1、2023年中考数学综合压轴题突破二次函数图象与一元二次方程的综合应用一、综合题1已知二次函数 （a为常数， ）（1）当 时，求二次函数的对称轴（2）当 时，求该二次函数的图象与x轴的交点个数（3）设 ， 是该函数图象上的两点，其中 ，当 时，都有 ，求a的取值范围2已知关于x的一元二次方程+ax+a+30（1）求证：无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）如图，若抛物线y+ax+a+3与x轴交于点A（2，0）和点B，与y轴交于点C，连结BC，BC与对称轴交于点D求抛物线的解析式及点B的坐标；若点P是抛物线上的一点，且点P位于直线BC的上方，连接PC，PD，过点P作PNx轴，交BC
2、于点M，求PCD的面积的最大值及此时点P的坐标3定义：若两条抛物线在x轴上经过两个相同点，那么我们称这两条抛物线是“同交点抛物线”，在x轴上经过的两个相同点称为“同交点”，已知抛物线y=x2 +bx+c经过(2，0)、( 4，0)，且一条与它是“同交点抛物线”的抛物线y=ax2+ex+f经过点( 3，3)（1）求b、c及a的值； （2）已知抛物线y =x2 +2x +3与抛物线yn= x2 xn （n为正整数） 抛物线y和抛物线yn是不是“同交点抛物线”？若是，请求出它们的“同交点”，并写出它们一条相同的图像性质；若不是，请说明理由 当直线y = x+ m与抛物线y、yn，相交共有4个交点时，
3、求m的取值范围 若直线y =k（k 0）与抛物线y =x2 +2x +3与抛物线yn = x2 xn （n为正整数）共有4个交点，从左至右依次标记为点A、点B、点C、点D，当AB =BC=CD时，求出k、n之间的关系式4“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐.某网店专售一种商品，其成本为每件 元，已知销售过程中，销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得高于 .据市场调查发现，月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系如表： 销售单价x（元）65707580月销售量y（件）475450425400（1）请根据表格中所给数据，求出y关于x的函数关系式； （2）设该网店每月获
4、得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出300元资助贫困学生.为了保证捐款后每月利润不低于7700元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定该商品的销售单价？ 5已知关于 的二次函数 ( 0)的图象经过点C(0，1)，且与 轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是(1，0). （1）求c的值和 ， 之间的关系式； （2）求 的取值范围； （3）该二次函数的图象与直线 交于C、D两点，设 A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记PCD的面积为S1，PAB的面积为S2，当0 l时，求证：S1S2为常数，并求
5、出该常数. 6已知二次函数yax26ax5a（a为常数）的图象为抛物线C.（1）求证：不论a为何值，抛物线C与x轴总有两个不同的公共点； （2）设抛物线C交x轴于点A、B，交y轴于点D，若ABD的面积为20，求a的值； （3）设点E（2，4）、F（3，4），若抛物线C与线段EF只有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围.7已知关于的函数.（1）若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值；（2）若，时，函数的图象与轴有交点，求的取值范围.（3）阅读下面材料：设，函数图象与轴有两个不同的交点，若，两点均在原点左侧，探究系数，应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：因为函数的图
6、象与轴有两个不同的交点，所以；因为，两点在原点左侧，所以对应图象上的点在轴上方，即；上述两个条件还不能确保，两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需.综上所述，系数，应满足的条件可归纳为：请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：若函数的图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，求的取值范围.8在直角坐标系中，点A（1，m）和点B（3，n）在二次函数y=ax2+bx+1（a#0）的图象上（1）若m=1，n=4，求二次函数的表达式及图象的对称轴（2）若m-n= ，试说明二次函数的图象与x轴必有交点（3）若点C（x0，y0）是二次函数图象上的任意一点，且满足y0m，求
