1、2023年江苏省中考数学第一轮复习卷：9三角形一选择题（共13小题）1（2022射阳县校级一模）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则1的度数是（）A15B20C25D302（2022宜兴市一模）如图，ABC中，BC6，A30，点O为ABC的重心，连接AO、BO、CO，若固定边BC，使顶点A在ABC所在平面内进行运动，在运动过程中，保持BAC的大小不变，则线段AO的长度的取值范围为（）A3AO2+4B3AO3+4C2AO2+4D3OA4+233（2022鼓楼区校级二
2、模）如图，在ABC中，ABAC，A55，P是AB上的一个动点，则APC的度数可能是（）A55B62C120D1304（2022如皋市二模）平面直角坐标系xOy中，已知A（2m，m1），B（2m+2，m2），C(n，2n)，其中m，n均为常数，且n0当ABC的面积最小时，n的值为（）A3B2C-3D-25（2022建邺区二模）如图，在ABC中，ABAC为证明“等边对等角”这一结论，常添加辅助线AD，通过证明ABD和ACD全等从而得到角相等下列辅助线添加方法和对应全等判定依据有错误的是（）A角平分线AD，全等依据SASB中线AD，全等依据SSSC角平分线AD，全等依据HLD高线AD，全等依据HL6
3、（2022宜兴市校级二模）如图，在ABC中，BAC90，CE平分ACB，BDCE，垂足为点D，连结AD下列结论：若ABC30，则BDAD；若ABC45，则SACE4SBDE；若sinABC=13，则SABCSABD；若tanABCm，则CE2mBD正确的有（）ABCD7（2022惠山区校级二模）如图，已知RtABC中，C90，A30，BC10，在ABC三边上各取一点连成等边DEF，则DEF面积的最小值是（）A2533B75143C7573D1038（2022苏州模拟）如图，在四边形ABCD中，A60，BD90，ABAD，点E、F分别是AB，AD边上的中点，则sinECF（）A22B2315C1
4、2D53149（2022淮安）如图，在ABC中，ABAC，BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB10，则DE的长是（）A8B6C5D410（2022镇江）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长等于（）A2B73C625D92511（2022常州）如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点若DE2，则BC的长是（）A3B4C5D612（2022宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A8cmB13cmC8cm或13cmD11cm或13cm13（2022苏州）如图，点A的坐标为（0，2
5、），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60得到线段AC若点C的坐标为（m，3），则m的值为（）A433B2213C533D4213二填空题（共11小题）14（2022滨海县校级三模）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”如图2，已知点A（4，0），点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则OB的最小值是 15（2022亭湖区校级模拟）如图，点I为ABC的重心，过点I作PQBC交AB于点P，交AC于点Q，若BC10，则IQ的长为 16（2022泰兴市一模）在RtABC中，B
6、AC90，以ABC的三边为直径在BC同侧作半圆，得两个月牙（图中阴影），过点A作BC的平行线，分别和以AB、BC为直径的半圆交于D、E两点，若AD：AE4：5，ACAB2，则阴影部分的面积和为 17（2022镇江一模）已知RtABC中，C90，以点B为圆心，AB长为半径画弧，再以点C圆心，AC长为半径画弧，两弧相交于点D，你有哪些发现？写出一个即可： 18（2022锡山区校级三模）“勾股图”有着悠久的历史，欧几里得在几何原本中曾对它做了深入研究如图，在ABC中，ACB90，分别以ABC的三条边为边向外作正方形连接EB，CM，DG，CM分别与AB，BE相交于点P，Q若AMP30，则ABE ，DG
7、QM的值为 19（2022鼓楼区校级二模）如图，在ABC中，A90，C60，BC8cm，ABC的平分线交AC于点D，DEBC，垂足为E，则DC+DE cm20（2022高邮市模拟）如图，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在作业本一条横线l1上，另两点分别落在另两条横线l2，l3上，若l1l2l3，相邻两条平行直线间的距离相等，斜边与l3所夹的锐角为，则tan的值为 21（2022启东市二模）如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得ABBD，ACB60，ADB30，并且点B，C，D在同一条直线上若测得CD30米，则河宽AB为 米（结果保留根号）22（2022
