(2)设D，E分别是ABC 的边AB，BC上的点，AD12AB，BE23BC.若(1，2 为实数)，则 12 的值为_答案：(1)A(2)12 探究 若将本例(2)的条件 改为“则 _.答案：23向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解(2016沈阳模拟)已知ABC
7、 和点 M 满足若存在实数 m 使得成立，则 m()A2B3C4D5典题 3 设两个非零向量 a 和 b 不共线求证：A、B、D 三点共线(2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线(2)因为 kab 与 akb 共线，所以存在实数，使 kab(akb)，即k，1k，解得 k1.即 k1 时，kab 与 akb 共线探究 1 若将本例(1)中amb”，则 m 为何值时，A、B、D 三点共线？解：(amb)3(ab)4a(m3)b，即4a(m3)b.若 A、B、D 三点共线，则存在实数，使即 4a(m3)b(ab)，4，m3，解得 m7.故当 m7 时，A、B、D 三点共线探究 2 若将本
8、例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则 k 为何值？解：因为 kab 与 akb 反向共线，所以存在实数，使 kab(akb)(0)，所以k，k1，所以 k1.又 0，k，所以 k1.故当 k1 时两向量反向共线(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量 a，b 共线是指存在不全为零的实数 1，2，使 1a2b0 成立；若 1a2b0，当且仅当 120 时成立，则向量 a，b 不共线1已知 a，b 是两个不共线的非零向量，且 a 与 b 起点相同若 a，tb，13(ab)三向量的终点在同一直线上，则
9、 t_.解析：a，tb，13(ab)三向量的终点在同一条直线上，且 a 与 b 起点相同atb 与 a13(ab)共线，即 atb 与23a13b 共线，存在实数，使 atb23a13b，123，t13，解得 32，t12，即 t12时，a，tb，13(ab)三向量的终点在同一条直线上答案：122已知 G 为ABC 的重心，令过点 G 的直线分别交 AB，AC 于 P，Q 两点，且则1m1n_.解析：连接 AG 并延长交 BC 于点 E，如图所示，因为 G，P，Q 三点共线，所以 13m 13n1，即1m1n3.答案：3课堂归纳感悟提升方法技巧1向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”
10、；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”2对于平面上的任一点 O，不共线，满足(x，yR)，则 P，A，B 共线xy1.易错防范1解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误全盘巩固 一、选择题1给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若 a，b 都是单位向量，则ab；向量相等；若非零向量是共线向量，则 A，B，C，D 四点共线则所有正确命题的序号是()ABCD解析：选 A
11、根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；向量互为相反向量，故错误；由于方向相同或相反的向量为共线向量，故也可能平行，即 A，B，C，D 四点不一定共线，故错误2已知 A、B、C 三点不共线，且点 O 满足则下列结论正确的是()3如图，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C、D 是半圆弧的两个三等分点，a，b，则()Aa12bB.12abCa12bD.12ab解析：选 D 连接 CD，由点 C、D 是半圆弧的三等分点，得 CDAB 且b12a.4(2016天水模拟)A、B、O 是平面内不共线的三个定点，且点 P 关于点
12、 A 的对称点为 Q，点 Q 关于点 B 的对称点为 R，则()AabB2(ba)C2(ab)Dba解析：选 B 5(2016日照模拟)在ABC 中，P 是 BC 边的中点，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若则ABC 的形状为()A等边三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形但不是等边三角形解 析：选 A 如 图，由为不共线向量，accb0，abc.二、填空题6(2016包头模拟)如图，在ABC 中，AHBC 交 BC 于 H，M 为 AH 的中点，若则 _.答案：127ABC 所在的平面内有一点 P，满足则PBC 与ABC 的面积之比是_解 析：因 为所 以所 以即 P 是 AC
