1、21变化率与导数、导数的计算一、选择题1函数f(x)在点(x0，f(x0)处的切线平行于x轴，则f(x0)()AB.C. De2解析：与x轴平行的切线，其斜率为0，所以f (x0)0，故x0e，f(x0).答案：B2阅读下图所示的程序框图，其中f (x)是f(x)的导数已知输入f(x)sinx，运行相应的程序，输出的结果是()Asinx BsinxCcosx Dcosx解析：f1(x)(sinx)cosx，f2(x)(cosx)sinx，f3(x)(sinx)cosx，f4(x)(cosx)sinx，f5(x)(sinx)cosx，它以4为周期进行变换，故f2011(x)f3(x)cosx.答
2、案：D3已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()A0，) B，)C(， D，)解析：设曲线在点P处的切线斜率为k，则ky，因为ex0，所以由基本不等式得k，又k0，1k0，即1tan0，所以.答案：D4有一机器人的运动方程为st2(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t2时的瞬时速度为()A.B.C.D.解析：s(t)t2，s(t)2t，机器人在时刻t2时的瞬时速度为s(2)4.答案：D5已知函数f(x)的导函数为f (x)，且满足f(x)2xf (1)x2，则f (1)()A1 B2C1 D2解析：f (x)2f (1)2x，令x1，得f (1)2，选B.答案：
3、B6已知函数f(x)x2bx的图象在点A(1，f(1)处的切线l与直线3xy20平行，若数列的前n项和为Sn，则S2011的值为()A. B.C. D.解析：f (x)2xb，由f (1)2b3，得b1.于是，S201111.答案：D二、填空题7函数ysinxcosx在x处的切线方程是_解析：当x时，ysincos1，切点为(，1)ycosxsinx，kcossin1，根据点斜式可得此切线的方程为：y11(x)，即yx1.答案：yx18若曲线f(x)ax3lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_解析：依题意得f (x)3ax20，(x0)有实根，a0.答案：(，0)9在平面直角坐标系
4、xOy中，点P在曲线C：yx310x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为_解析：设P(x0，y0)(x00)由题意知y|xx03x102，x4.x02(x02舍去)y015.点P的坐标为(2,15)答案：(2,15)三、解答题10设有抛物线C：yx2x4，通过原点O作C的切线ykx，使切点P在第一象限(1)求k的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标解析：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1kx1y1xx14代入得xx140.P为切点，2160，得k或k.当k时，x12，y117.当k时，x12，y11.P在第一象限，所求的斜率k
5、.(2)由(1)得P点坐标为(2,1)，过P点的切线的垂线为y2x5.由，得或(舍)点Q的坐标为.11(2014绍兴调研)设t0，点P(t,0)是函数f(x)x3ax与g(x)bx2c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线试用t表示a，b，c.解析：因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)，所以f(t)0，即t3at0.因为t0，所以at2.g(t)0，即bt2c0，所以cab.又因为f(x)，g(x)在点(t,0)处有相同的切线，所以f(t)g(t)而f(x)3x2a，g(x)2bx，所以3t2a2bt.将at2代入上式得bt.因此cabt3.故at2，bt，ct3.1
6、2设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值解析：(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(1)(xx0)，即y(x0)(1)(xx0)令x0得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为(0，)令yx得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.