8、南通）如图，点B，F，C，E在一条直线上，ABED，ACFD，要使ABCDEF，只需添加一个条件，则这个条件可以是 23（2022常州）如图，在ABC中，E是中线AD的中点若AEC的面积是1，则ABD的面积是 24（2022常州）如图，在RtABC中，C90，AC9，BC12在RtDEF中，F90，DF3，EF4用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，RtDEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则RtABC的外部被染色的区域面积是 三解答题（共9小题）25（2022亭湖区校级模拟）如图，ADE中，ADAE，点B、C是直线DE上的两点，点B在点
9、D左侧，点C在点E右侧，且BDCE（1）求证：ABAC；（2）若DAAE，B28，求BAD的大小26（2022海州区校级三模）已知：如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F（1）求证：AD垂直平分EF；（2）若EF12，AE10，求四边形AEDF的面积27（2022邗江区二模）如图1，RtABC中，A90，B45，ACB的角平分线交边AB于D点，BD=2，（1）请求出AC的长；（2）如图2，E为CD上的一个动点，AEEF，ACCF，EF交AC于G点，连接AF，当E点在CD间运动时，请判断EFAE的值是否为一个定值，如果是请求出具体的值，不是，请说明理由；（3）在（2）
10、的条件下，若AEEC，请求出EGC的面积28（2022扬州三模）如图，ABC和DEC都为等腰三角形，ABAC，DEDC，BACEDCn（1）当n60时，如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系： ；如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由；（2）当n90时，如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；当BEAC，AB62，AD2时，请直接写出DC的长29（2022连云港模拟）在平面内，线段AB20，线段BCCDDA10，将这四条线段颜款首尾精接把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角（0）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置论
11、证：如图1，当ADBC时，设AB与CD交于点O，求证：AO10：发现：当旋转角60时，ADC（的度数可能是多少？尝试：報线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离：拓展：如图2，设点D与B的盟离为d，若BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）：当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出的余弦值30（2022武进区校级一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），（）连接AB，若把线段AB绕点B逆时针旋转90，则得线段A0B，请在图中用无刻度的直尺和圆规作出点A的对应点A0（不写作法，保留作图痕迹），直接写出点A0的坐标
12、；（）若把ABO绕点B逆时针旋转120，得ABO，点A，O旋转后的对应点分别为A，O，如图，求点O和点A的坐标；（）在（）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P，求PB+BA+35AP的最小值31（2022徐州）如图，在ABC中，BAC90，ABAC12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点连接DG，交PC于点H（1）EDC的度数为 ；（2）连接PG，求APG的面积的最大值；（3）PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；（4）求CHCE的最大值32（2022常州）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点若OAB
13、OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”（1）正方形 “等形点”（填“存在”或“不存在”）；（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”已知CD42，OA5，BC12，连接AC，求AC的长；（3）在四边形EFGH中，EHFG若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求OFOG的值33（2022苏州）（1）如图1，在ABC中，ACB2B，CD平分ACB，交AB于点D，DEAC，交BC于点E若DE1，BD=32，求BC的长；试探究ABAD-BEDE是否为定值如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由（2）如图2，CBG和BCF是ABC的2个外角，BCF2CBG，C
14、D平分BCF，交AB的延长线于点D，DEAC，交CB的延长线于点E记ACD的面积为S1，CDE的面积为S2，BDE的面积为S3若S1S3=916S22，求cosCBD的值2023年江苏省中考数学第一轮复习卷：9三角形参考答案与试题解析一选择题（共13小题）1（2022射阳县校级一模）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则1的度数是（）A15B20C25D30【解答】解：如图，延长AC交平行线与点H，则230，132453015故选：A2（2022宜兴市一模）如图，A