13、 边的一个三等分点，且 PC23AC，由三角形的面积公式可知，SPBCSABCPCAC23.答案：238设点 M 是线段BC 的中点，点 A 在直线BC 外，16，解析：则 AM 为 RtABC 斜边 BC 上的中线，答案：2三、解答题9如图，以向量为邻边作用 a，b表示10.如图所示，在ABC 中，D，F 分别是 BC，AC 的中点，b.(2)求证：B，E，F 三点共线解：(1)延长 AD 到 G，使连接 BG，CG，得到平行四边形 ABGC，所以 B，E，F 三点共线冲击名校1在平行四边形ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，BE 与AC 相交于点 F，若(m，nR)，则mn的值为()A
14、2B12C2D.122.如图所示，已知点 G 是ABC 的重心，过点 G 作直线与 AB，AC 两边分别交于 M，N 两点，且则 xyxy的值为()A3B.13C2D.12解析：选 B 利用三角形的性质，过重心作平行于底边 BC 的直线，易得 xy23，则 xyxy13.3.如图，在平行四边形 ABCD 中，设S，R，Q，P 分别为 AP，SD，RC，QB 的中点，若manb，则 mn_.答案：65第二节 平面向量基本定理及坐标表示考纲要求：1.了解平面向量基本定理及其意义2掌握平面向量的正交分解及坐标表示3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件1平面向
15、量基本定理如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2.其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则：ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|x21y21.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|x2x12y2y12.3平面向量共线的坐标表示设 a(x1，
16、y1)，b(x2，y2)，其中 b0，则 abx1y2x2y10.自我查验1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在ABC 中，向量，的夹角为ABC.()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(4)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数 1，1，2，2 满足 1a1b2a2b，则 12，12.()(5)若两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同()(6)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()(7)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可表示成x1x2y1y2.()答案：(1)(
17、2)(3)(4)(5)(6)(7)2设 M 是的对角线的交点，O 为任意一点，则则 _.答案：43已知 a(2,1)，b(3,4)，则 3a4b_，3a4b_.答案：(6,19)(18，13)4O 是坐标原点，(k,12)，(4,5)，(10，k)，当 k_时，A，B，C 三点共线答案：2 或 11典题1 在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点若ACAEAF，其中，R，则 _.于是得121，121，即23，23，故 43.答案：43探究 1 若将本例中则 为何值？2，2，即 0.探究 2 在本例条件下，若试用 c，d 表示解：设因为 E，F 分别为 CD 和 BC 的中点，所以
18、于是有：cb12a，da12b，解得a232dc，b232cd.即23(2dc)43d23c，23(2cd)43c23d.(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决典题 2(1)(2015新课标全国卷)已知点 A(0,1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)(2)若向量 a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)则 c()A12a32bB.12a32bC.32a12bD
19、32a12b(3)(2016海淀模拟)已知向量 a(1,1)，点 A(3,0)，点 B 为直线 y2x 上的一个动点若a，则点 B 的坐标为_听前试做(1)法一：设 C(x，y)，则(x，y1)(4，3)，所以x4，y2，从而(4，2)(3,2)(7，4)法二：(3,2)(0,1)(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)(2)设 c1a2b，则(1,2)1(1,1)2(1，1)(12，12)，121，122，解得 112，232，所以 c12a32b.(3)设 B(x,2x)，(x3,2x)a，x32x0，解得 x3，B(3，6)答案：(1)A(2)B(3)(3，6)向量的坐标运算主要是利用
