1、课标要点 课标要点学考要求高考要求 1.函数的概念bb2.函数的定义域bb3.函数的值bb4.区间aa知识导图 学法指导 1.结合实例加深对函数概念的理解，要抓住定义中的关键字、词，认清“函数”到底指的是什么，由哪些要素组成2本节的重点是理解函数的定义，会求简单函数的定义域，难点是理解函数 yf(x)的含义，求函数的值域.知识点一 函数的概念1函数的定义设 A，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的_，在集合 B 中都有_和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作_2函数的定义域与值域函数 yf(x)中，x 叫_，_叫做函数的定义域
2、，与 x 的值相对应的 y 值叫做_，函数值的集合_叫做函数的值域显然，值域是集合 B 的_,任意一个元素 x唯一确定的元素 yyf(x)自变量x 的取值范围函数值f(x)|xA子集对函数概念的 3 点说明(1)当 A，B 为非空实数集时，符号“f：AB”表示 A 到 B的一个函数(2)集合 A 中的数具有任意性，集合 B 中的数具有唯一性(3)符号“f”它表示对应关系，在不同的函数中 f 的具体含义不一样知识点二 函数相等如果两个函数的_，并且_，就称这两个函数相等定义域相同对应关系完全一致知识点三 区间的概念1区间的几何表示定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b
3、)x|axb半开半闭区间a，b)x|aa(a，)x|xb(，bx|xb(，b)关于无穷大的 2 点说明(1)“”是一个符号，而不是一个数(2)以“”或“”为端点时，区间这一端必须是小括号 小试身手1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示()(2)数集x|x2可用区间表示为2，()(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了()(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应()(5)函数的定义域和值域一定是无限集合()2函数 f(x)x1x2 的定义域为()A(1，)B1，)C1,2)D1,2)(2，)解析：使函数 f(x)x1x2 有意
4、义，则x10，x20，即 x1，且 x2.所以函数的定义域为x|x1 且 x2故选 D.答案：D3下列各组函数表示同一函数的是()Ayx29x3 与 yx3By x21 与 yx1Cyx0(x0)与 y1(x0)Dyx1，xZ 与 yx1，xZ解析：A 中两函数定义域不同；B 中两函数值域不同；D 中两函数对应法则不同答案：C4用区间表示下列集合：(1)x12x5_；(2)x|x1 或 2x3_.解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则x|12x512，5)(2)注意到集合中的“或”对应区间中的“”，则x|x1 或20，f：xy|x|；(4)AZ，B1,1，n 为奇数时
5、，f(n)1，n 为偶数时，f(n)1.【解析】对于集合 A 中的任意一个值，在集合 B 中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系 f 是从集合 A 到集合 B 的一个函数(2)集合 A 中的元素 3 在集合 B 中没有对应元素，且集合 A 中的元素 2 在集合 B 中有两个元素(5 和 6)与之对应，故所给对应关系不是集合 A 到集合 B 的函数(3)A 中的元素 0 在 B 中没有对应元素，故所给对应关系不是集合 A 到集合 B 的函数.1.从本题(1)可以看出函数 f(x)的定义域是非空数集 A，但值域不一定是非空数集 B，也可以是集合 B 的子集2判断从集合 A 到集合 B
6、的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看 A 中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析方法归纳 (1)判断一个集合 A 到集合 B 的对应关系是不是函数关系的方法：A，B 必须都是非空数集；A 中任意一个数在 B 中必须有并且是唯一的实数和它对应注意 A 中元素无剩余，B 中元素允许有剩余(2)函数的定义中“任意一个 x”与“有唯一确定的 y”说明函数中两变量 x，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”跟踪训练 1(1)设 Mx|0 x2，Ny|0y2，给出下列四个图形，其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的有()A0 个 B1 个 C2
7、 个 D3 个(2)下列对应是否是函数？x3x，x0，xR；xy，其中 y2x，xR，yR.解析：(1)图号正误原因 x2 时，在 N 中无元素与之对应，不满足任意性同时满足任意性与唯一性x2 时，对应元素 y3N，不满足任意性x1 时，在 N 中有两个元素与之对应，不满足唯一性(2)是函数因为任取一个非零实数 x，都有唯一确定的3x与之对应，符合函数定义不是函数当 x1 时，y1，即一个非零自然数 x，对应两个 y 的值，不符合函数的概念答案：(1)B(2)是函数不是函数x0,1取不到1,2y0,3超出了 N0,2范围任取一个 x 值，y 有 2 个对应，不符合题意关键是否符合函数定义类型二