15、BC中，BC6，A30，点O为ABC的重心，连接AO、BO、CO，若固定边BC，使顶点A在ABC所在平面内进行运动，在运动过程中，保持BAC的大小不变，则线段AO的长度的取值范围为（）A3AO2+4B3AO3+4C2AO2+4D3OA4+23【解答】解：如图1，作ABC的外接圆E，连接BE，EC，过点E作EDBC于D，BEEC，BDCD3，BAC30，BEC60，BEEC，BEC是等边三角形，BE6，ED33，当点A接近点B或点C时，OA的值最小，OA3，当AO与ED在同一直线上时，如图2，AO最大，ADAE+DE6+33，O是重心，AO=23AD4+23，即AO的最大值是4+23；综上所述，
16、3OA4+23故选：D3（2022鼓楼区校级二模）如图，在ABC中，ABAC，A55，P是AB上的一个动点，则APC的度数可能是（）A55B62C120D130【解答】解：如图，连接CPABAC，A55，BACB=12（18055）62.5，APCB+PCB，62.5APC125，故选：C4（2022如皋市二模）平面直角坐标系xOy中，已知A（2m，m1），B（2m+2，m2），C(n，2n)，其中m，n均为常数，且n0当ABC的面积最小时，n的值为（）A3B2C-3D-2【解答】解：A（2m，m1），B（2m+2，m2），|AB|=(2m+2-2m)2+(-m-2+m+1)2=22+12=5
17、，此时，ABC中，|AB|长度确定，设ABC的高为h，SABC=12|AB|h，当ABC的面积最小时，h最小，设直线AB为：ykx+b，则-m-1=2mk+b-m-2=(2m+2)k+b，解得：k=-12，直线AB为：y=-12（x2m）m1=-12x1，2yx2，x+2y+20，点C到直线AB的距离为：n=|n+22n=2|5=|n+4n+2|5，由图可知，点C在第三象限会使h最小时，n0，n+4n2n4n=4，当且仅当n=4n，n2时，才会有最小值，故选：B5（2022建邺区二模）如图，在ABC中，ABAC为证明“等边对等角”这一结论，常添加辅助线AD，通过证明ABD和ACD全等从而得到角
18、相等下列辅助线添加方法和对应全等判定依据有错误的是（）A角平分线AD，全等依据SASB中线AD，全等依据SSSC角平分线AD，全等依据HLD高线AD，全等依据HL【解答】解：A、当AD是角平分线时，则利用SAS可判定ABDACD，从而可解，故A不符合题意；B、当AD是中线时，则利用SSS可判定ABDACD，从而可解，故B不符合题意；C、当AD是角平分线时，则利用SAS可判定ABDACD，从而可解，故C符合题意；D、当AD是角平分线时，则利用SAS可判定ABDACD，从而可解，故D不符合题意；故选：C6（2022宜兴市校级二模）如图，在ABC中，BAC90，CE平分ACB，BDCE，垂足为点D，
19、连结AD下列结论：若ABC30，则BDAD；若ABC45，则SACE4SBDE；若sinABC=13，则SABCSABD；若tanABCm，则CE2mBD正确的有（）ABCD【解答】解：如图1，延长BD，CA交于点G，ABC30，BAC90，ACB60，CE平分ACB，ACDBCD30，在RtBDC中，BDC90，BCD30，DBC60，GBC是等边三角形，CDBG，BDDG，RtBAG中，AD=12BGBD，故错误；如图2，过点E作EFBC于F，CE平分ACB，BAC90，AEEF，BAC90，ABC45，ABAC，同理得BEF是等腰直角三角形，BFEF，设AEx，则BFEFx，BE=2x，
20、ABACx+2x，CE=AE2+AC2=x2+(x+2x)2=4+22x，DEBAEC，BDEEAC90，BDECAE，SACESBDE=（CEBE）2=(4+22)x22x2=2+2，SACE（2+2）SBDE，故错误；如图3，过点E作EFBC于F，sinABC=EFBE=ACBC=13，设EFa，BE3a，则AEEFa，BF22a，EACCFE90，CECE，RtACERtFCE（HL），ACCF=2a，延长BD，CA交于点G，GCDBCD，CDBG，CBDG，CGCB32a，BDDG，AG22a，SABD=12SABG=121222a4a22a2，SABC=122a4a22a2，SABC
21、SABD；故正确；如图4，延长BD，CA交于点G，BDECAE90，DEBAEC，ACEDBE，EACBAG90，AECAGB，CEBG=ACAB，由知：BG2BD，tanABC=ACAB=m，CE2BD=m，CE2mBD故正确；本题正确的结论有：故选：D7（2022惠山区校级二模）如图，已知RtABC中，C90，A30，BC10，在ABC三边上各取一点连成等边DEF，则DEF面积的最小值是（）A2533B75143C7573D103【解答】解：由题意知，RtABC中，A30，C90，B60，延长BC至G，连接FG使GB60，DEF为等边三角形，DEDFEF，DEF60，BED+FEG120，