20、加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题，且主要有以下几个命题角度：角度一：利用向量共线求参数或点的坐标典题 3(1)(2015四川高考)设向量 a(2,4)与向量 b(x,6)共线，则实数 x()A2B3C4D6(2)已知梯形 ABCD，其中 ABCD，且 DC2AB，三个顶点 A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点 D 的坐标为_听前试做(1)ab，264x0，解得 x3.(2)在梯形 ABCD 中，DC2AB，AB
21、CD，2.设点 D 的坐标为(x，y)，则(4x，2y)，(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，4x2，2y2，解得x2，y4，故点 D 的坐标为(2,4)答案：(1)B(2)(2,4)角度二：利用向量共线解决三点共线问题典题 4(1)已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若 A、B、C 三点不能构成三角形，则 k_.(2)已知a，b，c，d，e，设 tR，如果 3ac,2bd，et(ab)，那么 t 为何值时，C，D，E 三点在一条直线上？听前试做(1)若点 A、B、C 不能构成三角形，则向量，共线，(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，
22、3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得 k1.(2)由题设，知dc2b3a，ec(t3)atb.C，D，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数 k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.若 a，b 共线，则 t 可为任意实数；若 a，b 不共线，则有t33k0，2kt0，解得 t65.综上，可知 a，b 共线时，t 可为任意实数；a，b 不共线时，t65.答案：(1)1(1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y1”解题比较方便利用两向量共线的条件求向
23、量坐标一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为 a(R)，然后结合其他条件列出关于 的方程，求出 的值后代入 a 即可得到所求的向量(如角度一)(2)A、B、C 三点共线与共线(如角度二)典题 5(1)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示若 cab(，R)，则_.(2)给定两个长度为 1 的平面向量和，它们的夹角为23.如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧上运动若xy，其中 x，yR，求 xy 的最大值听前试做(1)设 i，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则 aij，b6i2j，ci3j，所以i3j(ij)(6i2j)，根据平面向量基本定理得 2
24、，12，所以4.(2)以 O 为坐标原点，所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(1，0)，B12，32，设AOC0，23，则 C(cos，sin)，由xy，得cos x12y，sin 32 y，所以 xcos 33 sin，y2 33 sin，所以 xycos 3sin 2sin6，又 0，23，所以当 3时，xy 取得最大值 2.答案：(1)4本例(2)的难点是选择合适的变量表示 xy，然后转化为函数的最值求解，而破解这一难点的关键是建立平面直角坐标系，设出 C 点的坐标为 C(cos，sin)，然后借助xy求出 x，y，从而利用三角函数的知识求出 xy 的最大值课堂归纳
25、感悟提升方法技巧1两向量平行的充要条件若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0，则 ab 的充要条件是 ab，这与 x1y2x2y10 在本质上是没有差异的，只是形式上不同2三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定3若 a 与 b 不共线且 ab0，则 0.易错防范1若 a，b 为非零向量，当 ab 时，a，b 的夹角为 0或 180，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示成x1x2y1y2，因为 x2，y2 有可能等于 0，所以应表示为 x1y2x2y10.全盘巩
26、固一、选择题A(4,10)B(2,5)C(4,5)D(8,10)解析：选 A(1，3)(3,8)(2,5)，故 2(4,10)2下列各组向量：e1(1,2)，e2(5,7)；e1(3,5)，e2(6,10)；e1(2，3)，e212，34，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是()ABCD解析：选 B 中，e112e2，即 e1 与 e2 共线，所以不能作为基底3已知向量 a(1sin，1)，b12，1sin ，若 ab，则锐角()A.6B.4C.3D.512解析：选 B 因为 ab，所以(1sin)(1sin)1120，得 sin212，所以 sin 22，故锐角 4.4设向量 a(x,1