7、mn的取值范围9在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）经过点，平行四边形的顶点，的坐标分别是，其中（1）当，时，求：求抛物线的顶点坐标；求点的坐标（用含的式子表示）；（2）对于任意的，当，的值变化时，抛物线会不同，记其中任意两条抛物线的顶点为，（与不重合），则命题“对所有的，当时，一定不存在的情形”是否正确？请说明理由10已知：抛物线 与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C直线 ，与抛物线交于E、F两点 （1）若 ，求a的值； （2）若抛物线的对称轴为 求 的面积；当 时，求函数最大值与最小值的差；（3）当 时，若抛物线的最高点到直线 的距离为1，直接写出a的值 11某校九年级
8、数学兴趣社团的同学们学习二次函数后，有兴趣的在一起探究“函数的有关图象和性质”.探究过程如下：（1）列表：问 .x012y620002m（2）请在平面直角坐标系中画出图象.（3）若方程（p为常数）有三个实数根，则 .（4）试写出方程（p为常数）有两个实数根时，p的取值范围是 .12已知二次函数yx2+2bx+c（1）若bc，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；（2）若bc2，y在2x2上的最小值是3，求b的值.答案解析部分1【答案】（1）解：a=2，y=x2+2x+2=（x+1）2+1，二次函数的对称轴为x=-1；（2）解：0a4，b24ac=a2-4a=a（a-4）0，二次函数
9、图象与x轴无交点；（3）解：y=x2+ax+a=（x+）2+a-，对称轴为x=-，当x-时，y随x的增大而增大，x1x2，当2时，总有y1y2，对称轴需要在M和N点中点坐标的左侧，-2，a-4， 又a0，a-4且a0.2【答案】（1）证明：，=0，无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根（2）解：把A（-2，0）代入解析式，得，解得a=1，抛物线的解析式为，令y=0，得，解得x=-2（A点的横坐标）或x=4，点B（4，0）；设直线BC的解析式y=kx+b，根据题意，得，解得，直线BC的解析式为y=-x+4；抛物线的解析式为，直线BC的解析式为y=-x+4；设点P的坐标为（x，），则M（x
10、，），点N（x，0），PM=-（）=，抛物线的对称轴为直线x=1，点D（1，3），=，当x=2时，y有最大值1，此时=4，PCD的面积的最大值为1，此时点P（2，4）3【答案】（1）解：抛物线 经过(2，0)、( 4，0)，则代入得： ， 解得： ， ，设“同交点抛物线”的解析式为 ，将(3，3)代入得： ，解得： ，故答案为： ， ， （2）解：令 ，则 ， 解得： ，抛物线 与 轴的交点坐标为：(1，0)、(3，0)，令 ，则 ，解得： ，抛物线 与 轴的交点坐标为：(1，0)、(3，0)，抛物线 和抛物线 是“同交点抛物线”，它们图形共同性质：对称轴同为直线 ；当直线 与抛物线y相交只有
11、1个交点时，由 ，得： ，由 ，解得： ，抛物线 的顶点坐标为(1， )，其中 为正整数，因为随着 的增大， 的顶点纵坐标减小，所以当直线 与抛物线 中 时的抛物线相交只有1个交点时，由 ，得： ，由 ，解得： ，如图所示：当直线 经过“同交点”时与两抛物线只有三个交点，把“同交点”(1，0)代入 得： ，把“同交点” (3，0)代入 得： ，当直线 与抛物线 、 有4个交点时，m的取值范围为： ，且 ， ；设直线 分别与抛物线 和抛物线 相交于A、D、B、C，如图：由 ，得： ， ， ， ，由 ，得： ， ， ， ， ， ， ，整理得： 4【答案】（1）解：根据表格中的数据猜想y与x的函数关
12、系是一次函数 设 ，将 代入 ，得解得 经验证， 都满足上述函数关系式答：y与x的函数关系式为 （2）解：由题意，得 销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得高于 抛物线开口向下，对称轴为直线 此时函数图象在对称轴的左侧， 随 的增大而增大 时， 取得最大值， 答：当销售单价x为 元时，每月获得的利润最大，最大利润是10500元（3）解：根据题意得 解得： 抛物线开口向下当 时，每月利润不低于 元又 当 时，每月利润不低于7700元 要让消费者得到最大的实惠答：该商品的销售单价定为80元时，符合该网店要求且让消费者得到最大的实惠5【答案】（1）解：将点 代入 得 将点 代入得