22、B60，BED+BDE120，FEGBDE，在GFD和BDE中，G=BFEG=BDEDF=ED，GFEBDE（AAS），BEGF，设CGx，RtCFG中，G60，CFG30，GF2x，FC=3x，BE2x，CE102x，在RtDCF中，由勾股定理得，EC2+CF2EF2，EF=(10-2x)2+(3x)2=7(x-207)2+3007，02x10，即0x5，当x=207时，EF最小值=10217，SDEF的最小值=12102171021732=7537，故选：C8（2022苏州模拟）如图，在四边形ABCD中，A60，BD90，ABAD，点E、F分别是AB，AD边上的中点，则sinECF（）A2
23、2B2315C12D5314【解答】解：如图，连接AO，EF交于点O，过点E作EGCF于点G，ABAD，点E、F分别是AB，AD边上的中点，AEAFBEDF，BAD60，EAF是等边三角形，ABAD，ACAC，RtABCRtADC（HL），BACCAD30，ACEF，设AE23x，则EFBE23x，AO3x，BC4x，AC8x，OC8x3x5x，由勾股定理得：ECFC=BC2+BE2=(4x)2+(23x)2=27x，SEFC=12EFOC=12CFEG，EFOCCFEG，23x5x27xEG，EG=521x7，sinECF=EGEC=521x727x=5314故选：D9（2022淮安）如图，
24、在ABC中，ABAC，BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB10，则DE的长是（）A8B6C5D4【解答】解：ABAC10，AD平分BAC，ADBC，ADC90，E为AC的中点，DE=12AC5，故选：C10（2022镇江）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长等于（）A2B73C625D925【解答】解：如图：连接AE，由题意得：AEBC，AD=32+42=5，DE5，ADDE5，DAEDEA，AEBC，DAEDOC，DEADCO，DOCDCO，DODC3，AOADDO532，故选：A11（2022常州）如图，在ABC
25、中，D、E分别是AB、AC的中点若DE2，则BC的长是（）A3B4C5D6【解答】解：D、E分别是AB、AC的中点，DE是ABC的中位线，BC2DE，DE2，BC4，故选：B12（2022宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A8cmB13cmC8cm或13cmD11cm或13cm【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形则三角形的周长为11cm或13cm故选：D13（2022苏州）如图，点A的坐标为（0，2），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60得到线段AC若点C的坐标为（m
26、，3），则m的值为（）A433B2213C533D4213【解答】解：过C作CDx轴于点D，CEy轴于点E，如图：CDx轴，CEy轴，DOE90，四边形EODC是矩形，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60得到线段AC，ABAC，BAC60，ABC是等边三角形，ABACBC，A（0，2），C（m，3），CEmOD，CD3，OA2，AEOEOACDOA1，AC=AE2+CE2=m2+1=BCAB，在RtBCD中，BD=BC2-CD2=m2-8，在RtAOB中，OB=AB2-OA2=m2-3，OB+BDODm，m2-3+m2-8=m，化简变形得：3m422m2250，解得m=533或m=-533（舍
27、去），m=533，故选：C二填空题（共11小题）14（2022滨海县校级三模）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”如图2，已知点A（4，0），点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则OB的最小值是 45【解答】解：如图，在y轴的正半轴上截取OC，使得OCOA4，连接AC，BCAOC，APB都是等腰直角三角形，OACPAB，AC=2OA，AB=2AP，OAPCAB，OAAC=APAB，OAPCAB，AOPACB90，点B在直线yx+4上运动，作点O关于直线BC的对称点E，连接AE交BC于点T，
28、当点B与T重合时，OB+AB的值最小，E（4，40，a（4，0），AE=42+82=45，OB+AB的最小值为45，故答案为：4515（2022亭湖区校级模拟）如图，点I为ABC的重心，过点I作PQBC交AB于点P，交AC于点Q，若BC10，则IQ的长为 103【解答】解：连接AI并延长交BC于D，如图，点I为ABC的重心，AI2ID，AIAD=23，PQBC，AQAC=AIAD=23，又PQBC，AIQADC，IQDC=AQAC=AIAD=23，IQDC23，I为ABC的重心，DC=12BC=5，IQ=523=103故答案为：10316（2022泰兴市一模）在RtABC中，BAC90，以AB
29、C的三边为直径在BC同侧作半圆，得两个月牙（图中阴影），过点A作BC的平行线，分别和以AB、BC为直径的半圆交于D、E两点，若AD：AE4：5，ACAB2，则阴影部分的面积和为 12【解答】解：设DE交以AC为直径的半圆于F，取BC的中点O，作OGDF于G，连接CF、BD、OAAC是直径，AFC90AB是直径，ADB90DFBC，OGDF，四边形BCFD、四边形DBOG是矩形，BCDF，OBDG，AD：AE4：5，设AD4k，AE5k，则AG=12AE=52k，DGAD+AG4k+52k=132k，OBOADG=132k，BCDF2OB13k，AFDFAD13k4k9k，OG=OA2-AG2=