27、)，b(4，x)，且 a，b 方向相反，则 x 的值是()A2B2C2D0解析：选 B 因为 a 与 b 方向相反，所以 bma，m0，则有(4，x)m(x,1)，4mx，xm，解得 m2.又 m0，m2，xm2.5已知平面直角坐标系内的两个向量 a(1,2)，b(m,3m2)，且平面内的任一向量 c都可以唯一地表示成 cab(，为实数)，则实数 m 的取值范围是()A(，2)B(2，)C(，)D(，2)(2，)解析：选 D 由题意知向量 a，b 不共线，故 2m3m2，即 m2.二、填空题6(2016雅安模拟)已知向量 a(3，1)，b(0，1)，c(k，3)若 a2b 与 c 共线，则 k
28、_.解析：a2b(3，3)，且 a2bc，3 33k0，解得 k1.答案：17已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若则 _.解析：建立如图所示的平面直角坐标系 xAy，则(2，2)，(1,2)，(1,0)，由题意可知(2，2)(1，2)(1,0)，即2，22，解得1，3，所以 3.答案：38(2015江苏高考)已知向量 a(2,1)，b(1，2)，若 manb(9，8)(m，nR)，则 mn 的值为_解析：manb(2mn，m2n)(9，8)，2mn9，m2n8，m2，n5，mn253.答案：3三、解答题9已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求 3
29、ab3c；(2)求满足 ambnc 的实数 m，n；(3)求 M，N 的坐标及向量的坐标解：由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，6mn5，3m8n5，解得m1，n1.即所求实数 m 的值为1，n 的值为1.10已知 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及求：(1)t 为何值时，P 在 x 轴上？P 在 y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形 OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的 t 值；若不能，请说明理由解：(1)(4,5)(1,2)(3,3)，
30、则(1,2)t(3,3)(13t,23t)若 P 在 x 轴上，则 23t0，t23；若 P 在 y 轴上，则 13t0，t13；若 P 在第二象限，则13t0，23t0，k0.探究 2 在本例(2)的条件下，若 2a3b 与 c 的夹角为钝角，求 k 的取值范围解：2a3b 与 c 的夹角为钝角，(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，4k660，即 k0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有 ab0，反之不成立全盘巩固一、选择题1已知|a|6，|b|3，向量 a 在 b 方向上的投影是 4，则 ab 为()A12B8C8D2解析：选 A|a|cosa，b4，|b|3，ab|a|b|
31、cosa，b3412.2已知 p(2，3)，q(x,6)，且 pq，则|pq|的值为()A.5B.13C5D13解析：选 B 由题意得 263x0 x4|pq|(2，3)(4,6)|(2,3)|13.3(2016商丘模拟)在ABC 中，已知4，1，SABC 3，则的值为()A2B2C4D2解析：选 D SABC12|AB|AC|sinBAC1241sinBAC 3.sinBAC 32，cosBAC12，cosBAC2.4已知向量 a(1,2)，b(2，3)若向量 c 满足(ca)b，c(ab)，则 c()A.79，73B.73，79C.73，79D.79，73解析：选 D 设 c(x，y)，则
32、 ca(x1，y2)，ab(3，1)，又(ca)b，2(y2)3(x1)0.又 c(ab)，(x，y)(3，1)3xy0，联立，解得 x79，y73.5.如图，已知点 P 是边长为 2 的正三角形 ABC 的边 BC 上的动点，则()A最大值为 8B为定值 6C最小值为 2D与 P 的位置有关解析：选 B 设 BC 的中点为 D，连接 AD，的夹角为，则有二、填空题6已知在矩形ABCD 中，AB2，AD1，E，F 分别是 BC，CD 的中点，则等于_解析：如图，将矩形放入直角坐标系中，则 A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，E2，12，C(2,1)，F(1,1)，所以(2,1)，所以所以
