1、考纲要求考纲研读1.以空间直线、平面的位置关系及四个公理为出发点认识和理解空间中的垂直关系2理解直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定定理3理解并能证明直线和平面垂直、平面和平面垂直的性质定理4能用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.1.从立体几何的有关定义、定理和公理出发，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定2正确使用线面垂直判定的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直；要证面面垂直可转化为线面垂直明确线线、线面及面面垂直的判定方法及相互转化是正确解答有关垂直问题的关键.第5讲 直线、平面垂直的判定与性质 1直线与平面垂直任意垂直
2、(1)直线与平面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的_一条直线都_，那么这条直线和这个平面垂直(2)直线与平面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条_直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面(3)直线与平面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_平行相交2平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面，叫做互相垂直的平面(2)平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的_，那么这两个平面互相垂直垂线(3)平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们_的直线垂直于另一个平面3直线与平面所成的角(1)如果直线与平
3、面平行或者在平面内，则直线与平面所成的角等于 0.交线(2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于 90.(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是(0，90)斜线与平面所成的_是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最_的角4二面角线面角小从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角从二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做_直二面角1垂直于同一条直线的两条直线一定()DA平行C异面B相交D以上都有可能2A，B 为空间两点，l 为一条直线，则过 A，B 且垂
4、直于 l的平面()BA不存在C有且只有 1 个B至多 1 个D有无数个4如图 1351，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，下列结论D图 1351中正确的个数是()BD1AC；BD1A1C1；BD1B1C.A0 个B1 个C2 个D3 个 3设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是()A在平面内有且只有一条直线与直线m垂直 B过直线m有且只有一个平面与平面垂直 C与直线m垂直的直线不可能与平面平行 D与直线m平行的平面不可能与平面垂直B5给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同
5、一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是()DA和B和C和 D和考点1 直线与平面垂直的判定与性质例1：如图 352，已知矩形 ABCD，过 A 作 SA平面 AC，再过 A 作 AESB 于 E 点，过 E 作 EFSC 交 SC 于 F 点(1)求证：AFSC(2)若平面 AEF 交 SD 于 G，求证：AGSD.图 1352解析：(1)证明：因为BC面 SAB，且 AE 在面 SAB 内，所以 AEBC.又因为AESB，SBBCB，所以 AE面 SBC.而 SC 在面 SBC 内，所以 AESC.又因为 EFS
6、C，EFAEE，所以 SC面 AEF.而 AF 在面 AEF 内，所以 AFSC.(2)解：由(1)SC平面AEF，AG平面AEFAGSC.AD为AG在平面AC内射影所在的直线上，ADCD，CD平面ACAGCD，又 SCCDC，所以AG平面SCD，SD平面SCDAGSD.直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直直线与平面垂直直线与直线垂直，通过直线与平面位置关系的不断转化来处理有关垂直的问题出现中点时，平行要联想到三角形中位线，垂直要联想到三角形的高；出现圆周上的点时，联想直径所对圆周角为直角【互动探究】1如图 1353，PA O 所在的平面，AB 是O 的直径，C 是O 上的一点，E，F
7、分别是 A 在 PB，PC 上的射影，给出下面结论，其中正确命题的个数是()B图 1353AFPB；EFPB；AFBC；AE平面 PBC.A2 个C4 个B3 个D5 个解析：正确，又 AF平面 PBC，错误考点2 平面与平面垂直的判定与性质例 2：(2011 年江苏)如图 1354，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD 的中点求证：(1)直线 EF平面 PCD；(2)平面 BEF平面 PAD 图 1354BF AD BF面PAD(因为平面PAD平面 ABCD)平面BEF平面PAD(因为 BF平面BEF)前者利用面面垂直的性质定理，后
8、者利用面面垂直的判定定理证明：(1)E，F 分别是AP，AD 的中点，EFPD.又PD面PCD，EF 面 PCD，直线 EF平面 PCD.(2)ABAD，BAD60，F 是AD 的中点，BFAD.又平面PAD平面ABCD，面PAD面 ABCDAD，BF面 PAD.平面BEF平面PAD.【互动探究】2(2011 年浙江)下列命题中错误的是()DA如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面解析：因为若这条线是平面和平面的交线l，则交线l 在平面内，明显
