1、第八讲一次函数二次函数幂函数回归课本1.二次函数的性质与图象(1)函数y=ax2+bx+c(a0)叫做二次函数,它的定义域是R.24,;242,2:,a0,2222,x,;bacbbxaaabbbfabaaa 二次函数有如下性质函数的图抛物线顶点的坐标是象是抛物线的对称轴是当时 抛物线开口函一条抛物线向数在处取值在区间上是减函数 在上是上小；增函数最,2;,2220,a0,;y;,cbxabbbfaaa 当时 抛物线开口函数在处取最大值在区间上是增函数 在上是减函数与 轴的交点向是下当=b2-4ac0时,与x轴两交点的横坐标x1x2分别是方程ax2+bx+c=0(a0)的两根;当=0时,与x轴
2、切于一点当25答案:A4.已知当mR时,函数f(x)=m(x2-1)+x-a的图象和x轴恒有公共点,则实数a的取值范围_.答案:m=0时,aR;m0时,a-1,1a5.a1,1,yxRaA.1,3B.1,1C.1,3D.1,1,3231 设则使函数的定义域为 且为奇函数的所有 值为（）解析:在函数y=x-1,y=x,y=x,y=x3中,只有函数y=x和y=x3的定义域是R,且是奇函数,故a=1,3.答案:A类型一二次函数图像和性质的应用 224,:f xaxbxc(a.0)2,x24,bbacbaaa 解题准备 二次函数的图象是一条抛物线对称轴方程为顶点坐标是(1)二次函数f(x)=ax2+b
3、x+c(a0),当=b2-4ac0时,图象与x轴有两个交点(2)二次函数的图象与性质是历年高考的热点内容,今后仍是高考命题的热点,选择题填空题解答题三种题型中都有可能出现.(,),(,),|.|a11221212M x 0 Mx 0M Mxx【典例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数.分析由题目条件知二次函数过(2,-1),(-1,-1)两点,且知其最大值,所以可应用一般式顶点式或两根式解题.222421,4:,f xaxbxc,1,4,7.48a0.y4x4x7,.4abcaabcbcacba 解 解法一 利用二次函数一般式设
4、由题意得解得所求二次函数为 22222:,f xa xmn a0.f 2f1,xmy8,yf xaf 21,a42(1)11,.22218.21281,218447.2f.x4xaxxx 解法二 利用二次函数顶点式 设抛物线对称轴为又根据题意函数有最大值解得解法三:利用两根式.由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值ymax=8,即解得a=-4,或a=0(舍).所求函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.24(21)84aaaa，类型二二次函数在特定区间上的最值问题解题准备:1.
5、二次函数在闭区间上必有最大值和最小值,它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得.0002.:a0,f xp,qM,m,x1,f pm,f qM;2px,3xf pM,4q,f pM,f qm.1().22,();a022,;22,f xp,q,2pqbpabbfm f qMaabbqfmaaba二次函数在闭区间上的最值讨论 当时在区间上的最大值为最小值为令若则若 则若则若则当时在上的最大值与上述最小值讨论一致而最小值类似.上述最大值讨论3.解答此类问题往往离不开数形结合和分类讨论的数学思想,有利于培养学生综合分析问题的能力.【典例2】已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0 x1时有最
6、大值2,求a的值.分析作出函数图象,因对称轴x=a位置不定,故分类讨论对称轴位置以确定f(x)在0,1上的单调情况.解当对称轴x=a0时,如图(1)所示.当x=0时,y有最大值,ymax=f(0)=1-a.所以1-a=2,即a=-1,且满足a0时,幂函数y=x有下列性质:图象都通过点(0,0),(1,1);在第一象限内,函数值随x的增大而增大;在第一象限内,1时,图象是向下凹的;01时,图象是向上凸的;在第一象限内,过(1,1)点后,图象向右上方无限伸展.(2)当0时,幂函数y=x有下列性质:图象都通过点(1,1)在第一象限内,函数值随x的增大而减小,图象是向下凹的;在第一象限内,图象向上与y
7、轴无限地接近,向右与x轴无限地接近;在第一象限内,过(1,1)点后,|越大,图象下落的速度越快.m2 2m 3*334yx(mN)y,(0,),a1a.(32)mma【典例】已知幂函数的图象关于 轴对称 且在上是减函数、求满足的 的取值范围解函数在(0,+)上单调递减,m2-2m-30,解得-1m3.mN*,m=1,2.又函数图象关于y轴对称,m2-2m-3是偶数.而22-22-3=-3为奇数,12-21-3=-4为偶数,m=1.1311331133yx,00,x0;x0(a1a132a032aa10a1032a,0,0,)(32)23.3223|1.32a1axxaaa aa 在和上均为减函
8、数 且当时时等价于或或解得或故 的取值范围为或错源一力求先化简,不盲目用判别式法222222221y.yx1,yxyxx2,y 1 xxy20.y 10,y1,x1(),y1;y 10,y1,1 4 y 1y202y30,yR21.y|y1yR.21xxxxxx 【典例】求函数的值域错解 因为所以即当即时 由得舍去 所以当即时得 则综上得原函数的值域为且22222,y,x1,x1,y.x1,y 1 xxy20,x1,323,212322,y,.1xxxxxx剖析 事实上 当即时 解得而当时原函数没有意义 故错误的原因在于当时所以是方程的根 但它不属于原函数的定义域所以方程与方程不同解 故函数不
9、能转化为二次方程 用二次方程的理论行不通(2)(1)2(1)(1)11y?(x1),y1x1,11133.|1.20,yy21xxxxxxxxy yy 正解 原函数可化为即因为所以且故原函数的值域为且错源二忽视幂函数中幂指数=0【典例2】已知幂函数y=xn2-2n-3的图象与x,y轴都没有公共点且关于y轴对称,求整数n的值.错解因为函数y=xn2-2n-3的图象与x,y轴都没有公共点,所以n2-2n-30,解得-1n0.80.50.80.9,0.90.510.9-0.5,所以0.80.90.80.50.90.510.9-0.5.剖析错解混淆了指数函数的性质且没有比较0.80.5与0.90.5的
10、大小.正解因为y=x0.5在(0,+)上单调递增,且0.80.9,所以0.80.50.90.5.作出函数y=x0.5与y=x-0.5在第一象限内的图象,易知0.90.50.80.9.故0.80.90.80.50.90.50(a-1,1)恒成立,所以,22(1)(2)(44)0,(1)(2)(x3x1.xx3x44)0.1.gxxxgxxx 解得或故 的取值范围是或技法三构造二次函数解题2212123xx2m8 xm160 x,x3,m2xx.【典例】已知关于 的方程的两个实数根满足求实数 的取值范围22222221212yx2m8 xm16,x2m8 xm133,02233(28)160,227,217|.2260 x,xx,4m12m70,mxfmmmmm 解 构造二次函数因为方程的两个实数根满足所以即即解得故 的取值范围是
