1、第3节简谐运动的图像和公式1.简谐运动图像是一条正弦(或余弦)曲线,描述了质点做简谐运动时位移x随时间t的变化规律,并不是质点运动的轨迹。2由简谐运动图像可以直接得出物体振动的振幅、周期、某时刻的位移及振动方向。3简谐运动的表达式为xAsin(t)或xAsin(2ft),其中A为质点振幅、(t)为相位,为初相位。简谐运动的图像自读教材抓基础1建立坐标系以横轴表示做简谐运动的物体的时间t,纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对平衡位置的位移x。2图像的特点一条正弦(或余弦)曲线,如图131所示。图1313图像意义表示物体做简谐运动时位移随时间的变化规律。4应用由简谐运动的图像可找出物体振动的周期
2、和振幅。跟随名师解疑难1图像的含义表示某一做简谐运动的质点在各个时刻的位移,不是振动质点的运动轨迹。2由图像可以获取哪些信息?(1)可直接读取振幅、周期。(2)任意时刻质点的位移的大小和方向。如图132所示,质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和x2。图132(3)任意时刻质点的振动方向:看下一时刻质点的位置,如图133中a点,下一时刻离平衡位置更远,故a此刻向上振动。图133(4)任意时刻质点的速度、加速度、位移的变化情况及大小比较:看下一时刻质点的位置,判断是远离还是靠近平衡位置,若远离平衡位置,则速度越来越小,加速度、位移越来越大,若靠近平衡位置,则速度越来越大,加速度、位移越来越小。如
3、图中b点,从正位移向着平衡位置运动,则速度 为负且增大,位移、加速度正在减小;c点从负位移远离平衡位置运动,则速度为负且减小,位移、加速度正在增大。学后自检(小试身手)一质点做简谐运动,其位移x与时间t关系曲线如图134所示,由图可知()图134A质点振动的频率是4 HzB质点振动的振幅是2 cmC在t3 s时,质点的速度最大D在t4 s时,质点所受的合外力为零解析:选BC从振动图像可知振幅A2 cm,周期T4 s,则频率为f0.25 Hz。t3 s时,质点位于平衡位置,速度最大,而t4 s时,质点位于最大位移处,所以回复力最大。简谐运动的表达式1.表达式简谐运动的表达式可以写成xAsin (
4、t)或xAsin(2ft)。2表达式中各量的意义(1)式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移,t表示质点振动的时间。(2)式中A表示振幅,描述的是振动的强弱。(3)式中T、f分别表示简谐运动的周期和频率,描述的都是振动的快慢。(4)式中(2ft)表示相位,描述的是做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态,是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量,相当于一个角度,相位每增加2,意味着物体又多完成了一次全振动。(5)式中表示t0时简谐运动质点所处的状态称为初相位或初相。学后自检(小试身手)一个简谐运动的振动方程为x5cos(2t) cm,这个振动的振幅是_cm;频率是_Hz;
5、在t0.1 s时的相位是_。解析:由振动方程可知,A5 cm,2,由2f可知,f1 Hzt0.1 s时,相位为20.1。答案:51简谐运动图像的应用典题例析1如图135是弹簧振子的振动图像,试回答下列问题:图135(1)振动的振幅、周期、频率各是多少?(2)如果从O点算起,到图线上哪一点为止振子完成了一次全振动?从A点算起呢?(3)从零到1.6 s时间内,哪些点的动能最大?哪些点的势能最大?思路点拨解答本题应注意以下两点:(1)由图像可以直接读取振幅和周期;(2)动能最大点、势能最大点与位移的对应关系。解析:(1)由图像可知振动的振幅A2 cm,周期T0.8 s,由此可得频率f1.25 Hz。
6、(2)由图像可知图中的O、D、H三点即在0、0.8 s、1.6 s三时刻,振动质点的运动状态相同,图中A、E二点,即在0.2 s、1.0 s两时刻振动质点的运动状态相同,所以如果从O点算起,到图像上的D点,振子完成了一次全振动;如果从A点算起,到图像上的E点,振子完成了一次全振动。(3)从01.6 s内,在0、0.4 s、0.8 s、1.2 s、1.6 s各时刻,即对应图中的O、B、D、F、H各点,振子处在平衡位置,此时速度最大,动能最大,势能最小,而在0.2 s、0.6 s、1.0 s、1.4 s各时刻,即对应图中的A、C、E、G各点,振子均处在最大位移处,此时速度为零,动能为零,势能最大。
7、答案:(1)2 cm0.8 s1.25 Hz(2)D点E点(3)O、B、D、F、HA、C、E、G探规寻律简谐运动图像问题的分析方法解此类题时,首先要理解xt图像的意义,其次要把xt图像与质点的实际振动过程联系起来。再充分利用图像的直观性,把图像与振动过程联系起来,图像上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等),图像上的一段对应振动的一个过程,关键是判断好平衡位置、最大位移及振动方向。跟踪演练如图136所示是一做简谐运动的物体的振动图像,下列说法中正确的是()图136A振动周期是2102 sB第2102 s内物体的位移是10 cmC物体的振动频率为25 HzD物体的振幅是10 cm解析:
