1、理科数学试卷一、选择题： 1.已知集合AxZ|x210，Bx|x2x20，则AB（ ）A. B. 2C. 0D. 1【答案】D【解析】【分析】试题分析：由题意，AxZ|1x11，0，1Bx|（x2）（x1）01，2所以，AB1，选D考点：集合的运算，一元二次方程与一元二次不等式【详解】请在此输入详解！2.下列说法中正确的是（ ）A. 命题“，”的否定是“，1”B. 命题“，”的否定是“，1”C. 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”D. 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”【答案】B【解析】【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题判断A、B选项，利用逆否命题的定义判断C、D选项可得答案.【详解
2、】解：命题“，”的否定是“，1”，故A不正确，B正确；命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，.故C、D选项错误；故选：B.【点睛】本题主要考查命题的否定与逆否命题的相关知识及命题真假的判断，属于基础题型.3.设各项均不为0的数列an满足（n1），Sn是其前n项和，若，则S4=（ ）A. 4B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由可得数列an为等比数列，且公比，由可得，可得的值.【详解】解：由数列an满足（n1），可得数列an为等比数列，且公比，由，可得，化简可得，或(舍去)，可得，可得,故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列的定义与基本量的计算、等比数列前n项的和，属于基础题型.4.如图
3、，正六边形ABCDEF的边长为1，则=（ ）A. B. C. 3D. -3【答案】D【解析】【分析】直接利用向量的数量积公式求解即可.【详解】正六边形ABCDEF的边长为1，则,，.故选：D【点睛】本题考查了向量数量积的定义，解题的关键是求出向量的模以及向量的夹角，并且熟记向量数量积的定义，属于基础题.5.，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，利用二倍角的余弦公式求得的值【详解】由题意可得， ，故选C【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查6.已知x，y满足则2x-y的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据
4、约束条件画出可行域，然后分析平面区域内的各个点，然后将其代入2x-y中，求出2x-y的最大值即可.【详解】设，则，作出不等式对应的平面区域如图，平移直线，由图像可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最大，把代入直线得，所以的最大值为.故选：B【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出约束条件的可行域以及目标函数表示的几何意义，属于基础题.7.已知x，则“x”是“sin（sinx）cos（cosx）成立”的（ ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：当x时，sinxcosx所以0sinxcosx于是sin（sin
5、x）sin（cosx）cos（cosx），充分性成立.取x，有sin（sinx）sin（）sin0cos（cosx）cos（）cos0所以sin（sinx）cos（cosx）也成立，必要性不成立故选C考点：三角函数的性质，充要条件8.是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，记，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】构造函数，可得在的单调性，可得答案.【详解】解:令，可得，由时，可得，在上单调递减，又，可得，故，故，故选：C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及利用函数单调性比较数值大小，属于基础题.9.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范
6、围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题首先可以求出函数关于轴对称的函数的解析式，然后根据题意得出函数与函数的图像至少有3个交点，最后根据图像计算得出结果【详解】若，则，因为时，所以，所以若关于轴对称，则有，即，设，画出函数的图像，结合函数单调性和函数图像的凹凸性可知对数函数与三角函数在点处相交为临界情况，即要使与的图像至少有3个交点，需要且满足，即，解得，故选D【点睛】本题考查的是函数的对称性、对数函数以及三角函数的相关性质，主要考查如何根据函数对称性来求出函数解析式，考查学生对对数函数以及三角函数的图像的理解，考查推理能力，考查数形结合思想，是难题10.已知R，且对
7、xR恒成立，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得，可得，设，对其求导可得最小值的表示式，令，对其求导，可得的最大值.【详解】解：由对xR恒成立，若，函数单调递减，不符合题意，故；故，若，则，若，则，设函数，可得，令，可得：，当，单调递减；当，单调递增；可得，设，可得，令，可得：，当，单调递增；当，单调递减；可得，即的最大值为，此时：，故选：A.【点睛】本题主要考查函数的单调性及利用导数求函数的最值，渗透了分类讨论的思想和构造函数的思想，属于难题.二、填空题： 11.若，则_.【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系，分子、分母同除以即可求解.
