1、第20讲利用导数研究不等式的恒成立问题学校:_姓名：_班级：_考号：_【基础巩固】1（2022山东肥城市教学研究中心模拟预测）定义在上的函数的导函数为，且对任意恒成立.若，则不等式的解集为（）ABCD【答案】B【解析】由，即，即，即对恒成立，令，则在上单调递增，由即，即，因为在上单调递增，故选：B.2（2022辽宁鞍山一中模拟预测）已知且，若任意，不等式均恒成立，则的取值范围为（）ABCD【答案】A【解析】由题设，令，则恒成立，令，则，当时，递减；当时，递增；所以，故递增，当，即时，不合题意；当，即时，要使恒成立，则恒成立，令且，则，当时，递减；当时，递增；所以，故在上递增，而，此时时，即恒成
2、立.综上，的取值范围为.故选：A3（2022重庆八中模拟预测）已知函，（为自然对数底数，），若对成立，则实数a的最大值为（）AB1CD【答案】C【解析】解：因为，恒成立，即，所以，故令，在上恒成立，所以，在上单调递减，所以，两边取对数得，即，记，则，所以，当，单调递减，当时，单调递增，所以，的最小值是，故，所以，实数a的最大值是 故选：C4（2022辽宁沈阳三模）已知函数的图象恒在的图象的上方，则实数m的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】由题意可得，故，即令，则单调递增，原不等式可化为，所以，即，令，则，当时，当时，所以函数在上递减，在上递增，故，所以.故选：A5（2022江苏扬州模拟预
3、测）已知为正整数，若对任意，不等式成立，则的最大值为（）A2B3C4D5【答案】B【解析】因为对恒成立，令，当时，在上单调递减，时，不满足题意；当时，恒成立；当时，所以在上递增，在上递减，设，所以在上递减，在上递增，而成立，成立，故选：B.6（2022江苏模拟预测）已知且成立，则（）ABCD【答案】C【解析】依题意，构造函数，所以在区间递减；在区间递增.若，则，不符合题意.若，则，符合题意，若，此时对任意，有两个不同的实数根，则存在，使“且”成立.对任意，有两个不同的实数根，则存在，使“且”成立.综上所述，.故选：C7（2022辽宁建平县实验中学模拟预测）已知函数，若存在实数使不等式成立，则a
4、的取值范围为()ABCD【答案】A【解析】令得，将化简得，令，则，令，为增函数，当时，为增函数，；当时，为减函数，；因此最小值为1，从而，即故选：A8（2022浙江绍兴高三期末）已知关于的不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则（）A既有最小值，也有最大值B有最小值，没有最大值C有最大值，没有最小值D既没有最小值，也没有最大值【答案】B【解析】变形为：，令（）则上式可化为：，其中，所以（）单调递增，故，即，令，则，当时，当时，所以在处取得极大值，也是最大值，故，所以，解得：，综上：有最小值，无最大值.故选：B9（多选）（2022广东模拟预测）已知，若不等式在上恒成立，则a的值可以为（）ABC1D
5、【答案】AD【解析】设，则，所以在上单调递增，所以，所以，又在上恒成立，所以在上单调递增，所以对恒成立，即恒成立令，当时，故，解得或，所以a的值可以为，故选：AD.10（多选）（2022湖南长郡中学模拟预测）若存在正实数x，y，使得等式成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值可能是（）ABCD2【答案】ACD【解析】解：由题意，不等于，由，得，令，则，设，则，因为函数在上单词递增，且，所以当时，当时，则在上单调递减，在上单调递增，从而，即，解得或.故.故选：ACD.11（2022湖北省仙桃中学模拟预测）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】不等式可化为： ，即.记.因
6、为，所以当时，所以在上单调递增函数，所以当时，即.记，则.因为，所以只需在上递增，所以，只需恒成立.因为在单调递减，所以当时，最大，所以.即实数的取值范围为.故答案为：.12（2022江苏南京师大附中模拟预测）已知.设实数，若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为_.【答案】【解析】因为仅在时取等号，故为R上的单调递增函数，故由设实数，对任意的正实数，不等式恒成立，可得，恒成立，即恒成立，当时，恒成立，当时，构造函数，恒成立，当时，递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，故需，设，在，上递增，在，递减，故的最小值为 ，故答案为：13（2022湖北大冶市第一中学模拟预测）已知关于的不等式
7、恒成立，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】易知，将原不等式变形：，可得，即，其中.设，则，原不等式等价于.当时，原不等式显然成立；当时，因为在上递增，恒成立，设，则，所以在递减，递增，所以的最小值为，故.故答案为：14（2022广东深圳市光明区高级中学模拟预测）已知函数，（e为自然对数的底数，），当时，函数在点处的切线方程为_；若对）成立，则实数a的最大值为_.【答案】 【解析】由题意当时，则，所以函数在点处的切线方程为，即.因为，即，则，令，在上恒成立，故在上单调递减，故，得，即，记，则，当时，单调递减，当时，单调递增，故的最小值是，故，即实数a的最大值是.故答案为：；.15（2022辽
8、宁实验中学模拟预测）已知函数(1)请讨论函数的单调性(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围【解】(1)当时，在上递增当时，在，单调递减在上，单调递增(2)原式等价于设，由（1）当时，为增函数 ， ，等式等价于恒成立，时，成立，时，设，设，所以在上为增函数，又因为，所以在上，为减函数，在上，为增函数， ，16（2022山东临沂三模）已知函数，其图象在处的切线过点(1)求a的值；(2)讨论的单调性；(3)若，关于x的不等式在区间上恒成立，求的取值范围【解】(1)解：因为函数，所以，则，所以函在处的切线方程为，又因为切线过点，所以，即，解得；(2)由（1）知；，则，令，则，当时，当时， 所以即当时，
