1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时向量数量积的坐标表示、模、夹角1.了解向量数量积的坐标表示2.理解向量数量积的坐标运算3掌握利用向量的数量积求向量的夹角、平行、垂直等问题1向量数量积的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和2求向量模的公式设a(x，y)，则|a|2a2aax2y2或|a|3两点间距离公式设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|4向量的夹角公式设a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a0，b0，a与b夹角为，则cos .特别地，若abx1x2y1y20反之，若x1x2y1y20，则ab.1判断(
2、正确的打“”，错误的打“”)(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.()(2)若两个非零向量的夹角满足cos 0，则两向量的夹角一定是钝角()(3)若A(1，0)，B(0，1)，则|.()解析：(1)错误当a0或b0时，x1x2y1y20.此时ab.(2)错误如a(1，1)，b(1，1)，则cos 10，但a与b的夹角是180而并不是钝角(3)正确由两点间的距离公式，得|.答案：(1)(2)(3)2已知a(3，4)，b(5，2)，则ab的值是()A23B7C23D7答案：D3若a(4，2)，b(k，1)，且ab，则k_解析：ab(4，2)(k，1)4k2，因为ab
3、，所以4k20，k.答案：4已知a(，1)，b(，1)，则向量a，b的夹角_解析：因为a(，1)，b(，1)，所以cos ，又0180，所以120.答案：120向量数量积的坐标运算已知向量a(1，3)，b(2，5)，c(2，1)求：(1)ab；(2)(ab)(2ab)；(3)(ab)c，a(bc)【解】(1)ab(1，3)(2，5)123517.(2)因为ab(1，3)(2，5)(3，8)，2ab2(1，3)(2，5)(2，6)(2，5)(0，1)，所以(ab)(2ab)(3，8)(0，1)30818.(3)(ab)c17c17(2，1)(34，17)，a(bc)a(2，5)(2，1)(1，3
4、)(2251)9(1，3)(9，27)若本例的条件不变，求(1)2a(ba)；(2)(a2b)c.解：(1)2a2(1，3)(2，6)，ba(2，5)(1，3)(1，2)，所以2a(ba)(2，6)(1，2)216214.(2)a2b(1，3)2(2，5)(1，3)(4，10)(5，13)，所以(a2b)c(5，13)(2，1)5213123.向量数量积坐标运算的求法以坐标形式计算数量积，要找准数量积中各向量的坐标，可一步一步计算每个过程以保证结果正确 1.设向量a(1，2)，向量b(3，4)，向量c(3，2)，则向量(a2b)c()A(15，12)B0C3D11解析：选C依题意可知，a2b(
5、1，2)2(3，4)(5，6)，所以(a2b)c(5，6)(3，2)53623.向量的模与夹角问题已知向量a(1，0)，b(1，1)，则(1)与2ab同向的单位向量的坐标表示为_；(2)向量b3a与向量a夹角的余弦值为_【解析】(1)因为2ab(3，1)，所以与它同向的单位向量的坐标是.(2)b3a(2，1)，所以(b3a)a2，|b3a|，所以b3a与a夹角的余弦值为.答案：(1)(2)熟练掌握平面向量的夹角公式，两向量的数量积定义及其运算性质是解此类题目的关键，在求解过程中只要明确所求解的量，并逐步求解所求的量即可顺利解题 2.已知向量a(，1)和b(1，)，若acbc，试求模为的向量c的
6、坐标解：设c(x，y)，则ac(，1)(x，y)xy，bc(1, )(x，y)xy，由acbc及|c|，得解得或所以c或c.向量垂直的坐标表示已知向量a(4，3)，b(1，2)若向量ab与2ab垂直，求的值【解】法一：因为a(4，3)，b(1，2)，所以ab(4，3)(1，2)(4，32).2ab2(4，3)(1，2)(7，8)又ab与2ab垂直，所以(ab)(2ab)0，即7(4)8(32)0.所以.法二：因为ab与2ab垂直，所以(ab)(2ab)0.所以2a22ababb20.因为a(4，3)，b(1，2)，所以a225，b25，ab462.所以504250.所以.充分利用向量垂直的条件
7、，将问题转化为实数方程组的求解问题 3.已知平面向量a(3，4)，b(9，x)，c(4，y)，且ab，ac.(1)求b与c；(2)若m2ab，nac，求向量m，n的夹角的大小解：(1)因为ab，所以3x49，所以x12.因为ac，所以344y0，所以y3，所以b(9，12)，c(4，3)(2)m2ab(6，8)(9，12)(3，4)，nac(3，4)(4，3)(7，1)设m、n的夹角为，则cos .因为0，所以，即m，n的夹角为.向量的数量积及模的坐标表示(1)数量积坐标表示的作用及记忆口诀作用：数量积实现了向量的数量积的运算与两向量的坐标的运算的转化记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相
8、乘计算和”(2)向量的模的坐标运算的实质向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，则在平面直角坐标系中，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算(3)平面向量夹角的余弦公式的应用条件及夹角范围的判断应用条件：已知两个非零向量的坐标a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，可以利用该公式求得夹角的余弦值cos 若判断向量夹角的范围时直接计算ab的值即可判断()当ab0时，两向量的夹角090；()当ab0时，90；()当ab0时，90180.设a(2，x)，b(4，5)，若a与b夹角为钝角，求x的取值范围