8、【详解】将原式分子、分母同除以故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、齐次式，属于基础题.12.已知向量，若向量与向量共线，则实数=_【答案】-1【解析】【分析】由向量，可得，由向量与向量共线，列出关于的方程，可得答案.【详解】解:由向量，可得：，由向量与向量共线，可得：，解得：，故答案为：.【点睛】本题主要考查平面共线向量的性质，属于基础题型.13.某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本C与产量q（qN*）的函数关系式为C1004q，销售单价p与产量q的函数关系式为要使每件产品的平均利润最大，则产量q等于_【答案】40【解析】试题分析：每件产品的利润y25q29（）292
9、24当且仅当且q0，即q40时取等号.考点：基本不等式，函数在现实生活中的应用14.若，则_【答案】3021【解析】【分析】由可得，从而可得结果.【详解】，故答案为.【点睛】本题主要考查函数的解析式，意在考查转化与划归思想的应用，以及灵活应用所学知识解决问题的能力，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中15.定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点例如y=| x |是上
10、的“平均值函数”，0就是它的均值点给出以下命题：函数是上的“平均值函数” 若是上的“平均值函数”，则它的均值点x0若函数是上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是若是区间a.，b （ba.1）上的“平均值函数”，是它的一个均值点，则其中的真命题有_（写出所有真命题的序号）【答案】【解析】【分析】直接利用定义判断的正误；利用反例判断的正误；利用定义推出m的范围判断的正误；利用分析法直接证明，结合导数可证明的正误.【详解】解：由，可得由，可得满足“平均值函数”，故正确；举反例，令，可得，又，故错误； 由函数是上的“平均值函数”，所以关于的方程：在区间内有实数根，由，可得，可得，或，又，故必为均值点
11、，即，可得，故 正确；由题意得：，要证明，即证明：，令，原式子等价于：，令，可得，故在区间是减函数，故，故正确；故答案为：.【点睛】本题主要考查新定义的应用，函数的导数及分析法的应用，考查分析问题解决问题的能力.三、解答题： 16.已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），其中0，函数2-1的最小正周期为（） 求的值；（） 求函数在，上的最大值【答案】（）（）【解析】【分析】（）由2-1，求出的表达式，化简，由其最小正周期为，可得的值；（）由（）得出的表达式，可得其单调区间，结合，可得函数的最大值.【详解】（）2-1=由题意知：，即，解得（） 由（）知， x，得，又函数y=s
12、inx在，上是减函数， =【点睛】本题主要考查向量的数量积、三角函数周期性，单调性等知识，属于基本知识的考查，属于基础题.17.已知函数的定义域为D.（1）求D；（2）若函数在D上存在最小值2，求实数m的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用函数定义域的求法，求得.（2）根据的开口方向，结合对称轴与的位置关系进行分类讨论，由最小值为列方程，解方程求得的值.【详解】（1）依题意，解得.（2）函数开口向上，对称轴为.当时，在上递增，最小值为，解得.当时，在上最小值为，不符合题意.当时，在上递减，但在处没有定义，故没有最小值，不符合题意.综上所述，.【点睛】本小题主要考查函数定义域的
13、求法，考查二次函数最值有关问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.18.在A.BC中，A.，b，c分别是内角A.，B，C的对边，（） 若，求的值；（） 若是边中点，且，求边的长【答案】（）（）【解析】【分析】（）直接利用余弦定理求出的值，然后利用正弦定理可得的值；（）以为邻边作如图所示的平行四边形,在BCE中，由余弦定理可得的值，在中，由余弦定理可得的长.【详解】解：（） ，由余弦定理：=52+22-252=25， 由正弦定理：，得（） 以为邻边作如图所示的平行四边形，如图，则，BE=2BD=7，CE=A.B=5，在BCE中，由余弦定理： 即，解得：ABC中，即【点睛】本题主要考查
14、利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中档题.19.记公差不为0的等差数列的前项和为，成等比数列（） 求数列的通项公式及；（） 若，n=1，2，3，问是否存在实数，使得数列为单调递减数列？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】（），（）存在，【解析】【分析】（）由，成等比数列，列出关于的方程组，求出的值，可得数列的通项公式及；（）数列为单调递减数列，可得，即，分离出求出的最大值，可得答案.【详解】解：() 由,可得： ， 解得：故： () 由题知 若使为单调递减数列，则：，对一切恒成立， 即： 又当或，故：【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的相关知识，注意灵活运
15、用其性质解题.20.已知函数f（x）exax1（e为自然对数的底数），a0（1）若函数f（x）恰有一个零点，证明：aaea1；（2）若f（x）0对任意xR恒成立，求实数a的取值集合【答案】（1）见解析；（2）1.【解析】试题分析：（1）先判断f（x）的单调性，根据“f（x）前有一个零点”，找到关于a的等式，化简整理可得需证结论；（2）根据（1），只需f（x）的最小值不小于0即可.试题解析：（1）证明： 由，得由0，即0，解得xlna，同理由0解得xlna， f（x）在（，lna）上是减函数，在（lna，）上是增函数，于是f（x）在xlna取得最小值又 函数f（x）恰有一个零点，则，即化简得：，
16、（2）解：由（1）知，在取得最小值，由题意得0，即0，令，则，由可得0a1，由可得a1 h（a）在（0，1）上单调递增，在（1，）上单调递减，即， 当0a1或a1时，h（a）0， 要使得f（x）0对任意xR恒成立，a1 a的取值集合为1 考点：导数，函数的零点，恒成立问题21.已知函数（为常数， 是自然对数的底数），曲线在点处的切线方程是.（1）求的值；（2）求的单调区间；（3）设（其中为的导函数）证明：对任意， 【答案】（1）;（2）单调递增区间是，单调递减区间是;（3）见解析.【解析】【试题分析】（1）依据题设导数的几何意义建立方程分析求解；（2）依据导数与函数的单调性之间的关系分析求解；
17、（3）先将不等式进行等价转化，再借助导数分析推证：（1）由得.由已知得，解得.又，即，.（2）由（1）得，令，当时，；当时，又当时，；当时，的单调递增区间是，的单调递减区间是（3）由已知有，于是对任意等价于，由（2）知，易得，当时，即单调递增；当时，即单调递减.的最大值为，故.设则，因此，当，单调递增，故当时，即.对任意点睛：导数是研究函数的单调性、几何意义以极值（最值）等方面的综合运用的重要工具解答本题的第一问时先依据导数的几何意义，建立方程，通过解方程使得问题获解；解答第二问时，通过对函数求导借助导数与函数的单调性之间的关系求出单调区间使得问题获解；解答第三问时，充分借助题设中的条件，先将不等式进行等价转化，再借助导数知识分析推证，从而使得问题获解
