1、第3节简谐运动的图像和公式1.简谐运动图像是一条正弦(或余弦)曲线，描述了质点做简谐运动时位移x随时间t的变化规律，并不是质点运动的轨迹。2由简谐运动图像可以直接得出物体振动的振幅、周期、某时刻的位移及振动方向。3简谐运动的表达式为xAsin(t)或xAsin(2ft)，其中A为质点振幅、(t)为相位，为初相位。简谐运动的图像自读教材抓基础1建立坐标系以横轴表示做简谐运动的物体的时间t，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对平衡位置的位移x。2图像的特点一条正弦(或余弦)曲线，如图131所示。图1313图像意义表示物体做简谐运动时位移随时间的变化规律。4应用由简谐运动的图像可找出物体振动的周期
2、和振幅。跟随名师解疑难1图像的含义表示某一做简谐运动的质点在各个时刻的位移，不是振动质点的运动轨迹。2由图像可以获取哪些信息？(1)可直接读取振幅、周期。(2)任意时刻质点的位移的大小和方向。如图132所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和x2。图132(3)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图133中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a此刻向上振动。图133(4)任意时刻质点的速度、加速度、位移的变化情况及大小比较：看下一时刻质点的位置，判断是远离还是靠近平衡位置，若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大，若靠近平衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小。如
3、图中b点，从正位移向着平衡位置运动，则速度 为负且增大，位移、加速度正在减小；c点从负位移远离平衡位置运动，则速度为负且减小，位移、加速度正在增大。学后自检(小试身手)一质点做简谐运动，其位移x与时间t关系曲线如图134所示，由图可知()图134A质点振动的频率是4 HzB质点振动的振幅是2 cmC在t3 s时，质点的速度最大D在t4 s时，质点所受的合外力为零解析：选BC从振动图像可知振幅A2 cm，周期T4 s，则频率为f0.25 Hz。t3 s时，质点位于平衡位置，速度最大，而t4 s时，质点位于最大位移处，所以回复力最大。简谐运动的表达式1.表达式简谐运动的表达式可以写成xAsin (
4、t)或xAsin(2ft)。2表达式中各量的意义(1)式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移，t表示质点振动的时间。(2)式中A表示振幅，描述的是振动的强弱。(3)式中T、f分别表示简谐运动的周期和频率，描述的都是振动的快慢。(4)式中(2ft)表示相位，描述的是做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2，意味着物体又多完成了一次全振动。(5)式中表示t0时简谐运动质点所处的状态称为初相位或初相。学后自检(小试身手)一个简谐运动的振动方程为x5cos(2t) cm，这个振动的振幅是_cm；频率是_Hz；
5、在t0.1 s时的相位是_。解析：由振动方程可知，A5 cm，2，由2f可知，f1 Hzt0.1 s时，相位为20.1。答案：51简谐运动图像的应用典题例析1如图135是弹簧振子的振动图像，试回答下列问题：图135(1)振动的振幅、周期、频率各是多少？(2)如果从O点算起，到图线上哪一点为止振子完成了一次全振动？从A点算起呢？(3)从零到1.6 s时间内，哪些点的动能最大？哪些点的势能最大？思路点拨解答本题应注意以下两点：(1)由图像可以直接读取振幅和周期；(2)动能最大点、势能最大点与位移的对应关系。解析：(1)由图像可知振动的振幅A2 cm，周期T0.8 s，由此可得频率f1.25 Hz。
6、(2)由图像可知图中的O、D、H三点即在0、0.8 s、1.6 s三时刻，振动质点的运动状态相同，图中A、E二点，即在0.2 s、1.0 s两时刻振动质点的运动状态相同，所以如果从O点算起，到图像上的D点，振子完成了一次全振动；如果从A点算起，到图像上的E点，振子完成了一次全振动。(3)从01.6 s内，在0、0.4 s、0.8 s、1.2 s、1.6 s各时刻，即对应图中的O、B、D、F、H各点，振子处在平衡位置，此时速度最大，动能最大，势能最小，而在0.2 s、0.6 s、1.0 s、1.4 s各时刻，即对应图中的A、C、E、G各点，振子均处在最大位移处，此时速度为零，动能为零，势能最大。
7、答案：(1)2 cm0.8 s1.25 Hz(2)D点E点(3)O、B、D、F、HA、C、E、G探规寻律简谐运动图像问题的分析方法解此类题时，首先要理解xt图像的意义，其次要把xt图像与质点的实际振动过程联系起来。再充分利用图像的直观性，把图像与振动过程联系起来，图像上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等)，图像上的一段对应振动的一个过程，关键是判断好平衡位置、最大位移及振动方向。跟踪演练如图136所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法中正确的是()图136A振动周期是2102 sB第2102 s内物体的位移是10 cmC物体的振动频率为25 HzD物体的振幅是10 cm解析：
