1、3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦学 习 目 标核 心 素 养(教师独具)1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用(难点)2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式(重点)3.能用两角和与差的余弦公式化简、求值(重点)通过学习本节内容提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养.两角和与差的余弦公式(1)两角差的余弦公式C()：cos()cos_cos_sin_sin_.(2)两角和的余弦公式C()：cos()cos_cos_sin_sin_.思考：cos(9030)cos 90cos 30成立吗？提示不成立1思考辨析(1)，R时，cos()
2、cos cos sin sin .()(2)cos 105cos 45 cos 60sin 45sin 60.()(3)cos 30cos 120sin 30sin 1200.()(4)coscossinsincos 2.()解析正确运用公式(1)中加减号错误(2)(3)(4)正确答案(1)(2)(3)(4)2cos 75_；cos 15_.cos 75cos(3045)cos 30cos 45sin 30sin 45.cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 30sin 45.3cos 45cos 15sin 15sin 45的值为_cos 45cos 15sin 15s
3、in 45cos(4515)cos 30.两角和与差余弦公式的简单应用【例1】求下列各式的值：(1)cos 40cos 70cos 20cos 50；(2)；(3)cos 15sin 15；(4)cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)思路点拨：从所求式子的形式、角的特点入手，化简求值解(1)原式cos 40cos 70sin 70sin 40cos(7040)cos 30.(2)原式cos 15cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 45.(3)cos 60，sin 60，cos 15sin 15cos 60cos 15sin 60sin 15cos(6
4、015)cos 45.(4)原式cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)cos(35)(25)cos(60)cos 60.1两角和与差的余弦公式中，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体2在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值提醒：要重视诱导公式在角的差异、函数名称的差异中的转化作用1求下各式的值(1)cos 75cos 15sin 75sin 195；(2)cos 24cos 36sin 24cos 54.解(1)cos 75cos 15sin 75sin 195cos 75cos 15s
5、in 75sin 15cos(7515)cos 60.(2)原式cos 24cos 36sin 24sin 36cos(2436)cos 60.已知三角函数值求角【例2】已知锐角，满足sin ，cos ，求的值思路点拨：先求出cos ，sin ，再利用两角和的余弦公式求出cos()，最后由的范围确定的值解因为，为锐角，且sin ，cos ，所以cos ，sin ，故cos()cos cos sin sin .由0，0，得00，所以为锐角，所以.已知三角函数值求角，一般分三步：第一步：求角的某一三角函数值(该函数在所求角的取值区间上最好是单调函数)；第二步：确定角的范围，由题意进一步缩小角的范围
6、；第三步：根据角的范围写出所求的角.2已知cos ，cos()，且0，求的值解由cos ，0，得sin .由0，得0.又cos()，sin().由()，得cos cos()cos cos()sin sin()，.给值求值问题探究问题1角“”“”及“”间存在怎样的等量关系？提示：；()；().2已知cos()和sin 的值，如何求cos 的值？提示：由()可知，cos cos()cos()cos sin()sin ，故可先求出sin()及cos 的值，代入上式求得cos 的值【例3】已知sin ，sin ，且，求cos()思路点拨：由sin 求cos ；由sin 求cos 后套用公式求值解sin
7、 ，cos .又sin ，cos ，cos()cos cos sin sin .1(变条件)若将本题改为已知sin ，sin ，且2，0，求cos()解sin ，0，cos .又sin ，且2，当时，cos ，cos()cos cos sin sin ；当2时，cos ，cos()cos cos sin sin .综上所述，cos()或.2(变条件)若将本例改为已知sin ，cos()，.求sin .解sin ，且，cos .又，0.又cos()，sin()，cos cos()cos cos()sin sin()，sin .1利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地
8、从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解2在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：()，()，(2)()，2()()，2()()等提醒：注意角的范围对三角函数值符号的限制教师独具1本节课的重点是两角和与差的余弦公式，难点是公式的推导及应用2要掌握两角和与差的余弦公式的三个应用(1)解决给角求值问题(2)解决给值(式)求值问题(3)解决给值求角问题3本节课的易错点是：利用两角和与差的余弦公式解决给值求角问题时，易忽视角的范围而导致解题错误1cos 15()Acos 45cos 30sin 45sin 30Bcos 45cos 30sin 45sin 30Ccos 45sin 30sin 45cos 30Dcos 45sin 30sin 45cos 30Bcos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.2cos 105sin 195_.cos 105sin 195cos 105sin(10590)cos 105cos 1052cos(13530)2(cos 135cos 30sin 135sin 30)2.3若sin ，则cos 的值为_，sin ，cos .coscoscos sinsin .4化简：.解原式.
