1、3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性基础过关练题组一单调性的概念及其应用 1.若函数f(x)在区间a,b上是增函数,则对于任意的x1,x2a,b(x1x2),下列结论不正确的是()A.f(x1)-f(x2)x1-x20B.(x1-x2)f(x1)-f(x2)0C.f(a)f(x1)f(x2)f(b)D.f(x1)f(x2)2.函数f(x)的图象如图所示,则()A.函数f(x)在-1,2上单调递增B.函数f(x)在-1,2上单调递减C.函数f(x)在-1,4上单调递减D.函数f(x)在2,4上单调递增3.下列说法正确的是()A.定义在(a,b)上的函数f(x),
2、若存在x1,x2(a,b),且x1x2,满足f(x1)f(x2),则f(x)在(a,b)上单调递增B.定义在(a,b)上的函数f(x),若有无穷多对x1,x2(a,b),使得x1x2时,有f(x1)f(x2),则f(x)在(a,b)上单调递增C.若f(x)在区间I1上单调递增,在区间I2上也单调递增,那么f(x)在I1I2上也一定单调递增D.若f(x)在区间I上单调递增且f(x1)f(x2)(x1,x2I),则x1x24.已知四个函数的图象如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是()题组二单调性的判定与证明5.(2021天津河东高一上期中)函数y=x2+x+2的单调递减区间是()A.-12,
3、+B.(-1,+)C.-,-12 D.(-,+)6.函数f(x)=|x2-6x+8|的单调递增区间为()A.3,+) B.(-,2),(4,+)C.(2,3),(4,+)D.(-,2,3,47.(2021北京丰台高一上期中)下列四个函数中,在区间(0,+)上单调递增的是()A. f(x)=3-xB. f(x)=x2-3xC. f(x)=-|x|D. f(x)=-1x+18.(2021江苏徐州六县高一上期中)已知函数f(x)=x+6,x0.(1)请在给定的坐标系中画出此函数的图象;(2)写出此函数的定义域、单调区间及值域(不需要写过程).9.(2021北京交大附中高一上期中)已知函数f(x)=1
4、+x21-x2.(1)求函数f(x)的定义域;(2)用函数单调性的定义证明:f(x)在(1,+)上是增函数.题组三单调性的综合应用10.已知函数y=f(x)在区间-5,5上是增函数,那么下列不等式中成立的是()A.f(4)f(-)f(3)B.f()f(4)f(3)C.f(4)f(3)f()D.f(-3)f(-)f(-4)11.已知函数f(x)在R上为增函数,且f(2m)f(-m+9),则实数m的取值范围是()A.(-,-3) B.(0,+)C.(3,+) D.(-,-3)(3,+)12.已知f(x)=(3a-1)x+4a,x0,B=x|f(x)=0,C=x|f(x)0,分别指出2,3,4是 A
5、,B,C中哪个集合的元素;(2)若aR,x1,x2a,+),当x1x2时,都有f(x1)0,求函数f(x)的定义域;(2)若f(x)在区间(0,1上是减函数,求实数a的取值范围.能力提升练题组一单调性的判定与证明 1.(2021北京一零一中学高一上期中,)下列函数中,在区间(1,+)上为增函数的是()A.y=-3x-1 B.y=2xC.y=x2-4x+5D.y=|x-1|+22.()函数y=x2+3x的单调递减区间为()A.-,32B.-32,+C.0,+)D.(-,-33.(2020江西临川一中高一上月考,)已知函数f(x)=1-x2+x+2,则f(2-x)的单调递增区间为()A.12,+
6、B.12,2C.-1,12 D.32,34.(多选)(2020河南省实验中学高一上期中,)定义x为不大于x的最大整数,对于函数f(x)=x-x有以下四个结论,其中正确的是()A.f(2 019.67)=0.67B.在每一个区间k,k+1)(kZ)上,函数f(x)都是增函数C.f -157是R上的增函数,则实数a的取值范围是.9.(2021北京一零一中学高一上期中,)函数f(x)=x2,xt,x,0x0)是区间(0,+)上的增函数,则t的取值范围是.10.(2020湖南张家界高一上期末,)函数f(x)的定义域为D,若对任意的x1,x2D,当x11时, f(x)0.(1)求证: fmn=f(m)-