33、3，32(2,1)63292.答案：927(2015浙江高考)已知 e1，e2 是平面单位向量，且 e1e212.若平面向量 b 满足 be1be21，则|b|_.解析：e1e212，|e1|e2|cose1，e212，e1，e260.又be1be210，b，e1b，e230.由 be11，得|b|e1|cos 301，|b|1322 33.答案：2 338设 a，b，c 是单位向量，且 ab0，则(ac)(bc)的最大值为_解析：法一：设向量 c 与 ab 的夹角为，则有|ab|ab2 a2b22ab 2，(ac)(bc)(ab)cc21 2cos，故最大值是 1 2.法二：a，b 是单位向
34、量，且 ab0，故可设 a(1,0)，b(0,1)又 c 是单位向量，故可设 c(cos，sin)，0,2)(ac)(bc)(1cos，sin)(cos，1sin)(1cos)cos sin(1sin)cos cos2sin sin21cos sin 1 2sin4.(ac)(bc)的最大值为 1 2.答案：1 2三、解答题9.如图，O 是ABC 内一点，AOB150，AOC120，向量的模分别为 2，3，4.(1)求|；(2)若求实数 m，n 的值4m3n4，3m3n0，mn4.10已知|a|4，|b|8，a 与 b 的夹角是 120.(1)计算：|ab|，|4a2b|；(2)当 k 为何值
35、时，(a2b)(kab)解：由已知得，ab4812 16.(1)|ab|2a22abb2162(16)6448，|ab|4 3.|4a2b|216a216ab4b2161616(16)464768，|4a2b|16 3.(2)(a2b)(kab)，(a2b)(kab)0，ka2(2k1)ab2b20，即 16k16(2k1)2640.k7.即 k7 时，a2b 与 kab 垂直冲击名校1已知是非零向量，且满足则ABC 的形状为()A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形而 cosA12，A60，ABC 为等边三角形2已知ABC 中，16，D 为边的中点，则等于()A6 B5C4
36、D33在ABC中，P0是AB 的中点，且对于边AB上任一点P，恒有则有()AABBC BACBCCABC90DBAC90解析：选 D 如图所示，设 BC 的中点为 D，4单位圆上三点 A，B，C 满足则向量的夹角为_解析：A，B，C 为单位圆上三点，答案：1205已知向量(6,1)，(x，y)，(2，3)(1)若，求 x 与 y 之间的关系式；(2)在(1)的条件下，若，求 x，y 的值及四边形 ABCD 的面积即(x6)(x2)(y1)(y3)0.联立，化简得 y22y30.解得 y3 或 y1.故当 y3 时，x6，第四节 平面向量应用举例考纲要求：1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问
37、题2会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1向量在几何中的应用(1)证明线线平行或点共线问题，常用共线向量定理：ababa1b2a2b10(b0)(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：abab0a1b1a2b20.(3)平面几何中夹角与线段长度计算：a，b ab|a|b|a1b1a2b2a21a22b21b22，|AB|x2x12y2y12.2向量在解析几何中的应用(1)向量 a(a1，a2)平行于直线 l，则直线 l 的斜率 ka2a1(a10)(2)若直线 l 的方程为 AxByC0，则向量(A，B)与直线 l 垂直，向量(B，A)与直线l 平行3平面向量在物理中的应用(1
38、)向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用(2)向量在速度的分解与合成中的应用(3)向量的数量积在合力做功问题中的应用：WFs.自我查验1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若，则 A，B，C 三点共线()(2)若与共线，则 A，B，C，D 四点在一条直线上()(3)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|x2x12y2y12.()(4)在ABC 中，若0)，则(a,3)，(xa，y)，(x，by)由0，得 a(xa)3y0.由得(xa，y)32(x，by)32x，32yb，xa32x，y32y32b，ax2，by3.把 ax2代入，得x2xx2 3y0，整理得y14x2
39、(x0)所以动点 M 的轨迹方程为 y14x2(x0)向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题(2)工具作用：利用 abab0；abab(b0)，可解决垂直、平行问题特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.如图所示，直线 x2 与双曲线 C：x24y21 的渐近线交于 E1，E2 两点记e1，e2，任取双曲线 C 上的点 P，若ae1be2(a，bR)，则 ab 的值为()A