9、可得交线l 在平面内，所以交线l 不可能垂直于平面，平面内所有直线都垂直于平面是错误的考点3 线面所成的角例 3：如图 1355，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角图 1355解析：连接 BC1 交 B1C 于 O，连接 A1O.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中各个面为正方形，设其棱长为 a.在正方形 BCC1B1 中，BC1B1C.又 A1B1面 BC1，A1B1BC1.又 A1B1B1CB1，BC1面 A1DCB1.A1O 是 A1B 在面 A1DCB1 上的投影BA1O 是面 A1DCB1 与 A1B 所成的角在 RtA1OB 中，A1B 2a
10、，OB 22 a，sinBA1O22 a2a12.BA1O30求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：(1)先判断直线和平面的位置关系(2)当直线和平面斜交时，常有以下步骤：作作出或找到斜线与射影所成的角；证论证所作或找到的角为所求的角；算常用解三角形的方法求角；结论点明斜线和平面所成的角值【互动探究】3如图 1356，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则 AC1 与平面 A1B1C1D1所成角的正弦值为()图 1356A.2 23 B.23C.24D.13解析：如图 D27，连接 A1C1，则AC1A1 为 AC1 与平面A1B1C1D1 所成角ABBC2A1C1A
11、C2 2，又 AA11，AC13sinAC1A1AA1AC113.答案：D图 D27考点4 立体几何中的探索性问题例 4：(2011 年广东茂名一模)如图 1357，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD60，Q 为 AD 的中点(1)若 PA PD，求证：平面 PQB平面 PAD；(2)点 M 在线段 PC 上，PMtPC，试确定 t 的值，使 PA 平面 MQB.图 1357解析：(1)如图1358，连接BD，四边形ABCD菱形，BAD60，ABD为正三角形又Q 为AD 中点，ADBQ.PA PD，Q 为AD 的中点，ADPQ.又BQPQQ，AD平面PQB.又AD平面PA
12、D，平面PQB平面PAD.图1358(2)当 t13时，PA平面 MQB.连接 AC 交 BQ 于点 N.由 AQBC 可得，ANQCNB，AQBCANNC12.PA平面 MQB，PA 平面 PAC，平面 PAC平面 MQBMN，PAMN.PMPCANAC13.即 PM13PC.t13.探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程
13、【互动探究】4(2011 年广东深圳一模)如图 1359，在四棱锥 SABCD中，ABAD，AB/CD，CD3AB，平面SAD平面ABCD，M 是线段 AD 上一点，AMAB，DMDC，SMAD.(1)证明：BM平面 SMC；图 1359(2)设三棱锥 CSBM 与四棱锥SABCD 的体积分别为 V1 与 V，求V1V 的值(1)证明：平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，SM平面 SAD，SMAD，SM平面 ABCD.BM平面 ABCD,SMBM.四边形 ABCD 是直角梯形，AB/CD，AMAB，DMDC，MAB，MDC 都是等腰直角三角形，AMBCMD45，BMC90.BM
14、CM.SM平面 SMC，CM平面 SMC，SMCMM，BM平面 SMC.(2)解：三棱锥 CSBM 与三棱锥SCBM 的体积相等，由(1)知 SM平面 ABCD，得V1V 13SM12BMCM13SM12ABCDAD.设 ABa，由 CD3AB，AMAB，DMDC，得 CD3a，BM 2a，CM3 2a，AD4a.从而V1V 2a3 2aa3a4a38.1证明线面垂直的方法(1)用线面垂直的定义：若一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面(2)用线面垂直的判定定理：若一直线垂直于平面内两条相交直线，这条直线垂直于该平面(3)用线面垂直的性质定理：若两平行直线之一垂直于平面，则另一条直线
15、也垂直于该平面(4)用面面垂直的性质定理：若两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么也垂直于另一个平面(6)如果两个相交平面都和第三个平面垂直，那么相交平面的交线也垂直于第三个平面2判定面面垂直的方法(1)定义法：首先找二面角的平面角，然后证明其为直角(2)用面面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线3垂直于同一个平面的两条直线平行，是判定两条直线平行的又一重要方法，是实现空间中平行关系和垂直关系在一定条件下相互转化的一种手段4本节教材中线面垂直的性质定理的证明用到反证法，反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原
16、理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指否定结论，第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”5常用定理：(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；(3)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内1面面垂直的性质定理是证明线面垂直的依据和方法，在解决二面角的问题中，作其平面角经常用到，应用定理的关键是创设定理成立的条件：一是线在面内，二是线垂直于交线两个条件同时具备才能推出线面垂直2线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化是解决有关垂直证明题的指导思想，既要注意一般的转化规律，又要看清题目的条件，选择正确的转化方向，不能过于模式化复杂的题目不是一次或两次就能完成，而是不断从某一垂直向另一垂直转化，最终达到目的
