1、课时规范练 23 正弦、余弦定理与解三角形 基础巩固组1.ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a=,b=2,A=60,则 c=()A.B.1C.D.22.若ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 bsin 2A=asin B,且 c=2b,则 =()A.B.C.D.3.在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 ,(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则ABC 的形状为()A.直角三角形B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.钝角三角形4.在ABC 中,B=,BC 边上的高等于 BC,则 cos A=()A.B.C.-D.-5.在AB
2、C 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos A+acos B=c2,a=b=2,则ABC 的周长为()A.7.5B.7C.6D.56.(多选)在ABC 中,给出下列 4 个命题,其中正确的命题是()A.若 AB,则 sin Asin BB.若 sin Asin B,则 AB,则 D.若 Acos2B7.如图所示,长为 3.5 m 的木棒 AB 斜靠在石堤旁,木棒的一端 A 在离堤足 C 处 1.4 m 的地面上,另一端B 在离堤足 C 处 2.8 m 的石堤上,石堤的倾斜角为,则坡度值 tan=.8.已知岛 A 南偏西 38方向,距岛 A 3 n mile 的 B 处有一艘缉
3、私艇.岛 A 处的一艘走私船正以 10 n mile/h的速度向岛北偏西 22方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用 0.5 h 能截住该走私船?参考数据:sin 38=,sin 22=综合提升组9.在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 acos C,bcos B,ccos A 成等差数列,若ABC 外接圆的半径为 1,则 b=()A.B.2C.D.10.(多选)在ABC 中,D 在线段 AB 上,且 AD=5,BD=3,若 CB=2CD,cosCDB=-,则()A.sinCDB=B.ABC 的面积为 8C.ABC 的周长为 8+4 D.ABC 为钝角三角形
4、11.在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 b=2,c=3,tan A=2tan B,则 cos A=,ABC的面积为 .创新应用组12.如图,在三棱锥 P-ABC 的平面展开图中,AC=1,AB=AD=,ABAC,ABAD,CAE=30,则 cosFCB=.参考答案 课时规范练 23 正弦、余弦定理与解三角形1.B 由已知及余弦定理,得 3=4+c2-22c ,整理得 c2-2c+1=0,解得 c=1.故选 B.2.D bsin2A=asinB,则 sinB2sinAcosA=sinAsinB,因为 sinAsinB0,故 cosA=,且 A(0,),故 A=由c=2b
5、,得 sinC=2sinB=2sin -C,化简整理得到 cosC=0,且 C(0,),故 C=,B=故选 D.3.C 因为 ,所以 ,所以 b=c.又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,所以 b2+c2-a2=bc,所以cosA=-因为 A(0,),所以 A=,所以ABC 是等边三角形.4.C 如图,设 BC 边上的高为 AD,则 BC=3AD.结合题意知 BD=AD,DC=2AD,所以 AC=AD,AB=AD.由余弦定理,得 cosA=-=-,故选 C.5.D bcosA+acosB=c2,a=b=2,由余弦定理可得 b -+a -=c2,整理可得 2c2=2c3,解得 c=1,则ABC
6、 的周长为 a+b+c=2+2+1=5.故选 D.6.ABD 若 AB,则 ab,由正弦定理得 2RsinA2RsinB,所以 sinAsinB,故 A 正确;同理 B 正确;当A=120,B=30时,0,故 C 错误;若 AB,则 sinAsinB,sin2Asin2B,即 1-cos2Acos2B,故 D 正确.故选 ABD.7 在ABC 中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,且+ACB=.由余弦定理,可得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即 3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(-),解得 cos=,则 sin=,所以 tan=8.解设缉私艇在
7、 C 处截住走私船,D 为岛 A 正南方向上的一点,缉私艇的速度为 xnmile/h,则BC=0.5xnmile,AC=5nmile,依题意,BAC=180-38-22=120,由余弦定理可得 BC2=AB2+AC2-2ABACcos120,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得 x=14.又由正弦定理得 sinABC=,所以ABC=38.又BAD=38,所以 BCAD.故缉私艇以 14nmile/h 的速度向正北方向行驶,恰好用 0.5h 截住该走私船.9.C 由题意,得 2bcosB=acosC+ccosA,由正弦定理,得 2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,即2s
8、inBcosB=sin(A+C)=sinB,故 cosB=,则 B=又ABC 外接圆的半径为 1,则 b=2rsinB=故选 C.10.BCD 因为 cosCDB=-,所以 sinCDB=-,故 A 错误;设 CD=a,则 BC=2a,在BCD 中,BC2=CD2+BD2-2CDBDcosCDB,解得 a=,所以 SDBC=BDCDsinCDB=3 =3,所以 SABC=SDBC=8,故 B 正确;因为ADC=-CDB,所以 cosADC=cos(-CDB)=-cosCDB=,在ADC 中,AC2=AD2+CD2-2ADDCcosADC,解得 AC=2,故ABC 的周长=AB+AC+BC=3+5+2+2=8+4,故 C 正确;因为 AB=8 为最大边,所以 cosC=-=-0,即C 为钝角,所以ABC 为钝角三角形,故 D 正确.故选 BCD.11 由正弦定理得 =将 tanB=tanA 代入上式得 cosA=,故 sinA=所以 SABC=bcsinA=23 12.-由题意得 BD=AB=,BC=2.D,E,F 重合于一点 P,AE=AD=,BF=BD=,在ACE 中,由余弦定理,得 CE2=AC2+AE2-2ACAEcosCAE=12+()2-21 cos30=1,CE=CF=1.在BCF 中,由余弦定理,得cosFCB=-=-