30、(132k)2-(52k)2=6k，CFBDOG6K，在RtABD中，AB=AD2+BD2=(4k)2+(6k)2=213k在RtACF中，AC=AF2+CF2=(9k)2+(6k)2=313k，ACAB2，313k213k2，k=21313，AB4，AC6，S阴影直径为AC的半圆的面积+直径为AB的半圆的面积+SABC直径为BC的半圆的面积=12（AC2）2+12（AB2）2+12ACAB-12（BC2）2=18（AC）2+18（AB）2-18（BC）2+12ACAB=18（AC2+AB2BC2）+12ACAB=12ACAB=126412故答案为：1217（2022镇江一模）已知RtABC中
31、，C90，以点B为圆心，AB长为半径画弧，再以点C圆心，AC长为半径画弧，两弧相交于点D，你有哪些发现？写出一个即可：A、C、D三点共线（答案不唯一）【解答】解：写出一个发现为：A、C、D三点共线，理由如下：连接BD、CD，在ABC和DBC中，AC=DCAB=DBBC=BC，ABCDBC（SSS），BCDBCA90，BCA+BCD180，A、C、D三点共线，故答案为：A、C、D三点共线（答案不唯一）18（2022锡山区校级三模）“勾股图”有着悠久的历史，欧几里得在几何原本中曾对它做了深入研究如图，在ABC中，ACB90，分别以ABC的三条边为边向外作正方形连接EB，CM，DG，CM分别与AB，
32、BE相交于点P，Q若AMP30，则ABE30，DGQM的值为 3-1【解答】解：四边形AEDC、四边形AMNB四边形BCGF都为正方形，AEACCD，ABAM，BCCG，EACMABACDBCG90，EABCAM，在EAB和CAM中，AE=ACEAB=CAMAB=AM，EABCAM（SAS），EBACMAAMP30，BPQAPM60，BQP90，PQ=12PB，设APa，PM2AP2a，在RtMAP中，由勾股定理得：AM=PM2-AP2=(2a)2-a2=3a，PBABAPAMAP（3-1）a，PQ=12PB=3-12a，QMQP+PM=3-12a+2a=3+32a，ACB90，DCG360A
33、CBACDBCG36090909090，ACBDCG，在ACB和DCG中，BC=CGACB=DCGAC=CD，ACBDCG（SAS），DGAB=3a，DGQM=3a3+32a=3-1故答案为：30；3-119（2022鼓楼区校级二模）如图，在ABC中，A90，C60，BC8cm，ABC的平分线交AC于点D，DEBC，垂足为E，则DC+DE4cm【解答】解：A90，C60，AC=12BC4cm，BD平分ABC，DABA，DEBC，DEDA，DC+DEDC+DAAC4cm故答案为：420（2022高邮市模拟）如图，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在作业本一条横线l1上，另两点分别落在另两条横线l2
34、，l3上，若l1l2l3，相邻两条平行直线间的距离相等，斜边与l3所夹的锐角为，则tan的值为 13【解答】解：如图1所示，过点A作l1 的垂线，垂足为D，过点C作l1、l3的垂线，垂足为E、F，设l1、l2之间的距离为a，则l2与l3之间的距离也为a，ABC90，DBA+EBC90，DBA+DAB90，EBCDAB，ADBBEC，ABBC，ADBBEC（AAS），ADBE2a，DBECa，AFDE3a，CFa，tan=13故答案为：1321（2022启东市二模）如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得ABBD，ACB60，ADB30，并且点B，C，D在
35、同一条直线上若测得CD30米，则河宽AB为 153米（结果保留根号）【解答】解：设河宽AB为x米ABBC，ABC90在RtABC中，ACB60，BC=33x米在RtABD中，ADB30，BD=3AB=3x米，CDBDBC=3x-33x=233x（米），233x30解得x153即：河宽AB为153米故答案是：15322（2022南通）如图，点B，F，C，E在一条直线上，ABED，ACFD，要使ABCDEF，只需添加一个条件，则这个条件可以是 ABDE（答案不唯一）【解答】解：ABED，BE，ACDF，ACBDFE，ABDE，ABCDEF（AAS），故答案为：ABDE（答案不唯一）23（2022常
36、州）如图，在ABC中，E是中线AD的中点若AEC的面积是1，则ABD的面积是 2【解答】解：E是AD的中点，CE是ACD的中线，SACD2SAEC，AEC的面积是1，SACD2SAEC2，AD是ABC的中线，SABDSACD2故答案为：224（2022常州）如图，在RtABC中，C90，AC9，BC12在RtDEF中，F90，DF3，EF4用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，RtDEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则RtABC的外部被染色的区域面积是 21【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF交AB于点N，过点F作FGAB于
