1、1.2余弦定理学 习 目 标核 心 素 养1.掌握余弦定理及其推论(重点)2.掌握正、余弦定理的综合应用(重点)3.能应用余弦定理判断三角形的形状(易错点)1.借助余弦定理的推导过程，提升学生的逻辑推理素养.2.通过余弦定理的应用，提升学生的数学运算素养.1余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即a2b2c22bccos_A，b2c2a22cacos_B，c2a2b22abcos_C.思考1：根据勾股定理，若ABC中，C90，则c2a2b2a2b22abcos C试验证式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？提示当abc时，C60，a2b22abco
2、s Cc2c22cccos 60c2，即式仍成立，据此猜想，对一般ABC，都有c2a2b22abcos C.思考2：在c2a2b22abcos C中，abcos C能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？提示abcos C|cos，.a2b22abcos C2()2c2.猜想得证2余弦定理的变形(1)余弦定理的变形cos A，cos B，cos C.(2)余弦定理与勾股定理的关系在ABC中，c2a2b2C为直角；c2a2b2C为钝角；c2a2b2C为锐角思考3：勾股定理和余弦定理有何联系与区别？提示二者都反映了三角形三边之间的平方关系；其中余弦定理反映了任意三角形中三边平方间的
3、关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例1在ABC中，若b1，c，A，则a_.1a1.2在ABC中，若a5，c4，cos A，则b_.6由余弦定理可知25b21624bcos A，即b2b90，解得b6.3在ABC中，a3，b，c2，则B_.60cos B，B60.4在ABC中，若b2c2a20，则ABC必为_三角形钝角cos A0，A(90，180)ABC必为钝角三角形已知两边与一角解三角形【例1】在ABC中，已知b3，c3，B30，求角A，角C和边a.解法一：由余弦定理b2a2c22accos B，得32a2(3)22a3cos 30，a29a180，解得a3或6
4、.当a3时，A30，C120.当a6时，由正弦定理sin A1.A90，C60.法二：由bcsin 303知本题有两解由正弦定理sin C，C60或120，当C60时，A90，由勾股定理a6，当C120时，A30，ABC为等腰三角形，a3.已知三角形的两边及一角解三角形的方法,先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解.若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好.1在ABC中，a2，c，B45，解这个三角形解根据余弦定理
5、得，b2a2c22accos B(2)2()222()cos 458，b2.又cos A，A60，C180(AB)75.已知三边解三角形【例2】已知ABC中，abc2(1)，求ABC的各角的大小思路探究：已知三角形三边的比，可设出三边的长，从而问题转化为已知三边求三角，可利用余弦定理求解解设a2k，bk，c(1)k(k0)，利用余弦定理，有cos A，A45.同理可得cos B，B60.C180AB75.1已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一2若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用
6、比例性质，转化为已知三边求解2在ABC中，已知a7，b3，c5，求最大角和sin C.解acb，A为最大角，由余弦定理的推论，得：cos A，A120，sin Asin 120.由正弦定理，得：sin C，最大角A为120，sin C.正、余弦定理的综合应用探究问题1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2c2，则sin2Asin2Bsin2C成立吗？反之说法正确吗？为什么？提示设ABC的外接圆半径为R.由正弦定理的变形，将a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，代入a2b2c2可得sin2Asin2Bsin2C.反之将sin A，sin B，sin C代入si
7、n2Asin2Bsin2C可得a2b2c2.因此，这两种说法均正确2在ABC中，若c2a2b2，则C成立吗？反之若C，则c2a2b2成立吗？为什么？提示因为c2a2b2，所以a2b2c20，由余弦定理的变形cos C0，即cos C0，所以C，反之若C，则cos C0，即0，所以a2b2c20，即c2a2b2.【例3】在ABC中，若(accos B)sin B(bccos A)sin A，判断ABC的形状思路探究：解法一：(角化边)(accos B)sin B(bccos A)sin A，由正、余弦定理可得：ba，整理得：(a2b2c2)b2(a2b2c2)a2，即(a2b2)(a2b2c2)
8、0，a2b2c20或a2b2.a2b2c2或ab.故ABC为直角三角形或等腰三角形法二：(边化角)根据正弦定理，原等式可化为：(sin Asin Ccos B)sin B(sin Bsin Ccos A)sin A，即sin Ccos Bsin Bsin Ccos Asin A.sin C0，sin Bcos Bsin Acos A.sin 2Bsin 2A.2B2A或2B2A，即AB或AB.ABC是等腰三角形或直角三角形1(变条件)将例题中的条件“(accos B)sin B(bccos A)sin A”换为“acos Abcos Bccos C”其它条件不变，试判断三角形的形状解由余弦定理
9、知cos A，cos B，cos C，代入已知条件得abc0，通分得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(c2a2b2)0，展开整理得(a2b2)2c4.a2b2c2，即a2b2c2或b2a2c2.根据勾股定理知ABC是直角三角形2(变条件)将例题中的条件“(accos B)sin B(bccos A)sin A”换为“lg alg clg sin Blg 且B为锐角”，判断ABC的形状解由lg sin Blg lg ，可得sin B，又B为锐角，B45.由lg alg clg ，得，ca.又b2a2c22accos B，b2a22a22a2a2，ab，即AB.又B45，ABC为等腰直
10、角三角形判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状.1本节课要掌握的解题方法(1)已知三角形的两边与一角，解三角形(2)已知三边解三角形(3)利用余弦定理判断三角形的形状2本节课的易错点有两处(1)正弦定理和余弦定理的选择已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次
11、方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单(2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件1判断正误(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形()(2)在ABC中，若a2b2c2，则ABC一定为钝角三角形()(3)在ABC中，已知两边和其夹角时，ABC不唯一()答案(1)(2)(3)提示由余弦定理可知，已知ABC的两边和其夹角时，第三边是唯一确定的，所以ABC是唯一的，(3)错误2在ABC中，a7，b4，c，则ABC的最小角为()A. B.
12、C.D.B由三角形边角关系可知，角C为ABC的最小角，则cos C，所以C，故选B.3(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin Absin B4csin C，cos A，则()A6 B5 C4 D3AABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin Absin B4csin C，cos A，解得3c2bc，6.故选A.4在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知BC,2ba，则cos A_.由BC,2ba，可得bca，所以cos A.5在ABC中，AC2B，ac8，ac15，求b.解在ABC中，AC2B，ABC180，B60.由余弦定理，得b2a2c22accos B(ac)22ac2accos B8221521519.b.
