1、第一章单元质量评估一、选择题(每小题5分，共60分)1在ABC中，已知a4，b6，B60，则sin A的值为(A)A. B. C. D.解析：因，所以，解得sin A.2在ABC中，若B120，则a2acc2b2的值(C)A大于0 B小于0 C等于0 D不确定解析：根据余弦定理得cos 120，即a2c2b2ac.故a2acc2b20.3若ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为(A)A. B84 C1 D.解析：由(ab)2c24得(a2b2c2)2ab4.a2b2c22abcos C，方程可化为2ab(1cos C)4.因此，ab.又C60，ab
2、.4若ABC的三边分别为a，b，c，且满足b2ac,2bac，则此三角形是(D)A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形解析：2bac，4b2(ac)2.又b2ac，(ac)20.ac.2bac2a.ba，即abc.故此三角形为等边三角形5在ABC中，已知a17，b24，A45，则此三角形解的情况为(B)A无解 B两解C一解 D解的个数不确定解析：如图所示，bsin A1217，bsin Aac，新的三角形的三边长分别为ax，bx，cx，显然cx为最大边，其对应的角最大，而(ax)2(bx)2(cx)2x22(abc)x0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值大于0，则这个
3、角为锐角，那么新的三角形为锐角三角形7在ABC中，若sinAsinB，则A与B的大小关系为(C)AAB DA，B的大小关系不能确定解析：由正弦定理及sinAsinBabAB.故选C.8已知两座灯塔A，B与C地的距离都是10 km，灯塔A在C的北偏西20方向，灯塔B在C的南偏西25方向，则灯塔A与灯塔B之间的距离为(D)A10 km B10 km C15 km D10 km解析：因为灯塔A在C的北偏西20方向，灯塔B在C的南偏西25方向，所以ACB135，由余弦定理得AB210210221010cos135100(2)，解得AB10.9一船自西向东匀速航行，上午7时到达灯塔A的南偏西75方向且距
4、灯塔80 n mile的M处，若这只船的航行速度为10 n mile/h，则到达这座灯塔东南方向的N处时是上午(D)A8时 B9时 C10时 D11时解析：如图，画出灯塔A与船航行的位置，则MAN7545120，MA80，AMN907515，ANM45.由正弦定理，得，则MN40，船从M处到N处需要的时间是4(h)，即到达这座灯塔东南方向的N处时是上午11时，故选D.10在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积Sa2(bc)2，则tan(C)A. B. C. D.解析：b2c2a22bccosA，SbcsinA，且Sa2(bc)2(b2c2a2)2bc，bcsinA2bc(1
5、cosA)，即有，则tan.11在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，a2，b2，且12cos(BC)0，则BC边上的高等于(C)A2(1) B2(1) C.1 D.1解析：因为12cos(BC)0，所以cosA，即A60，所以由余弦定理可求得c.设BC边上的高为h，则ABC的面积SbcsinAah，所以h1.12在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAcosCcsinAcosAc，D为AC边上一点若c2b4，SBCD，则DC的长为(B)A. B. C. D.解析：asinAcosCcsinAcosAc，sinAsinAcosCsinCsinAcosAsin
6、C，即sinAsinBsinC.c2b，sinC2sinB，sinA，SABCbcsinA.AC2，SBCD，CD.二、填空题(每小题5分，共20分)13在ABC中，已知b50，c150，B30，则边长a100或50.解析：由余弦定理得a2c22accos30b2，a2150a15 0000，解得a100或50.14已知在ABC中，则C的度数为120.解析：由及，得abc7813.设a7k，b8k，c13k(k0)，则有cos C.又0C180，C120.15如下图所示，在ABC中，B45，D是BC边上一点，AD5，AC7，DC3，则AB的长为.解析：在ADC中，由余弦定理得cosADC，AD
7、C120，ADB60.在ABD中，AD5，B45，ADB60，由正弦定理得，AB.16在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则当取得最大值时，角A的值为.解析：由三角形的面积SaabcsinA，得a22bcsinA，所以由余弦定理得a2b2c22bccosA2bcsinA，所以b2c22bcsinA2bccosA2bc(sinAcosA)，于是2(sinAcosA)4sin，当且仅当A时，取得最大值4.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17(本小题10分)解答下列各题：(1)在ABC中，已知C45，A60，b2，求此三角形最小边的长
8、及a与B的值；(2)在ABC中，已知A30，B120，b5，求C及a与c的值解：(1)A60，C45，B180(AC)75.CAB.cac)(1)求cos A的值；(2)判断ABC的形状解：(1)由正弦定理得(bca)(bca)bc，即b2c2a2bc，由余弦定理得cos A.(2)由(1)知cos A，则方程x29x25cos A0可化为x29x200，解得x5或x4.bc，b5，c4，由余弦定理得a2b2c22bccos A9，a3.b2a2c2，ABC为直角三角形22(本小题12分)某小区设计的四边形花圃如右图所示，由于A，C之间有水池，花圃边缘点P设计在ABC内，已知ABCP2 m，BC3 m，P与B互补，记B.(1)试写出AP关于的解析式；(2)求花圃面积的最大值，并写出此时的值解：(1)ABC与APC中，ABCP2，BC3，B，P，由余弦定理得，AC22232223cos，AC2AP2222AP2cos()，由得AP24APcos12cos90，解得AP34cos，.(2)AP34cos，.四边形ABCP的面积SSABCSAPC23sin2APsin()3sin(34cos)sin4sincos2sin2，当时，Smax2.故花圃面积最大为2 m2，此时.