37、点H，过点F作FHAB于点H，连接FF，则四边形FGHF是矩形，RtABC的外部被染色的区域是梯形MFFN在RtDEF中，DF3，EF4，DE=DF2+EF2=32+42=5，在RtABC中，AC9，BC12，AB=AC2+BC2=92+122=15，12DFEF=12DEGF，FG=125，BG=BF2-FG2=32-(125)2=95，GEBEBG=165，AHGE=165，FHFG=125，FFGHABBGAH15510，BFAC，BMAM=BFAC=13，BM=14AB=154，同法可证AN=14AB=154，MN15-154-154=152，RtABC的外部被染色的区域的面积=12（
38、10+152）125=21，故答案为：21三解答题（共9小题）25（2022亭湖区校级模拟）如图，ADE中，ADAE，点B、C是直线DE上的两点，点B在点D左侧，点C在点E右侧，且BDCE（1）求证：ABAC；（2）若DAAE，B28，求BAD的大小【解答】（1）证明：ADAE，ADEAED，ADBAEC，在ABD和ACE中AD=AEADB=AECBD=CE，ABDACE（SAS），ABAC；（2）解：ADAE，ADAE，ADE45，B28，BADADEB1726（2022海州区校级三模）已知：如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F（1）求证：AD垂直平分EF；（2
39、）若EF12，AE10，求四边形AEDF的面积【解答】（1）证明：AD是ABC的角平分线，BADCAD，DEAB，DFAC，DEADFA90，DEDF，在RtDEA和RtDFA中，DA=DADE=DF，RtDEARtDFA（HL），AEAF，DEDF，AD垂直平分EF；（2）解：AD垂直平分EF，EF12，AE10，EG=12EF=6，AGE90，AG=AE2-EG2=8，AGEAED90，GAEEAD，GAEEAD，AEAD=AGAE，即10AD=810，AD=252，S四边形AEDF=12EFAD=1212252=7527（2022邗江区二模）如图1，RtABC中，A90，B45，ACB的
40、角平分线交边AB于D点，BD=2，（1）请求出AC的长；（2）如图2，E为CD上的一个动点，AEEF，ACCF，EF交AC于G点，连接AF，当E点在CD间运动时，请判断EFAE的值是否为一个定值，如果是请求出具体的值，不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若AEEC，请求出EGC的面积【解答】解：（1）如图，作DMBC于M，CD平分ACB，DAC90，ADDM，BD=2，B45，DMBM1，ADDM1，又A90，B45，ACAB=2+1；（2）EFAE的值是一个定值，理由如下：如图2，取AF的中点为N，连接EN，CN，AEFACF90，ENCNANNF，A、E、C、F四点共圆，AFEACD
41、，又DACAEF90，AEFDAC，EFAE=ACAD=2+1；（3）由第（2）问可知A、E、C、F四点共圆，EACCFE，AEEC，EACACE，AFEACE，AFEEFC，CD平分ACB，且ACB45，ACD22.5，AFEEFC22.5，AFC45，CFAC=2+1，又tanEFCtanAFE，CGCF=AEEF，CFCG=EFAE=2+1，CG1，AG=2，EACACE，EAC+DAEACE+ADC90，ADEDAE，AEDEEC，SAEC=12SADC=12121（2+1）=2+14，SEGCSAEC=12+1，SGEC=2+1412+1=1428（2022扬州三模）如图，ABC和D
42、EC都为等腰三角形，ABAC，DEDC，BACEDCn（1）当n60时，如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系：BEAD；如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由；（2）当n90时，如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；当BEAC，AB62，AD2时，请直接写出DC的长【解答】解：（1）当n60时，ABC和DEC均为等边三角形，BCAC，ECDC，BEBCEC，ADACDC，BEAD，故答案为：BEAD；BEAD，理由如下：当点D不在AC上时，ACBACD+DCB60，DCEBCE+DCB60，ACDBCE，在ACD和BCE中，AC=B
43、CACD=BCEDC=EC，ACDBCE（SAS），ADBE；（2）BE=2AD，理由如下：当n90时，在等腰直角三角形DEC中：DCEC=sin45=22，在等腰直角三角形ABC中：ACBC=sin45=22，ACBACE+ECB45，DCEACE+DCA45，ECBDCA在DCA和ECB中，DCEC=ACBC=22DCA=ECB，DCAECB，ADBE=22，BE=2AD，当点D在ABC外部时，设EC与AB交于点F，如图所示：AB62，AD2，由上可知：ACAB62，BE=2AD=22，BEAC，EBFCAF90，而EFBCFA，EFBCFA，EFCF=BFAF=BEAC=2262=13，
44、AF3BF，而ABBF+AF62，BF=1462=322，在RtEBF中：EF=BE2+BF2=522，CF3EF3522=1522，ECEF+CF102（或EC4EF102），在等腰直角三角形DEC中，DCECcos4510222=10当点D在ABC内部时，过点D作DHAC于H，ABAC62，AD2，DAC45AHDH=2，CHACAH52，CD=DH2+CH2=213，综上所述，满足条件的CD的值为10或21329（2022连云港模拟）在平面内，线段AB20，线段BCCDDA10，将这四条线段颜款首尾精接把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角（0）到某一位置时，BC，CD将会跟随出
