1、22导数的应用(一)一、选择题1函数f (x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2)B(0,3)C(1,4) D(2，)解析：函数f(x)(x3)ex的导数为f (x)(x3)ex1ex(x3)ex(x2)ex，由函数导数与函数单调性关系得：当f (x)0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f (x)(x2)ex0解得：x2.答案：D2函数y2sinx的图象大致是()解析：y2cosx，令y0，得cosx，根据三角形函数的知识可知这个方程有无穷多解，即函数y2sinx有无穷多个极值点，函数是奇函数，图象关于坐标原点对称，故只能是选项C中的图象答案：C3若a0，b0，且函数f(x)4x3a
2、x22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2 B3C6 D9解析：函数的导数为f (x)12x22ax2b，由函数f(x)在x1处有极值，可知函数f(x)在x1处的导数值为零，122a2b0，所以ab6，由题意知a，b都是正实数，所以ab()2()29，当且仅当ab3时取到等号，故选D.答案：D4设直线xt与函数f(x)x2，g(x)lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()A1 B.C. D.解析：|MN|的最小值，即函数h(x)x2lnx的最小值，h(x)2x，显然x是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t.答案：D5设函数f(x)ax2
3、bxc(a，b，cR)若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)的图象是()解析：若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则易得ac.因选项A、B的函数为f(x)a(x1)2，则f(x)exf (x)exf(x)(ex)a(x1)(x3)ex，x1为函数f(x)ex的一个极值点满足条件；选项C中，对称轴x0，且开口向下，a0，b0，f(1)2ab0，也满足条件；选项D中，对称轴x1，且开口向上，a0，b2a，f(1)2ab0，与图象矛盾，故答案选D.答案：D6函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f (x)2，则f(x)2x4解集为()A(1,1) B(1，)
4、C(，1) D(，)解析：令函数g(x)f(x)2x4，则g(x)f (x)20，因此，g(x)在R上是增函数，又因为g(1)f(1)242240.所以，原不等式可化为：g(x)g(1)，由g(x)的单调性，可得x1.答案：B二、填空题7已知函数f(x)x3mx2(m6)x1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是_解析：f (x)3x22mxm60有两个不等实根，即4m212(m6)0，m6，或m3.答案：(，3)(6，)8设函数f(x)ax3bx2cx(c0)，其图象在点A (1,0)处的切线的斜率为0，则f(x)的单调递增区间是_解析：f (x)ax2bxc，则由题意，得f(1)a
5、bc0且f (1)abc0，解得ba，ca，c0，a0，所以f (x)a(3x24x1)a(3x1)(x1)0，即(3x1)(x1)0，解得x1，因此函数f(x)的单调递增区间为.答案：9已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_解析：由原函数有零点，可将问题转化为方程ex2xa0有解问题，即方程a2xex有解令函数g(x)2xex，则g(x)2ex，令g(x)0，得xln2，所以g(x)在(，ln2)上是增函数，在(ln2，)上是减函数，所以g(x)的最大值为：g(ln2)2ln22.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a(，2ln22答案：(，2ln22三、解答题10
6、(2014济宁调研)已知函数f(x)x2alnx.(1)当a2e时，求函数f(x)的单调区间和极值(2)若函数g(x)f(x)在1,4上是减函数，求实数a的取值范围解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，)当a2e时，f(x)2x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)单调递减极小值单调递增f(x)的单调递减区间是(0，)；单调递增区间是(，)，极小值是f()0.(2)由g(x)x2alnx，得g(x)2x，又函数g(x)x2alnx为1,4上的单调减函数，则g(x)0在1,4上恒成立，即不等式2x0在1,4上恒成立，即a2x2在1,4上恒成立设(x)
7、2x2，显然(x)在1,4上为减函数，所以(x)的最小值为(4).所以a的取值范围是.11(2013福建卷)已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值解析：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2lnx，f(x)1(x0)，因而f(1)1，f(1)1，曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，且x0知：当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)
8、时，f(x)0.从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aalna，无极大值综上所述，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aalna，无极大值12(2013北京卷)设l为曲线C：y在点(1,0)处的切线(1)求l的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线l的下方解析：(1)设f(x)，则f(x).f(1)1.l的方程为yx1.(2)证明：令g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线C在直线l的下方等价于g(x)0(x0且x1)g(x)满足g(1)0，且g(x)1f(x).当0x1时，x210，lnx0，g(x)1时，x210，lnx0，g(x)0，故g(x)单调递增g(x)g(1)0(x0且x1)除切点之外，曲线C在直线l的下方