7、f(n);(2)讨论函数f(x)的单调性,并说明理由;(3)若f(2)=1,解不等式f(x+3)-f(3x)3.答案全解全析基础过关练1.C由函数的单调性定义知,若函数f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B,D中结论都正确.由于x1,x2大小不确定,故选项C中结论不正确.2.A由题图可知,函数f(x)在-1,2上是“上升”的,则f(x)在-1,2上是单调递增的.故选A.3.D根据函数单调性的定义和性质来判断,A、B项中的“存在”“有无穷多”与定义中的“任意”不符,C项中也不能确定对任意x1x2,x1,x2(I1I2),都有f(x1)f(1
8、),故A不符合题意;对于C,函数分别在(-,1)及(1,+)上单调递增,但存在x11,使f(x1)f(1),故C不符合题意;对于D,函数分别在(-,0)及(0,+)上单调递减,但存在x1=-1,x2=1,使f(x1)f(x2),故D不符合题意;只有B符合增函数的定义,具有单调性,故选B.5.C函数y=x2+x+2的图象是开口向上,且以直线x=-12为对称轴的抛物线,故函数y=x2+x+2的单调递减区间是-,-12,故选C.6.C作出函数f(x)=|x2-6x+8|的图象,如图所示.由图象得,函数f(x)=|x2-6x+8|的单调递增区间为(2,3)和(4,+),故选C.7.D对于A, f(x)
9、=3-x为一次函数,在区间(0,+)上单调递减,不符合题意;对于B, f(x)=x2-3x为二次函数,在区间0,32上单调递减,不符合题意;对于C, f(x)=-|x|=-x,x0,x,x0在区间(0,+)上单调递减,不符合题意;对于D, f(x)=-1x+1在区间(0,+)上单调递增,符合题意.故选D.8.解析(1)函数f(x)的图象如图所示:(2)函数f(x)的定义域为R,单调递增区间为(-,-3)和(-1,0),单调递减区间为(-3,-1)和(0,+),值域为R.9.解析(1)由1-x20,得x1,即f(x)的定义域为x|xR,且x1.(2)证明: f(x)=1+x21-x2=2-(1-
10、x2)1-x2=21-x2-1.任取x1,x2(1,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=21-x12-1-21-x22+1=2(x1-x2)(x1+x2)(1-x1)(1-x2)(1+x1)(1+x2).1x1x2,x1-x20,1-x20,1-x10,1+x10,x2+x10,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f()f(3)f(-3)f(-)f(-4),故选D.11.C因为函数f(x)在R上为增函数,且f(2m)f(-m+9),所以2m-m+9,解得m3.故选C.12.C要使f(x)在R上为减函数,必须同时满足3个条件:g(x)=(3a-1)x+4a在(-,1)上为减函数;h(x
11、)=-x+1在1,+)上为减函数;g(1)h(1).所以3a-10,(3a-1)1+4a-1+1,解得17a13.13.答案(1)-1(2)-,-32解析(1)f(x)=x2+2(a-2)x+2的单调递增区间为2-a,+),2-a=3,a=-1.(2)函数y=x2+(2a-1)x+1的图象开口向上,对称轴方程为x=-2a-12,且函数在区间(-,2上是减函数,2-2a-12,解得a-32.易错警示注意函数在某区间是增(减)函数与函数的单调增(减)区间为某区间的区别,正确理解函数的单调性是解题关键.14.解析(1)由f(x)=x2-2x-3,得f(2)=22-22-3=-30,4A.故2C,3B