8、选BCD周期是完成一次全振动所用的时间,在图像上是两相邻极大值间的距离,所以周期是4102 s,故A错误。又f,所以f25 Hz,故C正确。正、负极大值表示物体的振幅,所以振幅A10 cm,故D正确。第2102 s内初位置是10 cm,末位置是0,根据位移的概念有x10 cm,故B正确。 对简谐运动表达式的理解典题例析2物体A做简谐运动的振动位移为xA3cos(100t) m,物体B做简谐运动的振动位移为xB5cos(100t) m。比较A、B的运动()A振幅是矢量,A的振幅是6 m,B的振幅是10 mB周期是标量,A、B周期相等为100 sCA振动的频率fA等于B振动的频率fBDA振动的频率
9、fA大于B振动的频率fB思路点拨解答此题要注意以下两点:(1)从表达式中找出振幅、初相、周期;(2)利用关系式和f分析求解。解析:振幅是标量,A、B的振动范围分别是6 m、10 m,但振幅分别是3 m、5 m,选项A错误;周期是标量,A、B的周期T s6.28102 s,选项B错误;因为TATB,故fAfB,选项C正确,选项D错误。答案:C探规寻律用xAsin(t)解题的方法(1)首先要明确表达式中各物理量的意义。(2)根据2f确定描述振动快慢的三个物理量的关系。(3)根据表达式求解某时刻的位移。(4)对于同一质点的振动,不同形式位移表达式初相位并不相同。跟踪演练有一个弹簧振子,振幅为0.8
10、cm,周期为0.5 s,初始时具有负方向的最大加速度,则它的运动表达式是()Ax8103sin(4t) mBx8103sin(4t) mCx8101sin(t) mDx8101sin(t) m解析:选A4,当t0时,具有负方向的最大加速度,则xA,所以初相,表达式为x8103sin(4t) m,A正确。课堂双基落实1如图137所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移时间图像,下列有关该图像的说法正确的是()图137A该图像的坐标原点是建立在弹簧振子小球的平衡位置B从图像可以看出小球在振动过程中是沿横轴方向移动的C为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移,让底片沿垂直x轴方向匀速运动D图像中小
11、球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同解析:选ACD该图像的坐标原点是建立在弹簧振子的平衡位置,小球的振动过程是垂直于横轴方向移动的,故A对B错。由获得图像的方法知C对。频闪照相是在相同时间内留下的小球的像。因此小球的疏密显示了它的位置变化快慢,D对。2一个质点做简谐运动的图像如图138所示,则该质点()图138A在00.01 s内,速度与加速度的方向相同B在0.010.02 s内,速度与回复力的方向相同C在0.025 s末,速度为正,加速度为负D在0.04 s末,速度为零,回复力最大解析:选AD在00.01 s内,速度、加速度都沿x轴负方向,故A正确。在0.010.02 s内,速度沿x
12、轴负方向,而回复力沿x轴正方向,故B错误。在0.025 s末,速度和加速度都为正,故C错误。在0.04 s末,位移最大,回复力最大,速度为零,故D正确。3某质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x Asint,则质点()A第1 s末与第3 s末的位移相同B第1 s末与第3 s末的速度相同C. 3 s末至5 s末的位移方向都相同D3 s末至5 s末的速度方向都相同解析:选AD由表达式xAsint知,简谐运动的周期T8 s。表达式对应的振动图像如图所示。质点在1 s末的位移x1Asin(1)A质点在3 s末的位移x3Asin(3)A,故A正确;由前面计算可知t1 s和t3 s质点连续通过同一位
13、置,故两时刻质点速度大小相等,但方向相反,B错误;由xt图像可知,34 s内质点的位移为正值,45 s内质点的位移为负值,C错误;同样由xt图像可知,在时间35 s内,质点一直向负方向运动,D正确。4一个小球和轻质弹簧组成的系统,按x15 sin(8t) cm的规律振动。(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相。(2)另一简谐运动表达式为x25 sin(8t) cm,求它们的相位差。解析:(1)已知8,由得,周期T s,频率f4 Hz,振幅A5 cm,初相1;(2)由21得;相位差答案:(1) s4 Hz5 cm(2)课下综合检测1如图1(a)所示,一弹簧振子在AB间做简谐运动,O为平衡位置。图
