1、3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦学 习 目 标核 心 素 养(教师独具)1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用(难点)2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式(重点)3.能用两角和与差的余弦公式化简、求值(重点)通过学习本节内容提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养.两角和与差的余弦公式(1)两角差的余弦公式C():cos()cos_cos_sin_sin_.(2)两角和的余弦公式C():cos()cos_cos_sin_sin_.思考:cos(9030)cos 90cos 30成立吗?提示不成立1思考辨析(1),R时,cos()
2、cos cos sin sin .()(2)cos 105cos 45 cos 60sin 45sin 60.()(3)cos 30cos 120sin 30sin 1200.()(4)coscossinsincos 2.()解析正确运用公式(1)中加减号错误(2)(3)(4)正确答案(1)(2)(3)(4)2cos 75_;cos 15_.cos 75cos(3045)cos 30cos 45sin 30sin 45.cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 30sin 45.3cos 45cos 15sin 15sin 45的值为_cos 45cos 15sin 15s
3、in 45cos(4515)cos 30.两角和与差余弦公式的简单应用【例1】求下列各式的值:(1)cos 40cos 70cos 20cos 50;(2);(3)cos 15sin 15;(4)cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)思路点拨:从所求式子的形式、角的特点入手,化简求值解(1)原式cos 40cos 70sin 70sin 40cos(7040)cos 30.(2)原式cos 15cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 45.(3)cos 60,sin 60,cos 15sin 15cos 60cos 15sin 60sin 15cos(6
4、015)cos 45.(4)原式cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)cos(35)(25)cos(60)cos 60.1两角和与差的余弦公式中,可以是单个角,也可以是两个角的和或差,在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体2在运用公式化简求值时,要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式,然后逆用公式求值提醒:要重视诱导公式在角的差异、函数名称的差异中的转化作用1求下各式的值(1)cos 75cos 15sin 75sin 195;(2)cos 24cos 36sin 24cos 54.解(1)cos 75cos 15sin 75sin 195cos 75cos 15s
5、in 75sin 15cos(7515)cos 60.(2)原式cos 24cos 36sin 24sin 36cos(2436)cos 60.已知三角函数值求角【例2】已知锐角,满足sin ,cos ,求的值思路点拨:先求出cos ,sin ,再利用两角和的余弦公式求出cos(),最后由的范围确定的值解因为,为锐角,且sin ,cos ,所以cos ,sin ,故cos()cos cos sin sin .由0,0,得00,所以为锐角,所以.已知三角函数值求角,一般分三步:第一步:求角的某一三角函数值(该函数在所求角的取值区间上最好是单调函数);第二步:确定角的范围,由题意进一步缩小角的范围
6、;第三步:根据角的范围写出所求的角.2已知cos ,cos(),且0,求的值解由cos ,0,得sin .由0,得0.又cos(),sin().由(),得cos cos()cos cos()sin sin(),.给值求值问题探究问题1角“”“”及“”间存在怎样的等量关系?提示:;();().2已知cos()和sin 的值,如何求cos 的值?提示:由()可知,cos cos()cos()cos sin()sin ,故可先求出sin()及cos 的值,代入上式求得cos 的值【例3】已知sin ,sin ,且,求cos()思路点拨:由sin 求cos ;由sin 求cos 后套用公式求值解sin
7、 ,cos .又sin ,cos ,cos()cos cos sin sin .1(变条件)若将本题改为已知sin ,sin ,且2,0,求cos()解sin ,0,cos .又sin ,且2,当时,cos ,cos()cos cos sin sin ;当2时,cos ,cos()cos cos sin sin .综上所述,cos()或.2(变条件)若将本例改为已知sin ,cos(),.求sin .解sin ,且,cos .又,0.又cos(),sin(),cos cos()cos cos()sin sin(),sin .1利用和(差)角的余弦公式求值时,不能机械地从表面去套公式,而要变通地
8、从本质上使用公式,即把所求的角分解成某两个角的和(差),并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的,再代入公式即可求解2在将所求角分解成某两角的和(差)时,应注意如下变换:(),(),(2)(),2()(),2()()等提醒:注意角的范围对三角函数值符号的限制教师独具1本节课的重点是两角和与差的余弦公式,难点是公式的推导及应用2要掌握两角和与差的余弦公式的三个应用(1)解决给角求值问题(2)解决给值(式)求值问题(3)解决给值求角问题3本节课的易错点是:利用两角和与差的余弦公式解决给值求角问题时,易忽视角的范围而导致解题错误1cos 15()Acos 45cos 30sin 45sin 30Bcos 45cos 30sin 45sin 30Ccos 45sin 30sin 45cos 30Dcos 45sin 30sin 45cos 30Bcos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.2cos 105sin 195_.cos 105sin 195cos 105sin(10590)cos 105cos 1052cos(13530)2(cos 135cos 30sin 135sin 30)2.3若sin ,则cos 的值为_,sin ,cos .coscoscos sinsin .4化简:.解原式.