9、【解】由cos 0得x，又因为ab时有4x100，即x，当x时，ab，所以a与b反向，故x且x.(1)错因：误认为两向量的夹角为钝角与cos 0是等价转化，而当时，cos 10.(2)防范：向量a与b的夹角为钝角(锐角)并不等价于ab0)，还应保证两向量不反向(同向)共线，这里易忽略共线的特殊情况，事实上，cos 0)包含了cos 1(cos 1)的情况，此时两向量是共线的位置关系，不属于夹角为钝角(锐角)的范围，应该去掉1已知向量a(2，0)，ab(3，1)，则下列结论正确的是()Aab2BabCb(ab)D|a|b|解析：选C因为向量a(2，0)，ab(3，1)，设b(x，y)，则解得所以
10、b(1，1)，ab(1，1)，b(ab)11(1)(1)0，所以b(ab)2已知a(5，5)，b(0，3)，则a与b的夹角为_解析：因为cos .又因为0，所以.答案：3已知向量a(2，4)，b(1，1)，若向量b(ab)，则实数的值是_解析：b(ab)babb2141203.答案：3学生用书P112(单独成册)A基础达标1已知向量a(2，1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k()A12B6C6D12解析：选D2ab(4，2)(1，k)(5，2k)，由a(2ab)0，得(2，1)(5，2k)0，所以102k0，解得k12.2已知向量a(1，n)，b(1，n)，若2ab与b垂直，则|a|等于(
11、)A0B1C2D2解析：选D2ab(3，n)，由2ab与b垂直可得(3，n)(1，n)3n20，所以n23，所以|a|2.3已知平面向量a(2，4)，b(1，2)，若ca(ab)b，则|c|等于()A4B2C8D8解析：选D易得ab2(1)426，所以c(2，4)6(1，2)(8，8)，所以|c|8.4设向量a(，1)，b(x，3)，c(1，)，若bc，则ab与b的夹角为()A30B60C120D150解析：选D因为bc，所以x(3)1，所以x，所以b(，3)，ab(0，4)所以ab与b的夹角的余弦值为，所以ab与b的夹角为150.5已知O为坐标原点，向量(2，2)，(4，1)，在x轴上有一点
12、P使得有最小值，则点P的坐标是()A(3，0)B(2，0)C(3，0)D(4，0)解析：选C设点P的坐标为(x，0)，则(x2，2)，(x4，1)(x2)(x4)(2)(1)x26x10(x3)21，所以当x3时，有最小值1.此时点P的坐标为(3，0)6设向量a(1，2)，b(x, 1)，当向量a2b与2ab平行时，ab等于_解析：a2b(12x，4)，2ab(2x，3)，因为a2b与2ab平行，所以(12x)34(2x)0，所以x，ab(1，2)121.答案：7在四边形ABCD中，(1，2)，(4，2)，则该四边形的面积为_解析：(1，2)(4，2)0，故.故四边形ABCD的对角线互相垂直，
13、面积S|25.答案：58.如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值为_解析：以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0，0)，B(，0)，E(，1)，F(x，2)故(，0)，(x，2)，(，1)，(x，2)，所以(，0)(x，2)x.又，所以x1.所以(1，2)所以(，1)(1，2)22.答案：9已知a(1，2)，b(3，2)，当k为何值时：(1)kab与a3b垂直？(2)kab与a3b平行？平行时它们同向还是反向？解：(1)kabk(1，2)(3，2)(k3，2k2)，a3b(1，2)3(3，2)(10，4)当
14、(kab)(a3b)0时，这两个向量垂直由(k3)10(2k2)(4)0.解得k19，即当k19时，kab与a3b垂直(2)当kab与a3b平行时，存在唯一的实数，使kab(a3b)由(k3，2k2)(10，4)，得解得所以当k时，kab与a3b平行，因为0，所以kab与a3b反向10已知向量a(1，)，b(2，0)(1)求ab的坐标以及ab与a之间的夹角；(2)当t1，1时，求|atb|的取值范围解：(1)因为向量a(1，)，b(2，0)，所以ab(1，)(2，0)(3，)，所以cosab，a.因为ab，a0，所以向量ab与a的夹角为.(2)|atb|2a22tabt2b24t24t443.
15、易知当t1，1时，|atb|23，12，所以|atb|的取值范围是，2B能力提升1已知向量a(1，2)，b(2，4)，|c|，若(ab)c，则a与c的夹角大小为()A30B60C120D150解析：选C设a与c的夹角为，依题意，得ab(1，2)，|a|.设c(x，y)，因为(ab)c，所以x2y.又acx2y，所以cos ，所以a与c的夹角为120.2如果向量a与b的夹角为，那么我们称ab为向量a与b的“向量积”，ab是一个向量，它的长度为|ab|a|b|sin .如果|a|5，|b|1，ab3，则|ab|_解析：由于ab|a|b|cos 3，所以cos .又因为为向量a与b的夹角，所以sin
16、 ，所以|ab|a|b|sin 4.答案：43已知a(，1)，b，且存在实数k和t，使得xa(t23)b，ykatb，且xy，试求的最小值解：由已知得|a|2，|b|1，ab10.因为xy，所以xy0，所以a(t23)b(katb)0.化简得k，所以(t24t3)(t2)2，即当t2时，有最小值.4(选做题)已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(1，4)(1)求证：ABAD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值解：(1)证明：因为A(2，1)，B(3，2)，D(1，4)，所以(1，1)，(3，3)1(3)130，所以，所以ABAD(2)因为，四边形ABCD为矩形，所以.设点C的坐标为(x，y)，则(x1，y4)又因为(1，1)，所以解得所以点C的坐标为(0，5)所以(2，4)又(4，2)，所以|2，|2，8816.设与的夹角为，则cos .故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.高考资源网版权所有，侵权必究！