13、；（2）解：二次函数 的图象与 轴交于不同的两点 一元二次方程 的判别式 而 的取值范围是 0，且 1；（3）证明：0 1 对称轴为 1把 代入 得 解得 ， ， 为常数，这个常数为1.6【答案】（1）证明：二次函数yax26ax5a， a0，=（-6a）2-4a5a=15a20，不论a为何值，抛物线C与x轴总有两个不同的公共点；（2）解： 当x0时，y5a. D（0，5a），当y=0，时x=1或5，A、B的坐标为（1，0），（5，0），由（1）得，AB514.ABD的面积为20， 4|5a|20，解得 a2.（3）解：当a0时，如图1，EF与抛物线不可能有公共点； 当a0时，如图2，临界点为
14、点E、F，当抛物线过点E时，即x=2，y=ax2-6ax+5a-3a=-3a=4，解得：a=- ，当抛物线过点F时，即x=3，y=ax2-6ax+5a-3a=-4a=4，解得：a=-1， a1.7【答案】（1）解：根据题意，得解之，得，所以函数的表达式或，当时，的最小值是0（2）解：根据题意，得而函数的图象与轴有交点，所以所以（3）解：函数的图象 图1：即所以，的值不存在.图2：即的值.图3：即所以的值不存在图4：即所以的值不存在.图5：即所以的值为图6：函数与轴的交点为所以的值为0成立.综上所述，的取值范围是或.8【答案】（1）解：m=1，n=4，A（1，1），B（3，4）， 把点A（1，1
15、）和点B（3，4） 代入中， 得 ，解得 ，二次函数的表达式为，二次函数图象经过（1，1）和（0，1）， 二次函数图象的对称轴为直线；（2）解：把点A（1，m）和点B（3，n）代入中， 得，即 ，二次函数图象与 轴必有交点；（3）解：点 是二次函数图象上的任意一点，且满足 ， 二次函数图象开口向下，即 ，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，即 ， ， ，9【答案】（1）解：，抛物线=x2-2x+3=(x-1)2+2，抛物线的顶点坐标为(1，2)；，D(1，0)A(b，0)，AD=1-b，平行四边形，BC=AD=1-b，BCAD，A(b，0)，D(m，0)，BCx轴，点，在抛物线上，点，关于抛物线对称
16、轴x=1对称，设点B横坐标为p，则点C横坐标为(2-p)，BC=2-P-P=2-2P=1-b，p=，当x=时，y=(x-1)2+2=，B(，)（2）解：命题“对所有的a，b，当ab1时，一定不存在ABP1P2的情形”，正确，理由如下：因为对于任意的k（0k4），抛物线=a(x-m)2+km(ab，所以BCx轴，BC=m-b，因为抛物线y=a(x-m)2+km的对称轴是直线x=m，且抛物线经过B、C两点，所以点，关于抛物线对称轴x=m对称，B(，)，设直线AB解析式为y=k0x+b0，把A(b，0)，B(，)代入，得，解得：，当k0=k时，可得方程=k，化简得：am2-2amb+ab2+2km+
17、2kb=0，因为a0，整理为关于m的一元二次方程为am2-(2ab-2k)m+ab2+2kb=0，此时=4k2-16abk=4k(k-4ab)，因为ab1，所以4ab4，因为0k0，4abk，所以k-4ab0，所以4k(k-4ab)0，即0，所以关于m的一元二次方程am2-(2ab-2k)m+ab2+2kb=0无实数解，即对所有的a，b，当ab1时，k0=k始终不成立，所以对所有的a，b，当ab1时，一定不存在ABP1P2的情形10【答案】（1）解：设点E、F的横坐标分别为x1、x2， 直线 ，与抛物线 交于E、F两点，当 时， ，即 ，x1、x2是方程 的两个根，x1+x2= ，x1x2=
18、， ， ， ， ，即 ，a0，81a2-8a-1=0，解得： ， ，a的值为 或 （2）解：抛物线的对称轴为 ， ，解得： ，抛物线解析式为 ，当y=0时， ，解得： ， ，点A在点B的左侧，A（-2，0），B（4，0），AB=6，当x=0时，y=4，抛物线与y轴交于点C，C（0，4），OC=4，SABC= =12 0，抛物线的开口向下，对称轴为 ，x=1时有最大值，当x1时，y随x的增大而减小， ，x=1时，有最大值为 ，x=6时有最小值为 ，当 时，最大值与最小值的差为 （3）解：当 时，若抛物线有最高点， a0，当 时，若抛物线的最高点到直线 的距离为1，当对称轴 时，即-1a0时，最高
19、点为抛物线顶点，最高点纵坐标为 ， -6=1，解得： ，当 时，若抛物线的最高点到直线 的距离为1，当对称轴 时，即 时， 时为最高点， ，解得： （舍去）， （舍去），综上所述：a的值为 11【答案】（1）（2）解：画图象如下；（3）p=0（4）或p012【答案】（1）解：由y1得 x2+2bx+c1， x2+2bx+c104b24b+4（2b1）2+30，则存在两个实数，使得相应的y1；（2）解：由bc2，则抛物线可化为yx2+2bx+b+2，其对称轴为直线xb， 当xb2时，则有抛物线在x2时取最小值为3，此时3（2）2+2（2）b+b+2，解得b3；当xb2时，则有抛物线在x2时取最小值为3，此时322+22b+b+2，解得b ，不合题意，舍去，当2b2时，则 3，化简得：b2b50，解得：b1 （不合题意，舍去），b2 .综上：b3或 .