8、选BCD周期是完成一次全振动所用的时间，在图像上是两相邻极大值间的距离，所以周期是4102 s，故A错误。又f，所以f25 Hz，故C正确。正、负极大值表示物体的振幅，所以振幅A10 cm，故D正确。第2102 s内初位置是10 cm，末位置是0，根据位移的概念有x10 cm，故B正确。 对简谐运动表达式的理解典题例析2物体A做简谐运动的振动位移为xA3cos(100t) m，物体B做简谐运动的振动位移为xB5cos(100t) m。比较A、B的运动()A振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 mB周期是标量，A、B周期相等为100 sCA振动的频率fA等于B振动的频率fBDA振动的频率
9、fA大于B振动的频率fB思路点拨解答此题要注意以下两点：(1)从表达式中找出振幅、初相、周期；(2)利用关系式和f分析求解。解析：振幅是标量，A、B的振动范围分别是6 m、10 m，但振幅分别是3 m、5 m，选项A错误；周期是标量，A、B的周期T s6.28102 s，选项B错误；因为TATB，故fAfB，选项C正确，选项D错误。答案：C探规寻律用xAsin(t)解题的方法(1)首先要明确表达式中各物理量的意义。(2)根据2f确定描述振动快慢的三个物理量的关系。(3)根据表达式求解某时刻的位移。(4)对于同一质点的振动，不同形式位移表达式初相位并不相同。跟踪演练有一个弹簧振子，振幅为0.8
10、cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的运动表达式是()Ax8103sin(4t) mBx8103sin(4t) mCx8101sin(t) mDx8101sin(t) m解析：选A4，当t0时，具有负方向的最大加速度，则xA，所以初相，表达式为x8103sin(4t) m，A正确。课堂双基落实1如图137所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移时间图像，下列有关该图像的说法正确的是()图137A该图像的坐标原点是建立在弹簧振子小球的平衡位置B从图像可以看出小球在振动过程中是沿横轴方向移动的C为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向匀速运动D图像中小
11、球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同解析：选ACD该图像的坐标原点是建立在弹簧振子的平衡位置，小球的振动过程是垂直于横轴方向移动的，故A对B错。由获得图像的方法知C对。频闪照相是在相同时间内留下的小球的像。因此小球的疏密显示了它的位置变化快慢，D对。2一个质点做简谐运动的图像如图138所示，则该质点()图138A在00.01 s内，速度与加速度的方向相同B在0.010.02 s内，速度与回复力的方向相同C在0.025 s末，速度为正，加速度为负D在0.04 s末，速度为零，回复力最大解析：选AD在00.01 s内，速度、加速度都沿x轴负方向，故A正确。在0.010.02 s内，速度沿x
12、轴负方向，而回复力沿x轴正方向，故B错误。在0.025 s末，速度和加速度都为正，故C错误。在0.04 s末，位移最大，回复力最大，速度为零，故D正确。3某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x Asint，则质点()A第1 s末与第3 s末的位移相同B第1 s末与第3 s末的速度相同C. 3 s末至5 s末的位移方向都相同D3 s末至5 s末的速度方向都相同解析：选AD由表达式xAsint知，简谐运动的周期T8 s。表达式对应的振动图像如图所示。质点在1 s末的位移x1Asin(1)A质点在3 s末的位移x3Asin(3)A，故A正确；由前面计算可知t1 s和t3 s质点连续通过同一位
13、置，故两时刻质点速度大小相等，但方向相反，B错误；由xt图像可知，34 s内质点的位移为正值，45 s内质点的位移为负值，C错误；同样由xt图像可知，在时间35 s内，质点一直向负方向运动，D正确。4一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x15 sin(8t) cm的规律振动。(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相。(2)另一简谐运动表达式为x25 sin(8t) cm，求它们的相位差。解析：(1)已知8，由得，周期T s，频率f4 Hz，振幅A5 cm，初相1；(2)由21得；相位差答案：(1) s4 Hz5 cm(2)课下综合检测1如图1(a)所示，一弹簧振子在AB间做简谐运动，O为平衡位置。图
