1、考纲要求考纲研读1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.函数模型及其应用是高考的重点函数除了涉及方程、不等式、数列等知识，还可渗透到三角、立体几何、解析几何，甚至还呈现于概率知识中，它具有题源丰富、跨学科综合的特征解题时应注意把握问题主线，明确问题实质，运用有关知识进行转换.第8讲 函数模型及其应用 1学习过的基本初等函数主要有指数函数一次函数、二次函数、正(反)比例函数、三角函数、_、_、_等对数函数幂函数要熟练掌握这些函数的图象
2、与性质，以便利用它们来解决一些非基本函数的问题2用基本初等函数解决非基本函数问题的途径(1)化整为零：即将非基本函数“拆”成基本初等函数，以便用已知知识解决问题(2)图象变换：某些非基本函数的图象可看成是由基本初等函数图象通过图象变换得到的，搞清了变换关系，便可借助基本初等函数解决非基本函数问题二次函数模型3在解决某些应用问题时，通常要用到的一些函数模型_、_、_、_、_、分式函数模型、分段函数模型等4三种函数增长的条件：幂函数模型当 a1 时，指数函数 yax 是增函数，并且当 a 越大时，其函数的增长就越快一次函数模型指数函数模型对数函数模型当 a1 时，对数函数 ylogax 是增函数，
3、并且当 a 越小时，其函数的增长就越快当 x0，n0 时，幂函数 yxn 是增函数，并且当 n 越大时，其函数的增长就越快5三种函数增长速度的比较直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义：当 a1，n0 时，那么当 x 足够大时，一定有指数函数值增长快于幂函数值增长，幂函数值增长快于对数函数值增长也就是说，指数函数值增长最快，人们常称这种现象为“指数爆炸”1某一种商品降价 10%后，欲恢复原价，则应提价()DA10%B.9%C.11%D1119%2有一块长为20厘米，宽为12厘米的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子则盒子的容积V与x的函数关系
4、式是()AVx(202x)(122x)，x(0,12)BVx(20 x)(12x)，x(0,12)CVx(202x)(122x)，x(0,6)DVx(202x)(122x)，x(0,10)3某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为 200万元，生产每台计算机的可变成本为 3 000 元，每台计算机的售价为 5 000 元则：(1)总成本 C(万元)关于总产量 x(台)的函数关系式为_；C2000.3x(xN*)(2)单位成本 P(万元)关于总产量 x(台)的函数关系式为_；0.3(xN*)P200 x(3)销售收入 R(万元)关于总产量 x(台)的函数关系式为_；R0.5x(xN*)(4
5、)利润 L(万元)关于总产量 x(台)的函数关系式为_L0.2x200(xN*)4一等腰三角形的周长是 20，底边 y 是关于腰长 x 的函数，它的解析式为_5已知函数 y12x 和 y2x2.当 x(2,4时，函数_的值增长快；当 x(4，)时，函数_的值增长快y202x(5x10)y2x2y12x考点1 正比例、反比例和一次函数类的实际问题例1：某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价 20 元，茶杯每个定价 5 元，该店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按总价的 92%付款某顾客需要购茶壶 4 个，茶杯若干(不少于 4 个)，若需茶杯 x个，付款数为 y(元)，试分别建立两
6、种优惠办法中 y 与 x 的函数关系，并讨论顾客选择哪种优惠方法更划算解析：由优惠办法(1)可得函数关系式：y12045(x4)5x60(x4)由优惠办法(2)可得函数关系式：y2(5x420)92%4.6x73.6(x4)比较：y1y20.4x13.6(x4)当0.4x13.60，即x34 时，y1y2，即当购买茶杯个数大于34 时，优惠办法(2)合算当0.4x13.60，即x34 时，两种优惠办法一样合算 当0.4x13.60，即4x34 时，y1y2，优惠办法(1)合算本题考查的是建立一次函数模型，并应用一次函 数模型解决实际问题的能力第一种优惠办法，实际付款是4 个茶壶的钱和(x4)个
7、茶杯的钱第二种优惠办法只需将货款总数乘 以92%，而后再作差比较二者的大小即可【互动探究】1一批物资要用 11 辆汽车从甲地运到 360 千米外的乙地，批物资至少需要()A10 小时B11 小时 C12 小时D13 小时若车速为 v 千米/时，且两车的距离不能小于v102 千米，则运完这C考点2 分段函数类的实际问题 例2：某厂生产某种产品的年固定成本为250 万元，每生产 x1 450(万元)每件商品售价为 0.05 万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完(1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？千件，需
8、另投入成本为 C(x)当年产量不足 80 千件时，C(x)13x210 x(万元)当年产量不小于 80 千件时，C(x)51x10 000 x解析：(1)当 0 x80 时，L(x)0.051 000 x13x210 x25013x240 x250.当 x80 时，L(x)0.051 000 x51x10 000 x1 4502501 200 x10 000 x.所以 L(x)13x240 x250 0 x80，1 200 x10 000 xx80.所以，当产量为100 千件时，该厂在这一商品中所获利润最 大，最大利润为1 000 万元(2)当 0 x80 时，L(x)13(x60)2950.