45、现到相应的位置论证：如图1，当ADBC时，设AB与CD交于点O，求证：AO10：发现：当旋转角60时，ADC（的度数可能是多少？尝试：報线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离：拓展：如图2，设点D与B的盟离为d，若BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）：当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出的余弦值【解答】论证：证明：ADBC，AB，CD，在AOD和BOC中，A=BAD=BCD=C，AODBOC（ASA），AOBO，AO+BOAB20，AO10；发现：设AB的中点为O，如图：当AD从初始位置AO绕A逆时针旋转60时，BC也从初始位
46、置BC绕点B逆时针旋转60，而BOBC10，BCO是等边三角形，BC旋转到BO的位置，即C与O重合，AOADCD10，ADC是等边三角形，此时ADC60；如图：当AD从AO绕A逆时针旋转60时，CD从CD的位置开始也旋转60，故ADO和CDO都是等边三角形，此时ADC120，综上所述，ADC为60或120；尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，D、C、B共线，过D作DQAB于Q，过M作MNAB于N，如图：由已知可得AD10，BDBC+CD20，BMCM+BC15，设AQx，则BQ20x，AD2AQ2DQ2BD2BQ2，100x2400（20x）2，解得x=52，AQ=52，DQ=A
47、D2-AQ2=102-(52)2=5152，DQAB，MNAB，MNDQ，MNDQ=BMBD，即MN5152=1520，MN=15158，点M到AB的距离为15158；拓展：设直线CP交DB于H，过D作DGAB于G，连接DP，连接BD，如图：BCDC10，CP平分BCD，BHCDHC90，BH=12BD=12d，设BGm，则AG20m，AD2AG2BD2BG2，100（20m）2d2m2，m=d2+30040，BG=d2+30040，BHPBGD90，PBHDBG，BHPBGD，BPBD=BHBG，BP=BHBDBG=20d2d2+300；过C作CKAB于K，过F作FHAC于H，如图：ADCD
48、10，ADDC，AC2200，AC2AK2BC2BK2，200AK2100（20AK）2，解得AK=252，CK=AC2-AK2=572，RtACK中，tanKAC=CKAK=75，RtAFH中，tanKAC=FHAH=75，设FH=7n，则CHFH=7n，AH5n，ACAH+CH102，5n+7n102，解得n=1025+7，AF=AH2+FH2=32n=321025+7=805+7，RtADF中，cos=ADAF=10805+7=5+7830（2022武进区校级一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），（）连接AB，若把线段AB绕点B逆时针旋转90，则得线段A0B
49、，请在图中用无刻度的直尺和圆规作出点A的对应点A0（不写作法，保留作图痕迹），直接写出点A0的坐标；（）若把ABO绕点B逆时针旋转120，得ABO，点A，O旋转后的对应点分别为A，O，如图，求点O和点A的坐标；（）在（）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P，求PB+BA+35AP的最小值【解答】解：（1）如图所示，点A0为所求点，过点A0作A0Dy轴于D，A0DB90AOB，点A（4，0），点B（0，3），OA4，BO3，把线段AB绕点B逆时针旋转90，A0BA90AOB，A0BAB，ABO+OAB90ABO+A0BD，A0BDOAB，A0BDBAO（AAS），BDAO4，A0DBO3
50、，点A0（3，7）；（2）如图，过点O作OHy轴于H，过点A作AEOH于E，把ABO绕点B逆时针旋转120，得ABO，BOBO3，OBO120，AOAO4，AOBAOB90，OBH60，BOH30，BH=32，OH=3BH=332，OH=92，点O（92，332），AOE90BOH60，OAE30，EO=12AO2，AE=3EO23，HE=332-2，点A（332-2，92+23）；（3）如图，过点P作PCAB于C，OA4，BO3，AB=AO2+BO2=16+9=5，sinBAO=OBAB=PCAP=35，PC=35AP，旋转，BPBP，PB+BA+35APBP+5+PC，作点B关于x轴的对称
51、点B，过点B作BCAB于C，交x轴于P，此时BP+PC的最小值为BC的长，BOBO3，BB6，sinABO=AOAB=BCBB=45，BC=245，PB+BA+35AP的最小值为5+245=49531（2022徐州）如图，在ABC中，BAC90，ABAC12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点连接DG，交PC于点H（1）EDC的度数为 45；（2）连接PG，求APG的面积的最大值；（3）PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；（4）求CHCE的最大值【解答】解：（1）BAC90，ABAC12，ABCACB45，B