14、(b)是该振子做简谐运动时的xt图像。则关于振子的加速度随时间的变化规律，下列图2四个图像中正确的是()图1图2解析：选C设弹簧劲度系数为k，位移与加速度方向相反，由牛顿第二定律得a，故C正确。2一个质点做简谐运动的图像如图3所示，下列说法正确的是()图3A质点振动频率为4 HzB在10 s内质点经过的路程为20 cmC在5 s末，质点做简谐运动的相位为Dt1.5 s和t4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是 cm解析：选BD由振动图像可直接得到周期为4 s，频率f0.25 Hz，故选项A是错误的；一个周期内简谐运动的质点经过的路程是4A8 cm,10 s为2.5个周期，故质点经过的路程为2
15、0 cm，选项B是正确的；由图像知，位移与时间的关系xAsin(t0)0.02sinm。当t5 s时，其相位t05，故C不正确；在1.5 s和4.5 s两时刻，质点的位移相同，与振幅的关系是xAsin 135A cm，故D正确。3如图4甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期T2 s，从最低点位置向上运动时开始计时，在一个周期内的振动图像如图乙所示。关于这个图像，下列说法正确的是()图4At1.25 s时，振子的加速度为正，速度也为正Bt1.7 s时，振子的加速度为负，速度也为负Ct1.0 s时，振子的速度为零，加速度为负向最大值Dt1.5 s时，振子的速度为零，加速度为负向最大值解析：选Ct
16、1.25 s时，振子的加速度为负，速度也为负，故A错误。t1.7 s时，振子的加速度为正，速度为负，故B错误。t1.0 s时，振子的速度为零，加速度为负向最大值，故C正确。t1.5 s时，振子的速度为负向最大值，加速度为零，故D错误。4如图5为某一质点的振动图像，由图可知，在t1和t2两时刻|x1|x2|，质点速度v1、v2与加速度a1、a2的关系为()图5Av1v2，方向相同Bv1a2，方向相同 Da1a2，方向相反解析：选ADv1、v2均沿x方向，t1时刻，质点离平衡位置较远，速度较小，v1|x2|，x1与x2方向相反，故a1a2，且a1、a2方向相反，C错，D对。5(北京高考)一个弹簧振
17、子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点。从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度。能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是()图6解析：选A由简谐运动中加速度与位移的关系ax可知，在T/4时刻，加速度正向最大，则位移负向最大，故选项A正确。6劲度系数为20 N/cm的弹簧振子，它的振动图像如图7所示，在图中A点对应的时刻()图7A振子所受的弹力大小为0.5 N，方向指向x轴的负方向B振子的速度方向指向x轴的正方向C在04 s内振子作了1.75次全振动D在04 s内振子通过的路程为0.35 cm，位移为0解析：选B由题图可知A在t轴上方，位移x0.25 cm，
18、所以弹力Fkx5 N，即弹力大小为5 N，方向指向x轴负方向，选项A不正确；由题图可知过A点作图线的切线，该切线与x轴的正方向的夹角小于90，切线斜率为正值，即振子的速度方向指向x轴的正方向，选项B正确。由图可看出，t0、t4 s时刻振子的位移都是最大，且都在t轴的上方，在04 s内完成两次全振动，选项C错误。由于t0时刻和t4 s时刻振子都在最大位移处，所以在04 s内振子的位移为零，又由于振幅为0.5 cm，在04 s内振子完成了2次全振动，所以在这段时间内振子通过的路程为240.50 cm4 cm，故选项D错误。综上所述，该题的正确选项为B。7如图8所示是某质点做简谐运动的振动图像，根据
19、图像中的信息，回答下列问题：图8(1)振幅、周期各是多大？(2)写出这个简谐运动的位移随时间变化的关系式。解析：(1)质点离开平衡位置的最大位移x10 cm，所以振幅A10 cm；质点完成一次全振动的时间为4 s，所以周期T4 s。(2)由图像可知振幅A10 cm，周期T4 s， rad/s，t0时，x0，所以初相位0，由此可知位移随时间的变化关系式为xAsin(t)10sint cm。答案：(1)10 cm4 s(2)x10sint cm8有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动。若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t0)，经过周期振子有负向最大位移。(1)求振子的振幅和周期；(2)画出该振子的位移时间图像；(3)写出振子的振动方程。解析：(1)弹簧振子在B、C之间做简谐运动，故振幅A10 cm，振子在2 s内完成了10次全振动，振子的周期T0.2 s。(2)振子从平衡位置开始计时，故t0时刻，位移是0，经周期振子的位移为负向最大，故如图所示。(3)由函数图像可知振子的位移与时间函数关系式为x10sin(10t) cm。答案：(1)10 cm0.2 s(2)见解析(3)x10sin(10t) cm