9、此时，当 x60 时，L(x)取得最大值 L(60)950 万元当 x80 时，L(x)1 200 x10 000 x1 2002 x10 000 x1 2002001 000.此时，当 x10 000 x时，即 x100 时，L(x)取得最大值 1 000万元现实生活中有很多问题是用分段函数表示的，如出租车计费，个人所得税计算，邮政资费等等，故分段函数是刻画现实生活的重要模型本题的分段函数考查二次函数前者配方，后者利用基本不等式【互动探究】2通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保
10、持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力，x 表示提出概念和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的关系式：f(x)0.1x22.6x43 0 x10，59 10 x16，3x107 16x30.(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？(2)一个数学难题，需要 55(或以上)的接受能力，上课开始 30分钟内，求能达到该接受能力要求的时间共有多少分钟？(3)如果每隔 5 分钟测量一次学生的接受能力，再计算平均值Mf5f10f306，它能高于 45 吗？故当0 x10时，f(x)递增，最大值为：f(10)0.1(3)259.
11、959.显然，当16x30时，f(x)递减，f(x)31610759.因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力，并维持6分钟 (2)依题意，当0 x10时，令f(x)55，则(x13)249.6x10.当10 x16时，f(x)59符合要求解：(1)0 x10时，有f(x)0.1x22.6x430.1(x13)259.9.当 16x30 时，令 f(x)55，则 x1713.因此，学生达到(或超过)55 的接受能力的时间为171361113(分钟)(3)f(5)53.5，f(10)59，f(15)59，f(20)47，f(25)32，f(30)17，M53.55959473217644.6
12、45.故平均值不能高于 45.考点3 二次函数类的实际应用题例3：某市场调查发现，某种产品在投放市场的 30 天中，其销售价格 P 元和时间 t(tN)的关系如图 381 所示(1)写出销售价格 P(元)和时间 t(天)的函数解析式；(2)若日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关系是 Q t 40(0t30，tN)，求该商品的日销售金额 y(元)与时间 t(天)的函数解析式；(3)问该产品投放市场第几天时，日销售额最高，最高值为多少元？图 381解析：(1)当 0t25，tN 时，设 Patb，将(0,19)，(25,44)代入，得19b，4425ab，解得a1，b19.Pt19(0t25
13、，tN)当 25t30，tN 时，设 Patb，将(25,75)，(30,70)代入，解得a1，b100.Pt100(25t30，tN)综上所述 Pt19 0t25，tN，t100 25t30，tN.(2)依题意，有 yPQ，得 yt19t40 0t25，tN，t100t4025t30，tN，化简得 yt221t760 0t25，tN，t2140t4 000 25t30，tN.(3)yt2122870.25 0t25，tN，t702900 25t30，tN.当 0t30，函数在25,30上是减函数，因此t25 时，y 有最大值1 125 元，因为1 125870，所以在第25 天日销售额最大，
14、最大值为1 125 元二次函数是我们比较熟悉的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取一最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值在区间的端点处取得另外在实际的问题中，还要考虑自变量为整数的问题【互动探究】3某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润 y 万元与营运年数 x(xN)的关系为yx220 x36.(1)每辆客车从第几年起开始盈利？(2)每辆客车营运多少年，可使其营运的总利
15、润最大？(3)每辆客车营运多少年，可使其营运的平均利润最大？解：(1)yx220 x360，即 x220 x360.解得 2x2)(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数？为什么？(2)若 f(1)4，f(3)6，求出所选函数 f(x)的解析式；一般散户为保证个人的收益，通常考虑打算在价格下跌期间出售股票，请问他们会在哪几个年份出售？解析：(1)因为 f(x)pqx 是单调函数，f(x)logqxp 也是单调函数在 f(x)(x1)(xq)2p 中，f(x)3x2(4q2)xq22q，令 f(x)0，解得 xq，xq23.所以函数f(x)有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间
16、所以应选f(x)(x1)(xq)2p为其价格模拟函数 (2)由f(1)4，f(3)6，得p4，q4，(其中q2舍去)，所以f(x)x39x224x12(1x15，xN*)由知：f(x)3x218x2402x4，所以f(x)在区间(2,4)上单调递减 故他们会在发行的第2,3年出售解数学应用题应该注意以下几点：(1)在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时：要注意自变量的取值范围；要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，使结果符合实际问题的要求(2)在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图、建立坐标系等，使实际问题数学符号化(3)对于建立的各种数学模型，要能够识别模型，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的基本保证(4)解题的过程要注意规范书写格式，做到有问必答题意理解不准确，函数模型选用不当，是最常见的解题错误对于实际问题，其定义域除了使解析式有意义外，还要注意它的实际意义在利用函数模型求得问题的解后，要注意检验其合理性
