1、21变化率与导数、导数的计算一、选择题1函数f(x)在点(x0,f(x0)处的切线平行于x轴,则f(x0)()AB.C. De2解析:与x轴平行的切线,其斜率为0,所以f (x0)0,故x0e,f(x0).答案:B2阅读下图所示的程序框图,其中f (x)是f(x)的导数已知输入f(x)sinx,运行相应的程序,输出的结果是()Asinx BsinxCcosx Dcosx解析:f1(x)(sinx)cosx,f2(x)(cosx)sinx,f3(x)(sinx)cosx,f4(x)(cosx)sinx,f5(x)(sinx)cosx,它以4为周期进行变换,故f2011(x)f3(x)cosx.答
2、案:D3已知点P在曲线y上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是()A0,) B,)C(, D,)解析:设曲线在点P处的切线斜率为k,则ky,因为ex0,所以由基本不等式得k,又k0,1k0,即1tan0,所以.答案:D4有一机器人的运动方程为st2(t是时间,s是位移),则该机器人在时刻t2时的瞬时速度为()A.B.C.D.解析:s(t)t2,s(t)2t,机器人在时刻t2时的瞬时速度为s(2)4.答案:D5已知函数f(x)的导函数为f (x),且满足f(x)2xf (1)x2,则f (1)()A1 B2C1 D2解析:f (x)2f (1)2x,令x1,得f (1)2,选B.答案:
3、B6已知函数f(x)x2bx的图象在点A(1,f(1)处的切线l与直线3xy20平行,若数列的前n项和为Sn,则S2011的值为()A. B.C. D.解析:f (x)2xb,由f (1)2b3,得b1.于是,S201111.答案:D二、填空题7函数ysinxcosx在x处的切线方程是_解析:当x时,ysincos1,切点为(,1)ycosxsinx,kcossin1,根据点斜式可得此切线的方程为:y11(x),即yx1.答案:yx18若曲线f(x)ax3lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是_解析:依题意得f (x)3ax20,(x0)有实根,a0.答案:(,0)9在平面直角坐标系
4、xOy中,点P在曲线C:yx310x3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线斜率为2,则点P的坐标为_解析:设P(x0,y0)(x00)由题意知y|xx03x102,x4.x02(x02舍去)y015.点P的坐标为(2,15)答案:(2,15)三、解答题10设有抛物线C:yx2x4,通过原点O作C的切线ykx,使切点P在第一象限(1)求k的值;(2)过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q的坐标解析:(1)设点P的坐标为(x1,y1),则y1kx1y1xx14代入得xx140.P为切点,2160,得k或k.当k时,x12,y117.当k时,x12,y11.P在第一象限,所求的斜率k
5、.(2)由(1)得P点坐标为(2,1),过P点的切线的垂线为y2x5.由,得或(舍)点Q的坐标为.11(2014绍兴调研)设t0,点P(t,0)是函数f(x)x3ax与g(x)bx2c的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线试用t表示a,b,c.解析:因为函数f(x),g(x)的图象都过点(t,0),所以f(t)0,即t3at0.因为t0,所以at2.g(t)0,即bt2c0,所以cab.又因为f(x),g(x)在点(t,0)处有相同的切线,所以f(t)g(t)而f(x)3x2a,g(x)2bx,所以3t2a2bt.将at2代入上式得bt.因此cabt3.故at2,bt,ct3.1
6、2设函数f(x)ax,曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式;(2)曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值,并求此定值解析:(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时,y.又f(x)a,于是解得故f(x)x.(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y1知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为yy0(1)(xx0),即y(x0)(1)(xx0)令x0得y,从而得切线与直线x0的交点坐标为(0,)令yx得yx2x0,从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0,y0)处的切线与直线x0,yx所围成的三角形面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0,yx所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.