1、第 3 课时 向量的数量积、向量的应用 一、填空题 1(2010栟茶中学学情分析)设向量 a，b，c 满足 abc0，(ab)c 且 ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2_.答案：4 2(江苏省高考命题研究专家原创卷)已知 a、b 均为非零向量，p：ab0，q：a 与 b 的夹角为锐角，则 p 是 q 成立的_条件(填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)解析：当 ab0 时，a、b 可为同向，所以 p 不能推出 q，但 q 可以推出 p，因此 p 是 q成立的必要不充分条件 答案：必要不充分 3(盐城市高三调研考试)已知 O，A，B 是平面上不共线三点，设 P 为线段 AB
2、 垂直平分线上任意一点，若|OA|7，|OB|5，则OP(OA OB)的值为_ 解析：设线段 AB 的中点为 M，连接 OM，MP BA 0.OP(OA OB)(OM MP)(OA OB)MO(OA OB)MP BA 12(OA OB)(OA OB)12(OA2OB2)12(4925)12.答案：12 4(江苏省高考命题研究专家原创卷)如上图，非零向量OA，OB 与 x 轴正半轴的夹角分别为6 和23，且OA OB OC 0，则OC 与 x 轴正半轴的夹角的取值范围是_ 解析：OA OB OC 0，OC OA OB，OC 与 x 轴正半轴的夹角的取值范围应在向量OA，OB 与 x 轴正半轴的夹
3、角之间，故OC 与 x 轴正半轴的夹角的取值范围是3，56.答案：3，56 5(苏北四市高三第三次联考)已知平面向量 a，b，c 满足 abc0，且 a 与 b 的夹角为135，c 与 b 的夹角为 120，|c|2，则|a|_.解析：根据题意，设平面向量 a，b，c 的模分别为 x，y，z，由 abc0 得 acb，则 abcbbb，又 a 与 b 的夹角为 135，c 与 b 的夹角为 120，所以 22 xy12yzy2，而 z2，故 22 x1y，再由 abc0 得 abc，两边平方得 x2y22xycos 1354，将式代入得 x 6.答案：6 6(苏北四市联考)如图，在ABC 中，
4、BAC=120，AB=AC=2，D，E 为 BC 边上的点，且=.解析：，又 AB=AC，=2，BAC=120，答案：1 7(扬州市高三期末调研考试)等边三角形 ABC 中，P 在线段 AB 上，且AP AB，若CP AB PA PB，则实数 的值是_ 解 析：由 题 意 不 妨 设 等 边 三 角 形 ABC 的 边 长 为 1，如 图 (01)，由得 即，22-4+1=0，(01)，mn 的最大值为 5，求实数 k 的值 解：(1)由 G 是ABC 的重心，得GA CB GC 0，GC(GA GB)，由正弦定理，可将已知等式转化为 56aGA 40bGB 35c(GB)0，整理，得：(56
5、a35c)GA(40b35c)GB 0.GA，GB 不共线，56a35c0，40b35c0.由此，得 abc578.不妨设 a5，b7，c8，由余弦定理，得 cos Ba2c2b22ac528272258 12.0B1 时，f(t)为增函数，所以，当 t1 时，mn 取得最大值 5.于是有：24k15，解得 k32，符合题意所以，k32 10已知平面向量 a(3，1)，b12，32.(1)证明：ab；(2)若存在不同时为零的实数 k 和 t，使 xa(t23)b，y katb，且 xy，试求函数关系式 kf(t)；(3)据(2)的结论，确定函数 kf(t)的单调区间(1)证明：ab 312(1
6、)32 0，ab.(2)解：xy，xy0，a(t23)b(katb)ka2tk(t23)abt(t23)b20，|a|2，|b|1，ab，k4t(t23)0，即 k14(t33t)(t0)(3)解：由(2)和 f(t)14(t33t)得：f(t)14(3t23)，令 f(t)0 得 t1 或 t1，令 f(t)0 得1t0)(1)试用 k 表示 ab，并求 ab 的最小值；(2)若 0 x，b(12，32)，求 ab 的最大值及相应的 x 值 解：(1)|a|1，|b|1，由|kab|3|akb|，得(kab)23(akb)2，整理得 ab14(k)12，当且仅当 k1 时，ab 取最小值12.(2)由 ab12cos x 32 sin xsin(x6)0 x，6 x6 76，12sin(x6)1.当 x3 时，ab 取最大值 1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
