1、考试标准 课标要点学考要求高考要求数量积的坐标表示cc两个向量夹角的坐标运算 bb平面向量模的坐标运算bb知识导图 学法指导 1.学习了本节后，我们在用向量处理平面图形问题时就有了两种方法，通过一题两解，体会基底法和坐标法的优劣及选择依据2通过数形结合，对向量平行与垂直条件的坐标表示的类比，培养学生联想的记忆方法.1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a 与 b 的夹角为.数量积两个向量的数量积等于它们_的和，即 ab_两个向量垂直 ab_对应坐标的乘积x1x2y1y2x1x2y1y20状元随笔 对数量积的坐标表示的理解(1)两个向量的数量积等于它
2、们对应坐标的乘积的和；(2)引入坐标运算后，使得平面向量数量积的运算和两个向量的坐标运算联系起来，从而使得向量的工具性作用更强；(3)平面向量的坐标可以把几何问题转化为代数问题，用向量的坐标运算来实现几何问题的求解，数形结合的思想在数量积的应用中将体现更多2三个重要公式向量模公式：设 a(x1，y1)，则|a|_ 两 点 间 距 离 公 式：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|_ 向量的夹角公式：设两非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与 b 的夹角为，则 cos ab|a|b|_ x21y21x2x12y2y12x1x2y1y2x21y21 x22y22状元随笔 对
3、向量模长公式的理解(1)模长公式是数量积的坐标表示 a bx1x2y1y2 的一种特例，当 a b时，则可得|a|2x21y21；(2)若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1)，所以|AB|x2x12y2y12，即|AB|的实质是 A，B 两点间的距离或线段 AB 的长度，这也是模的几何意义小试身手1判断下列命题是否正确.(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，满足 x1y2x2y10，则向量 a，b 的夹角为 0.()(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和()(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向
4、量的夹角一定为钝角()2已知 a(3,4)，b(5,2)，则 ab 的值是()A23 B7C23 D7解析：由数量积的计算公式得，ab(3,4)(5,2)35427.答案：D3已知 a(2,1)，b(x，2)，且 ab，则 x 的值为()A1 B0C1 D2解析：由题意，ab(2,1)(x，2)2x20，解得 x1.答案：A4已知 a(1，3)，b(2,0)，则|ab|_.解析：因为 ab(1,3)，所以|ab|12 322.答案：2类型一 数量积的坐标运算例 1(1)设向量 a(1，2)，向量 b(3,4)，向量 c(3,2)，则向量(a2b)c()A(15,12)B0C3D11(2)已知向
5、量 a(1,2)，b(2，x)，且 ab1，则 x 的值等于()A.12B12C.32D32【解析】(1)依题意可知，a2b(1，2)2(3,4)(5,6)，所以(a2b)c(5,6)(3,2)53623.(2)因为 a(1,2)，b(2，x)，所以 ab(1,2)(2，x)122x1，解得 x32.【答案】(1)C(2)D(1)先求出 a2 b，然后利用平面向量的数量积求出(a2 b)c.(2)利用平面向量的数量积运算求出 a b，由 a b1 得出关于 x 的方程求解方法归纳 数量积坐标运算的两个途径一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已
6、知计算跟踪训练 1 已知 a(2，1)，b(3,2)，若存在向量 c，满足ac2，bc5，则向量 c_.解析：设 c(x，y)，因为 ac2，bc5，所以2xy2，3x2y5，解得x97，y47，所以 c97，47.答案：97，47 设 c(x，y)，利用平面向量的数量积运算，列出关于 x，y 的方程求解类型二 平面向量的模例 2(1)设 xR，向量 a(x,1)，b(1，2)，且 ab，则|ab|()A.5 B.52 C2 5 D5(2)已知向量 a(1,2)，b(3,2)，则|ab|_，|ab|_.【解析】(1)因为 a(x,1)，b(1，2)，且 ab，所以2x110，解得 x12.所
7、以 a b 12，1 (1，2)12，1，|a b|12212 52.(2)由题意，知 ab(2,4)，ab(4,0)，所以|ab|22422 5，|ab|4.【答案】(1)B(2)2 5 4(1)两向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2x2y10.(2)已知 a(x，y)，则|a|x2y2.方法归纳 求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a|2a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算若 a(x，y)，则 aaa2|a|2x2y2，于是有|a|x2y2.跟踪训练 2(1)设平面向量 a(1,2)，b(2，y)，若 ab，
8、则|3ab|等于()A.5B.6C.17D.26(2)已知|a|10，b(1,2)，且 ab10，则 a 的坐标为_【解析】(1)因为 ab，所以 1y2(2)0，解得 y4，从而 3ab(1,2)，|3ab|5.(2)设 a 的坐标为(x，y)，由题意得x2y10，x2y210，即x2y10，x2y2100，解得x10，y0，或x6，y8，所以 a(10,0)或 a(6,8)【答案】(1)A(2)(10,0)或(6,8)(1)由 a b求 y，再求 3 a b的坐标，利用公式求模(2)设 a(x，y)，由已知列方程组，求 x，y.类型三 平面向量的夹角(垂直)例 3(1)已知向量 a(1,2
9、)，b(2，4)，|c|5，若(cb)a152，则 a 与 c 的夹角为()A.30B60C120D150(2)已知向量 a(1,1)，b(2，3)，若 a2b 与 a 垂直，则实数 等于_【解析】(1)由 ab10，得(cb)acabaca10152，ca52.设 a 与 c 的夹角为，则 cos ac|a|c|525 512.又 0，180，120.(2)方法一 a2b(，)2(2，3)(4，6)(a2b)a，(a2b)a0，(4)(6)0，1.方法二(a2b)a，(a2b)a0，即 a22ab，(11)2(1,1)(2，3)，即 22，1.【答案】(1)C(2)1(1)先求 a b，再由
10、已知求 c a最后利用 cos a c|a|c|，求夹角(2)已知向量垂直求参数，由相应向量的数量积为零建立关于参数的方程，求解即可方法归纳利用数量积求两向量夹角的步骤数量积:利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积.模:利用|a|计算出这两个向量的模.余弦值:由公式 cos x1x2y1y2x21y21 x22y22直接求出 cos 的值.角:在 0 内，由 cos 的值求角.跟踪训练 3 已知平面向量 a(3,4)，b(9，x)，c(4，y)，且 ab，ac.(1)求 b 与 c；(2)若 m2ab，nac，求向量 m，n 的夹角的大小解析：(1)因为 ab，所以 3x49，所以 x12.因为 ac，所以 344y0，所以 y3，所以 b(9,12)，c(4，3)(2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)，nac(3,4)(4，3)(7,1)设 m、n 的夹角为，则 cos mn|m|n|37413242 72122525 2 22.因为 0，所以 34，即 m，n 的夹角为34.(1)由 a b求 x，由 a c求 y.(2)利用 cos m n|m|n|，求夹角