14、(b)是该振子做简谐运动时的xt图像。则关于振子的加速度随时间的变化规律,下列图2四个图像中正确的是()图1图2解析:选C设弹簧劲度系数为k,位移与加速度方向相反,由牛顿第二定律得a,故C正确。2一个质点做简谐运动的图像如图3所示,下列说法正确的是()图3A质点振动频率为4 HzB在10 s内质点经过的路程为20 cmC在5 s末,质点做简谐运动的相位为Dt1.5 s和t4.5 s两时刻质点的位移大小相等,都是 cm解析:选BD由振动图像可直接得到周期为4 s,频率f0.25 Hz,故选项A是错误的;一个周期内简谐运动的质点经过的路程是4A8 cm,10 s为2.5个周期,故质点经过的路程为2
15、0 cm,选项B是正确的;由图像知,位移与时间的关系xAsin(t0)0.02sinm。当t5 s时,其相位t05,故C不正确;在1.5 s和4.5 s两时刻,质点的位移相同,与振幅的关系是xAsin 135A cm,故D正确。3如图4甲所示,悬挂在竖直方向上的弹簧振子,周期T2 s,从最低点位置向上运动时开始计时,在一个周期内的振动图像如图乙所示。关于这个图像,下列说法正确的是()图4At1.25 s时,振子的加速度为正,速度也为正Bt1.7 s时,振子的加速度为负,速度也为负Ct1.0 s时,振子的速度为零,加速度为负向最大值Dt1.5 s时,振子的速度为零,加速度为负向最大值解析:选Ct
16、1.25 s时,振子的加速度为负,速度也为负,故A错误。t1.7 s时,振子的加速度为正,速度为负,故B错误。t1.0 s时,振子的速度为零,加速度为负向最大值,故C正确。t1.5 s时,振子的速度为负向最大值,加速度为零,故D错误。4如图5为某一质点的振动图像,由图可知,在t1和t2两时刻|x1|x2|,质点速度v1、v2与加速度a1、a2的关系为()图5Av1v2,方向相同Bv1a2,方向相同 Da1a2,方向相反解析:选ADv1、v2均沿x方向,t1时刻,质点离平衡位置较远,速度较小,v1|x2|,x1与x2方向相反,故a1a2,且a1、a2方向相反,C错,D对。5(北京高考)一个弹簧振
17、子沿x轴做简谐运动,取平衡位置O为x轴坐标原点。从某时刻开始计时,经过四分之一周期,振子具有沿x轴正方向的最大加速度。能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是()图6解析:选A由简谐运动中加速度与位移的关系ax可知,在T/4时刻,加速度正向最大,则位移负向最大,故选项A正确。6劲度系数为20 N/cm的弹簧振子,它的振动图像如图7所示,在图中A点对应的时刻()图7A振子所受的弹力大小为0.5 N,方向指向x轴的负方向B振子的速度方向指向x轴的正方向C在04 s内振子作了1.75次全振动D在04 s内振子通过的路程为0.35 cm,位移为0解析:选B由题图可知A在t轴上方,位移x0.25 cm,
18、所以弹力Fkx5 N,即弹力大小为5 N,方向指向x轴负方向,选项A不正确;由题图可知过A点作图线的切线,该切线与x轴的正方向的夹角小于90,切线斜率为正值,即振子的速度方向指向x轴的正方向,选项B正确。由图可看出,t0、t4 s时刻振子的位移都是最大,且都在t轴的上方,在04 s内完成两次全振动,选项C错误。由于t0时刻和t4 s时刻振子都在最大位移处,所以在04 s内振子的位移为零,又由于振幅为0.5 cm,在04 s内振子完成了2次全振动,所以在这段时间内振子通过的路程为240.50 cm4 cm,故选项D错误。综上所述,该题的正确选项为B。7如图8所示是某质点做简谐运动的振动图像,根据
19、图像中的信息,回答下列问题:图8(1)振幅、周期各是多大?(2)写出这个简谐运动的位移随时间变化的关系式。解析:(1)质点离开平衡位置的最大位移x10 cm,所以振幅A10 cm;质点完成一次全振动的时间为4 s,所以周期T4 s。(2)由图像可知振幅A10 cm,周期T4 s, rad/s,t0时,x0,所以初相位0,由此可知位移随时间的变化关系式为xAsin(t)10sint cm。答案:(1)10 cm4 s(2)x10sint cm8有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动,已知B、C间的距离为20 cm,振子在2 s内完成了10次全振动。若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t0),经过周期振子有负向最大位移。(1)求振子的振幅和周期;(2)画出该振子的位移时间图像;(3)写出振子的振动方程。解析:(1)弹簧振子在B、C之间做简谐运动,故振幅A10 cm,振子在2 s内完成了10次全振动,振子的周期T0.2 s。(2)振子从平衡位置开始计时,故t0时刻,位移是0,经周期振子的位移为负向最大,故如图所示。(3)由函数图像可知振子的位移与时间函数关系式为x10sin(10t) cm。答案:(1)10 cm0.2 s(2)见解析(3)x10sin(10t) cm