9、当时，所以在上递增，在上递增；(3)因为x的不等式在区间上恒成立，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，因为在上递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，则，当时，当时，所以当时，取得最大值，所以.17（一题多解）（2022海南中学高三阶段练习）已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)是否存在实数a，使对恒成立，若存在，求出a的值或取值范围；若不存在，请说明理由.【解】(1)因为，所以，即.当时，令，则，所以在单调递增，因为，所以，当时，；当时，所以的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)法一：设，则，当时，即，故不符合题意.当时，当时，.令，即，取，则，即，.故不符合题意.当时，令，则
10、，故在单调递增.因为，所以存在唯一的使得，所以，时，；时，故在单调递减，在单调递增.所以的最小值为，因为，即，两边取对数得，所以.令，则，所以在单调递增，在单调递减，故，当且仅当时，等号成立，故当且仅当时，在恒成立，综上，存在a符合题意，.法二：设，则，设，易知在单调递增，当时，因为，所以存在唯一，使得，即，.所以当，即，单调递减；当，即，单调递增.故，即，符合题意.当时，所以存在唯一，使得，所以当，即，单调递减，故，即，故不符合题意.当时，所以存在唯一，使得，所以当，即.所以在单调递增，故，即，故不符合题意.当时，不符合题意.当时，不符合题意.综上，存在a符合题意，.法三：当时，故在上单调递
11、增.因为在单调递增，且，故存在唯一，使得，即，即，故，所以任意，都有.故不符合题意.当时，对于函数，.所以时，；时，.所以在单调递减，在单调递增，故，所以，故，故符合题意.当且时，对于函数，因为在单调递增，且，所以存在，使得，即，所以.令，则，故在单调递增，在单调递减.故，当且仅当时，“=”成立.所以当时，即，故不符合题意.综上，存在a符合题意，.法四：设，易知在单调递增.又当时，所以的值域为；当时，的值域为.所以的值域为.故对于上任意一个值，都有唯一的一个正数，使得.因为，即.设，所以要使，只需.当时，因为，即，所以不符合题意.当时，当时，在单调递减；当时，在单调递增.所以.设，则，当时，在
12、单调递增；当时，在单调递减.所以，所以，当且仅当时，等号成立.又因为，所以，所以.综上，存在a符合题意，.【素养提升】1（2022广东广州三模）对于任意都有，则的取值范围为（）ABCD【答案】B【解析】，令，则，所以在上单调递减，在上单调递减，所以，所以，所以转化为：，令，当时，所以在上单调递增，所以，所以.当时，您，所以，（i）当即时，所以在上单调递增，所以.(ii)当即时， 在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.综上，的取值范围为：.故选：B.2（2022江苏连云港模拟预测）已知，函数，当x1时，恒成立，则实数的最小值为（）ABCD1【答案】D【解析】解：因为x1时，恒成立，所以 在x1
13、时，恒成立，即，在 x1时，恒成立，令，则，又，当时，即，因为，不成立；当时，即，则 所以在上递增，则，所以在上递增，所以，解得，实数的最小值为1，故选：D3（2022山东聊城三模）已知函数（且），若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为_.【答案】【解析】解：因为函数（且），所以，当，时，则在上成立，所以在上递增，所以，所以，因为任意的，不等式恒成立，所以，即，解得，当，时，则在上成立，所以在上递增，所以，所以，因为任意的，不等式恒成立，所以，即，解得，综上：实数a的取值范围为，故答案为：4（2022辽宁二模）已知不等式对任意恒成立，则实数a的最小值为_【答案】【解析】由题意，不等式可
14、变形为，得对任意恒成立.设，则对任意恒成立，当时，所以函数在上单调递减，当时，所以函数在上单调递增.当时，因为求实数的最小值，所以考虑的情况，此时，因为函数在上单调递增，所以要使，只需，两边取对数，得上，由于，所以.令，则，令，得，易得在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以，所以实数的最小值为.故答案为：.5（2022福建龙岩模拟预测）若对恒成立，则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】解：因为对恒成立，即对恒成立，记，所以，令，令，则，所以当时，所以在上单调递增，所以，即，则所以在上是增函数，所以当，即时，在上是增函数，所以符合题意；当时，且当时， 所以，使得，即当时，单调递减，此时，
15、所以不符合题意，综上可得，即故答案为：6（2022山东聊城三模）已知函数，.(1)当b=1时，讨论函数的单调性；(2)若函数在处的切线方程为，且不等式恒成立，求实数m的取值范围.【解】(1)当b=1时，定义域为（0，+），.当时，所以函数在（0，+）上单调递减.当时，令，得；令，得，所以函数在（0，a）上单调递增，在（a，+）上单调递减.综上，当时，函数在（0，+）上单调递增，当时，函数在（0，a）上单调递增，在（a，+）上单调递减.(2)因为函数在处的切线方程为y=(e1)x2，所以，且，由于，所以解得a=b=1，所以f(x)=lnxx，所以f(x)g(x)即，等价于对x0恒成立，即对x0恒成立.令，所以，.令，则恒成立，所以G(x)在（0，）上单调递增.由于G(1)=e0，所以使得，即，（）所以当时，G(x)0，即F(x)在上单调递减，在上单调递增，所以，由（）式可知，令，又x0，所以，即s(x)在（0，+）上为增函数，所以，即，所以，所以所以，实数m的取值范围为（，1.