12、,4A.(2)f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,f(x)在(-,1上单调递减,在1,+)上单调递增.由aR,x1,x2a,+),当x1x2时,都有f(x1)0且a1时,由3-ax0得x3a,即函数f(x)的定义域为-,3a.(2)当a-10,即a1时,要使f(x)在(0,1上是减函数,则需3-a10,此时1a3.当a-10,即a0,且3-a00,此时a1时,y=x+1,函数在(1,+)上单调递增,故D正确.故选D.2.D由x2+3x0,得x-3或x0,即函数y=x2+3x的定义域为(-,-30,+),又二次函数t=x2+3x图象的对称轴方程为x=-32,所以函数t=x2+3x(x(-
13、,-30,+)在区间(-,-3上单调递减,在区间0,+)上单调递增,又函数y=t(t0)为增函数,所以函数y=x2+3x的单调递减区间为(-,-3.3.D因为f(x)=1-x2+x+2,所以f(2-x)=1-(2-x)2+(2-x)+2=1-x2+3x,由-x2+3x0,得0x3,所以y=f(2-x)的定义域为(0,3).又t=-x2+3x=-x-322+94(0x0)为减函数,所以函数y=f(2-x)的单调递增区间为32,3.故选D.4.ABD在A中, f(2 019.67)=2 019.67-2 019=0.67,故选项A正确;在B中,任取xk,k+1),则x=k+t,0t15,故选项C错
14、误;在D中,显然f(x)的定义域为R,任取xk,k+1)(kZ),则f(x)=x-k0,1),故选项D正确.故选ABD.5.解析(1)当a=-2时,f(x)=2x-2x,令f(x)=2x-2x=0,解得x=1,所以满足f(x)=0的x的集合为-1,1.(2)证明:当a=4时,f(x)=2x+4x,任取x1,x2(2,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=2x1+4x1-2x2+4x2=2(x1-x2)+41x1-1x2=2(x1-x2)+4x2-x1x1x2=2(x1-x2)1-2x1x2,2x1x2,x1-x24,01x1x214,02x1x20,f(x1)-f(x2)0,f(x1)f
15、(x2).f(x)在(2,+)上单调递增.6.Bf(x)=ax+1x+2=a(x+2)-2a+1x+2=a+1-2ax+2,依题意有1-2a12.故选B.7.D二次函数f(x)在(-,4上为减函数,a0,1-aa4,07是R上的增函数,7-a0,a+927,(7-a)7-372-7(a+9)+15a,解得4a5.实数a的取值范围是4,5.故答案为4,5.易错警示研究分段函数的单调性,不仅要分别研究每段函数的单调性,还要考虑在分段点处的函数值.9.答案1,+)解析由题意可得t2t,t0,解得t1.故答案为1,+).10.答案12;14解析f(0)=0, f(x)+f(1-x)=1,f(0)+f(
16、1-0)=1,即f(1)=1.又fx3=12f(x),f13=12f(1)=12.在f(x)+f(1-x)=1中,令x=12,得2f12=1,f12=12.在fx3=12f(x)中,令x=12,得f16=12f12=14;令x=13,得f19=12f13=14.f(x)在0,1上是非减函数,f19f18f16,即14f1814,因此f18=14.故f13=12,f18=14.11.解析(1)证明:由m=mnn,可得f(m)=fmnn=fmn+f(n),fmn=f(m)-f(n).(2)任取x1,x2(0,+),且x11.由(1)及已知可得f(x2)-f(x1)=fx2x10,即f(x2)f(x1).f(x)在(0,+)上单调递增.(3)由f(2)=1,可得f(4)=f(2)+f(2)=2,令m=4,n=2,则f(8)=f(4)+f(2)=3,不等式f(x+3)-f(3x)3,即f(x+3)-f(3x)f(8),即fx+33xf(8).由(2)可知f(x)在定义域内单调递增,3x0,x+30,x+33x8,解得0x3的解集为x|0x323.解题模板解决抽象函数问题的关键是“赋值”,即在已知的等式(或不等式)中取特定的未知数的值,而“赋值”要根据结论(目标)选择应赋的值,平时学习中要积累“赋值”的经验.