40、.14B1C.12D.18解析：选 A 由题意易知 E1(2,1)，E2(2，1)，e1(2,1)，e2(2，1)，故ae1be2(2a2b，ab)，又点 P 在双曲线上，2a2b24(ab)21，整理可得 4ab1，ab14.向量的共线与垂直和向量的数量积之间的关系以其独特的表现形式成为高考命题的亮点，它常与三角函数相结合，在知识的交汇点处命题，以选择题、填空题或解答题的形式出现，且主要有以下几个命题角度：角度一：向量与三角恒等变换的结合典题 3 已知 a(cos，sin)，b(cos，sin)，0.且 ab(0,1)，则 _，_.听前试做 因为 ab(0,1)，所以cos cos 0，si
41、n sin 1，由此得，cos cos()由 0，得 0，又 0，所以 56，6.答案：56 6角度二：向量与三角函数的结合典题 4 设向量 a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种运算：ab(a1，a2)(b1，b2)(a1b1，a2b2)已知向量 m12，4，n6，0.点 P 在 ycos x 的图象上运动，点 Q 在 yf(x)的图象上运动，且满足mn(其中 O 为坐标原点)，则 yf(x)在区间6，3 上的最大值是()A4 B2 C2 2 D2 3听前试做 设(x0，y0)，(x，y)，由题意可得 y0cos x0，(x，y)mn12，4(x0，y0)6，0 12x0，4y0 6，
42、0 12x06，4y0，即 x12x06，y4y0，即 x02x3，y014y，所以14ycos2x3，即 y4cos2x3.因为点 Q 在 yf(x)的图象上运动，所以 f(x)4cos2x3，当6x3时，02x33，所以当 2x30 时，f(x)取得最大值 4.答案：A角度三：向量与解三角形的结合典题 5 已知函数 f(x)ab，其中 a(2cos x，3sin 2x)，b(cos x,1)，xR.(1)求函数 yf(x)的单调递减区间；(2)在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，f(A)1，a 7，且向量 m(3，sin B)与 n(2，sin C)共线，求边长 b
43、和 c 的值听前试做(1)f(x)2cos2x 3sin 2x1cos 2x 3sin 2x12cos2x3，令 2k2x32k(kZ)，解得 k6xk3(kZ)，函数 yf(x)的单调递减区间为 k6，k3(kZ)(2)f(A)12cos2A3 1，cos2A3 1，又32A373，2A3，即 A3.a 7，由余弦定理得 a2b2c22bccos A(bc)23bc7.向量 m(3，sin B)与 n(2，sin C)共线，2sin B3sin C，由正弦定理得 2b3c，由得 b3，c2.(1)解决向量与三角恒等变换结合问题的关键是根据向量间的关系把问题转化为三角函数的条件求值，然后利用三
44、角函数的相关公式求解(如角度一)(2)解决向量与三角函数结合问题的关键是利用向量的坐标运算，把问题转化为三角函数，化简三角函数关系式，然后研究三角函数的性质(如角度二)(3)解决向量与解三角形结合问题的关键是利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利用内角和定理或正、余弦定理解决问题(如角度三)课堂归纳感悟提升方法技巧1用向量解决问题时，应注意数形结合思想和转化与化归思想的应用一般是先画出向量示意图，把问题转化为向量问题解决2牢记以下 4 个结论易错防范1注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价2注意向量共线和两直线平行的关系3利用向量解决解析几何中的平行与垂直，可
45、有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况全盘巩固 一、选择题1在ABC 中，“ABC 为直角三角形”是的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析：选 B 若ABC 为直角三角形，角 B 不一定为直角，即不一定等于 0；若，则 ABBC，故角 B 为直角，即ABC 为直角三角形，故“ABC 为直角三角形”是的必要不充分条件2已知点 M(3,0)，N(3,0)动点 P(x，y)满足则点 P的轨迹的曲线类型为()A双曲线B抛物线C圆D椭圆解析：选 B(3,0)(3,0)(6,0)，|6，(x，y)(3,0)(x3，y)，(x，y)(3,0)(x3，y)，6 x32y26(
46、x3)0，化简可得 y212x.故点 P 的轨迹为抛物线3已知非零向量 a，b，满足 ab，则函数 f(x)(axb)2(xR)是()A既是奇函数又是偶函数B非奇非偶函数C偶函数D奇函数解析：选 C 因为 ab，所以 ab0，所以 f(x)(axb)2|a|2x22abx|b|2|a|2x2|b|2，所以函数 f(x)(axb)2 为偶函数4若非零向量且则ABC 为()A三边均不相等的三角形B直角三角形C等边三角形D等腰非等边三角形解析：选 C 知，角 A 的平分线与 BC 垂直，|；由知，cos A12，A60.ABC 为等边三角形5在ABC 中，满足|，(3)，则角 C 的大小为()A.3