52、C122，D、E分别为BC、PC的中点，DEAB，DE=12BP，EDCABC45，故答案为：45；（2）设APx，则BP12x，DE=12BP，DE6-x2，GFBC，EDC45，EDCDEF45，DFEF=22DE32-24x，点D是BC的中点，BDCD62，CF32+24x，GFBC，ACB45，ACBCGF45，GFFC，GC=2FC6+x2，AG6-x2，SAPG=12APAG=12x（6-x2）=-14（x6）2+9，当x6时，APG的面积的最大值为9；（3）PEDG，DGPE，理由如下：DFEF，CFEGFD90，CFGF，CEFGDF（SAS），CEDG，DGFFCE，DGF+
53、GDF90，GDF+DCE90，DHC90，DGPE，点E是PC的中点，PEEC，DGPE；（4）方法一、CF32+24xGF，EF32-24x，EC=CF2+EF2=36+14x2，APx，AC12，PC=AC2+AP2=x2+144，ACPGCH，A90GHC，APCHGC，GHAP=GCPC=CHAC，GHx=6+x2x2+144=CH12，GH=6x+x22x2+144，CH=72+6xx2+144，CHCE=72+6xx2+14436+14x2=12x+12x2+144=12x+12+288x+12-24122288-24=12242-24=122-2=2+12，CHCE的最大值为2
54、+12方法二、如图，过点H作MHAB，交BC于M，DHC90，点H以CD为直径的O上，连接OH，并延长交AB于N，MHAB，OHON=OMOB，OH，OB是定长，ON的取最小值时，OM有最大值，当ONAB时，OM有最大值，此时MHOH，CM有最大值，DEAB，MHDE，CHCE=CMCD，当CM有最大值时，CHCE有最大值，ABMH，HMOB45，MHOH，HMOHOM45，MHHO，MO=2HO，HOCODO，MO=2CO，CD2CO，CM（2+1）CO，CHCE=CMCD=(2+1)CO2CO=2+1232（2022常州）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点若OABOCD，则点O叫做该四
55、边形的“等形点”（1）正方形 不存在“等形点”（填“存在”或“不存在”）；（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”已知CD42，OA5，BC12，连接AC，求AC的长；（3）在四边形EFGH中，EHFG若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求OFOG的值【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，C90，OABOCD，OABC90，O是边BC上的一点正方形不存在“等形点”，故答案为：不存在；（2）作AHBO于H，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”，OABOCD，ABCD42，OAOC5，BC12，BO7，设OHx，则BH7x，由勾股定理得，（42
56、）2（7x）252x2，解得，x3，OH3，AH4，CH8，在RtCHA中，AC=AH2+CH2=42+82=45；（3）如图，边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，OEFOGH，EOFHOG，OEOG，OGHOEF，EHFG，HEOEOF，EHOHOG，HEOEHO，OEOH，OHOG，OEOF，OFOG=133（2022苏州）（1）如图1，在ABC中，ACB2B，CD平分ACB，交AB于点D，DEAC，交BC于点E若DE1，BD=32，求BC的长；试探究ABAD-BEDE是否为定值如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由（2）如图2，CBG和BCF是ABC的2个外角，BCF2CB
57、G，CD平分BCF，交AB的延长线于点D，DEAC，交CB的延长线于点E记ACD的面积为S1，CDE的面积为S2，BDE的面积为S3若S1S3=916S22，求cosCBD的值【解答】解：（1）CD平分ACB，ACDDCB=12ACB，ACB2B，ACDDCBB，CDBD=32，DEAC，ACDEDC，EDCDCBB，CEDE1，CEDCDB，CECD=CDCB，132=32CB，BC=94；ABAD-BEDE是定值DEAC，ABAD=BCCE，同可得，CEDE，ABAD=BCDE，ABAD-BEDE=BCDE-BEDE=CEDE=1，ABAD-BEDE是定值，定值为1；（2）DEAC，S1S2=ACDE=BCBE，S3S2=BECE，S1S3S22=BCCE，又S1S3=916S22，BCCE=916，设BC9x，则CE16x，CD平分BCF，ECDFCD=12BCF，BCF2CBG，ECDFCDCBD，BDCD，DEAC，EDCFCD，EDCCBDECD，CEDE，DCBECD，CDBCED，CDCE=CBCD，CD2CBCE144x2，CD12x，过点D作DHBC于点H，BDCD12x，BH=12BC=92x，cosCBD=BHBD=92x12x=38