8、 求函数的定义域例 2(1)函数 f(x)x1x1 的定义域是()A1,1)B1,1)(1，)C1，)D(1，)(2)求下列函数的定义域y x21x2x6；yx10|x|x.【解析】(1)由x10，x10，解得 x1，且 x1.(2)要使函数有意义，需满足x20，x2x60，即x2，x2且x3，得 x2 且 x3.所以所求函数的定义域为(2,3)(3，)要使函数有意义，需满足x10，|x|x0，即x1，x0，所以 x0 且 x1，所以所求函数的定义域为(0,1)(1，)【答案】(1)B(2)见解析(1)依据分式的分母不为 0，二次根式的被开方数大于等于 0，列不等式组求定义域(2)依据分式的分
9、母不为 0，二次根式的被开方数大于等于 0,0的 0 次幂没有意义，列不等式组求定义域方法归纳 求函数的定义域(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：分式的分母不为 0；偶次根式的被开方数非负；yx0 要求 x0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接跟踪训练 2 求下列函数的定义域：(1)f(x)6x23x2；(2)f(x)x10|x|x；(3)f(x)2x312x1x.解析：(1)要使函
10、数有意义，只需 x23x20，即 x1 且 x2，故函数的定义域为x|x1 且 x2(2)因为 00 无意义，所以 x10，所以 x1.又|x|x0，所以 x0，x0，解得32x2，且 x0.故定义域为32，0(0,2)(1)分母不为 0(2)偶次根式被开方数0 x10底数不为0(3)偶次根式被开方数0分母不为0类型三 函数相等的判断例 3 试判断下列函数是否为同一函数(1)f(x)x2xx，g(x)x1；(2)f(x)xx，g(x)xx；(3)f(x)x2，g(x)(x1)2；(4)f(x)|x|，g(x)x2.【解析】序号是否相同原因(1)不同定义域不同，f(x)的定义域为x|x0，g(x
11、)的定义域为 R(2)不同对应关系不同，f(x)1x，g(x)x(3)不同定义域相同，对应关系不同(4)相同定义域和对应关系相同 判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可方法归纳 判断函数相等的三个步骤和两个注意点(1)判断函数是否相等的三个步骤(2)两个注意点：在化简解析式时，必须是等价变形；与用哪个字母表示无关跟踪训练 3 下列各组函数表示相等函数的是()Af(x)x2，g(x)x24x2 Bf(x)|x|x，g(x)1Cf(x)x22x1，g(t)t22t1 Df(x)12，g(x)x102解析：
12、选项 A 中 f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为x|x2，故定义域不同，因此不是相等函数；选项 B 中 f(x)的定义域为x|x0，g(x)的定义域为 R，故定义域不同，因此不是相等函数；选项 D 中 f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为x|x1，定义域不同，因此不是相等函数；而 C 只是表示变量的字母不一样，表示的函数是相等的答案：C1.看定义域2看对应关系类型四 求函数的值域例 4 求下列函数的值域(1)y34x，x(1,3;(2)y 2xx1；(3)yx24x5，x1,2,3;(4)yx24x5.【解析】(1)因为1x3，所以124x4，所以934x7，所以函数 y34x，
13、x(1,3的值域是9,7)(2)因为 y 2xx12x12x12 2x12，所以函数 y 2xx1的值域为y|yR 且 y2(3)函数的定义域为1,2,3，当 x1 时，y124152，当 x2 时，y224251，当 x3 时，y324352，所以这个函数的值域为1,2，(4)因为 yx24x5(x2)21，xR 时，(x2)211，所以这个函数的值域为1，).(1)用不等式的性质先由 x(1,3求4x 的取值范围，再求 34x 的取值范围即为所求(2)先分离常数将函数解析式变形，再求值域(3)将自变量 x1,2,3 代入解析式求值，即可得值域(4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求
14、值域方法归纳 求函数值域的常用方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到(2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域对于 f(x)axb cxd(其中 a，b，c，d 为常数，且 ac0)型的函数常用换元法(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域跟踪训练 4 求下列函数的值域：(1)y2x1，x1,2,3,4,5;(2)y x1；(3)y1x21x2；(4)yx22x3(5x2)解析：(1)将 x1,2,3,4,5 分别代入 y2x1，计算得函数的值域为3,5,7,9,11(2)因为 x0，所以 x11，即所求函数的值域为1，)(3)因为 y1x21x2121x2，所以函数的定义域为 R，因为 x211，所以 021x22.所以 y(1,1所以所求函数的值域为(1,1(4)yx22x3(x1)24.因为5x2，所以4x11.所以 1(x1)216.所以124(x1)23.所以所求函数的值域为12,3,先分离再求值域配方法求值域