47、 B.6 C.23 D.56解析：选 C 设ABC 的角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，由(3)，可得(3)(3)()c23b24c23b24cbcos Ac23b22(b2c2a2)0，即 b2c22a20.又由|可得 ab，则 c23a2，由余弦定理可得 cos Ca2b2c22aba2a23a22a212，所以ABC 的内角 C23.二、填空题6在ABC 中，若2，则边 AB 的长等于_解析：由题意知4，即()4，即4，|2.答案：27已知|a|2|b|，|b|0，且关于 x 的方程 x2|a|xab0 有两相等实根，则向量 a 与b 的夹角是_解析：由已知可得|a|24ab0，
48、即 4|b|242|b|2cos 0，cos 12，又0，23.答案：238设向量 a(2cos，2sin)，b(cos，sin)，其中 0，若以向量 ab 与 a2b 为邻边所作的平行四边形是菱形，则 cos()_.解析：由题意知，|ab|a2b|，所以 a22abb2a24ab4b2，所以 2abb2，即 4cos()1，所以 cos()14.答案：14三、解答题9已知在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2SABC 3.(1)求角 B 的大小；(2)若 b2，求 ac 的取值范围解：(1)由已知得 acsin B 3accos B，tan B 3，0B，B3.(2
49、)法一：由余弦定理得 4a2c22accos 3，即 4(ac)23ac(ac)23ac22(当且仅当 ac 时取等号)，解得 0b，2ac4，ac 的取值范围是(2,4法二：由正弦定理得 a 43sin A，c 43sin C，又 AC23，ac 43(sin Asin C)43sin Asin(AB)43sin A12sin A 32 cos A 432 sin A12cos A 4sinA6.0A23，6A656，12sinA6 1，ac 的取值范围是(2,410已知向量 asin x，32，b(cos x，1)(1)当 ab 时，求 tan 2x 的值；(2)求函数 f(x)(ab)b
50、 在2，0 上的值域解：(1)ab，sin x(1)32cos x0，即 sin x32cos x0，tan x32，tan 2x 2tan x1tan2x125.(2)f(x)(ab)babb2sin xcos x32cos2x112sin 2x3212cos 2x121 22 sin2x4.2x0，2x0，34 2x44，22 22 sin2x4 12，f(x)在2，0 上的值域为 22，12.冲击名校1设 O 是ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)若1313，则BAC 的度数等于()A30 B45 C60 D90解析：选 C 取 BC 的中点 D，连接 AD，则2.由题意得 32，AD
51、为 BC 的中线且 O 为重心又 O 为外心，ABC 为正三角形，BAC60.2若函数 f(x)2sin6x3(2x10)的图象与 x 轴交于点 A，过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 B，C 两点，则()()A32B16C16D32解析：选 D 函数 f(x)2sin6x3(2x10)的图象如图所示由 f(x)0，解得 x4，即 A(4,0)，过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 B，C 两点，根据对称性可知，A 是 B，C 的中点，所以2，所以()22|224232.3已知 A、B、C 是圆 x2y21 上的三点，且，其中 O 为坐标原点，则的面积等于_解析：如图所示，由|1 知，O
52、ACB 是边长为 1 的菱形，且AOB120.SOACB|sin 12011 32 32.答案：324已知ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 mcos C2，sin C2，ncos C2，sin C2，且 m 与 n 的夹角为3.(1)求角 C；(2)已知 c72，SABC3 32，求 ab 的值解：(1)因为向量 mcos C2，sin C2，ncos C2，sin C2，所以 mncos2 C2sin2 C2，|m|cos2C2sin2C21，|n|cos2 C2 sinC221，又 m 与 n 的夹角为3，所以 cos 3 mn|m|n|cos2C2sin2
53、C2cos C12，因为 0C，所以 C3.(2)因为 SABC12absin C12absin 3 34 ab，所以 34 ab3 32，所以 ab6，由余弦定理得，cos Ca2b2c22ab，即12ab22abc22abab212 72212，解得 ab112.考点一：平面向量的线性运算1(2014新课标全国卷)设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则()A B.12CD.12解析：选 A 12()12()12()，故选 A.2(2015陕西高考)对任意平面向量 a，b，下列关系式中不恒成立的是()A|ab|a|b|B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2D(a
