1、常州市第一中学2018-2019学年期初考试高二数学试题（考试时间120分钟 满分160分）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题纸相应位置上) 1函数的最小正周期为 .2不等式的解集为 .3在等比数列中, ，则的值为 .4已知向量,，若，则实数 .5函数的定义域为 .6已知直线与 平行，则实数 .7已知数列an满足a115，且3an13an2若akak10，则正整数k 8已知两正数x，y 满足x4y1，则的最小值为 .9若变量，满足约束条件,则的最小值为 .10已知直线与圆：相交于两点，若点M在圆上，且有，则实数 .11已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是
2、.12若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为，则的取值范围是 13在平面直角坐标系中，若曲线上恰好有三个点到直线的距离为1，则的取值范围是 .14已知函数，若存在实数，当时，恒成立，则实数的最大值为 .二、解答题(本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15在中，角所对的边分别为，设，(1)当时，求的值；(2)若，当取最大值时，求16在四棱锥PABCD中，ABDC，AB平面PAD， PDAD，AB2DC，E是PB的中点求证：(1)CE平面PAD；(2)平面PAB17已知圆O：(1)设直线：，求直线被圆截得的弦长；(2)设圆和轴相交于A，B两点，
3、点P为圆上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线 于D，E两点当点P变化时，以DE为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论；18某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为(弧度).(1)求关于x的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？(扇形的弧长公式：
4、；扇形的面积公式：)19对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.(1)已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”，并说明理由；(2)若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；(3)若为定义在R上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.20已知数列满足，数列的前项和为(1)求的值；(2)若 求证：数列为等差数列； 求满足的所有数对常州市第一中学2018-2019学年期初考试高二数学试题答案（考试时间120分钟 满分160分）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题纸相应位置上) 1函数的最小正周期为 .2不等式的解集为 .3在等比数列中, ，则
5、的值为 .4已知向量,，若，则实数 .5函数的定义域为 .(2,3)(3,)6已知直线与 平行，则实数 .27已知数列an满足a115，且3an13an2若akak10，则正整数k 238已知两正数x，y 满足x4y1，则的最小值为 .99若变量，满足约束条件,则的最小值为 .110已知直线与圆：相交于两点，若点M在圆上，且有，则实数 .11已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是 .12若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为，则的取值范围是 13在平面直角坐标系中，若曲线上恰好有三个点到直线的距离为1，则的取值范围是 .14已知函数，若存在实数，当时，恒成立，则实数
6、的最大值为 .9二、解答题(本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15在中，角所对的边分别为，设，(1)当时，求的值；(2)若，当取最大值时，求16在四棱锥PABCD中，ABDC，AB平面PAD， PDAD，AB2DC，E是PB的中点求证：(1)CE平面PAD；(2)平面PAB【证】（1）取PA的中点F，连EF，DF 2分因为E是PB的中点，所以EF / AB，且因为ABCD，AB2DC，所以EFCD， 4分，于是四边形DCEF是平行四边形， 从而CEDF，而平面PAD，平面PAD，故CE平面PAD 7分 （2）（接（1）中方法1）因为PDAD，且F是PA的中点，所以
7、因为AB平面PAD，平面PAD，所以 10分 因为CEDF，所以，因为平面PAB，所以平面PAB 因为平面PBC，所以平面PBC平面PAB 14分17已知圆O：(1)设直线：，求直线被圆截得的弦长；(2)设圆和轴相交于A，B两点，点P为圆上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线 于D，E两点当点P变化时，以DE为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论；解：(1) (2)18某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为(弧
8、度).(1)求关于x的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？(扇形的弧长公式：；扇形的面积公式：)解：(1)设扇环的圆心角为q，则，所以，5分 (2) 花坛的面积为7分装饰总费用为， 10分所以花坛的面积与装饰总费用的比， 12分令，则，当且仅当t=18时取等号，此时答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大16分19对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.(1)已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”，并说明理由；(2)若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；(3)若为定义在R上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.20已知数列满足，数列的前项和为(1)求的值；(2)若 求证：数列为等差数列； 求满足的所有数对【解】(1)由条件，得，-得 3分 (2)证明：因为，所以，-得 ， 6分于是，所以，从而 8分所以，所以，将其代入式，得，所以（常数），所以数列为等差数列 10分注意到，所以，由知 所以，即，又，所以且均为正整数，所以，解得，所以所求数对为 16分