54、b)(ab)a2b2解析：选 B 根据 ab|a|b|cos，又 cos 1，知|ab|a|b|，A 恒成立当向量 a 和b 方向不相同时，|ab|a|b|，B 不恒成立根据|ab|2a22abb2(ab)2，C 恒成立根据向量的运算性质得(ab)(ab)a2b2，D 恒成立3(2014福建高考)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则等于()AB2C3D4解析：选 D 依题意知，点 M 是线段 AC 的中点，也是线段 BD 的中点，所以2，2，所以4，故选 D.考点二：平面向量基本定理及坐标表示1(2015新课标全国卷)设向量 a，b
55、不平行，向量 ab 与 a2b 平行，则实数 _.解析：ab 与 a2b 平行，abt(a2b)，即 abta2tb，t，12t，解得12，t12.答案：122(2014福建高考)在下列向量组中，可以把向量 a(3,2)表示出来的是()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)解析：选 B 由题意知，A 选项中 e10，C，D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选 B，事实上，a(3,2)2e1e2.3(2015北京高考)在ABC 中，点 M，N 满足2，.若xy，则 x_；y_.解析：2，23.，1
56、2()12()231216.又xy，x12，y16.答案：12 16考点三：平面向量的数量积1(2014新课标全国卷)设向量 a，b 满足|ab|10，|ab|6，则 ab()A1 B2C3D5解析：选 A 由条件可得，(ab)210，(ab)26，两式相减得 4ab4，所以 ab1.2(2015安徽高考)ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a，b 满足2a，2ab，则下列结论正确的是()A|b|1BabCab1D(4ab)解析：选 D 在ABC 中，由2ab2ab，得|b|2.又|a|1，所以ab|a|b|cos 1201，所以(4ab)(4ab)b4ab|b|24(1)40，所以
57、(4ab)，故选 D.3(2015四川高考)设四边形 ABCD 为平行四边形，|6，|4.若点 M，N 满足()A20B15C9D6解析：选 C 如图所示，由题设知：1336 316169.4(2015山东高考)已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，则()A32a2B34a2C.34a2D.32a2解析：选 D 由已知条件得 3aacos 3032a2.5(2015福建高考)已知|1t，|t.若点 P 是ABC 所在平面内的一点，且则的最大值等于()A13B15C19D21解析：选 A 故以 A 为原点，AB，AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系不妨设 B0，1t，C(t,0)，则
58、0，1t1t4t，0t(4,1)，故点 P 的坐标为(4,1)4，1t1(t4，1)4t1t174t1t 172 41713.当且仅当 4t1t，即 t12时(负值舍去)取得最大值 13.6(2014山东高考)已知向量 a(1，3)，b(3，m)若向量 a，b 的夹角为 6，则实数 m()A2 3B.3C0D 3解析：选 B 根据平面向量的夹角公式可得 13 3m29m232，即 33m 3 9m2，两边平方并化简得 6 3m18，解得 m 3，经检验符合题意.7(2014天津高考)已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，BEBC，DFDC.若23
59、，则()A.12B.23C.56D.712解析：选 C 如图所示，以菱形 ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系 xOy，不妨设 A(0，1)，B(3，0)，C(0,1)，D(3，0)，由题意得(1)(3 3，1)，(1)(3 3，1)因为23，所以 3(1)(1)(1)(1)23，即(1)(1)13.因为(3 3，1)，(3 3，1)，又1，所以(1)(1)2.由1113，112，整理得 56.8(2014湖北高考)若向量(1，3)，|，0，则|_.解析：法一：设(x，y)，由|知，x2y2 10，又x3y0，所以 x3，y1 或 x3，y1.当 x3，y1 时，|2 5
60、；当 x3，y1 时，|2 5.则|2 5.法二：由几何意义知，|就是以，为邻边的正方形的对角线长，所以|2 5.答案：2 59(2014山东高考)在ABC 中，已知tan A，当 A6时，ABC 的面积为_解析：根据平面向量数量积的概念得当 A6时，根据已知可得23，故ABC 的面积为12sin 616.答案：1610(2014四川高考)平面向量 a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m_.解析：由已知可以得到 c(m4,2m2)，且 cosc，acosc，b，所以 ca|c|a|cb|c|b|，又|b|2|a|，所以 2cacb，即 2m422m2 4(m4)2(2m2)，解得 m2.答案：2
