1、简谐运动的周期性和对称性(1)周期性做简谐运动的物体在完成一次全振动后，再次振动时则是重复上一个振动的形式，所以简谐运动具有周期性，因此在处理实际问题时，要注意多解的可能性。(2)对称性简谐运动过程具有对称性，关于平衡位置对称的两位置上速度、加速度、回复力、位移、动能、势能的大小均相等，且由某点到平衡位置和由平衡位置到该点或对称点的时间相等，由某点到最大位移处和由最大位移处回到该点的时间相等。1如图11所示，一个质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A和B两点，历时2 s。质点通过B点后再经过1 s第二次通过B点，在这3 s内，质点通过的总路程为18 cm。则质点振动的周期和振幅分别是多少？
2、图11解析：由于质点先后以相同的速度依次通过A和B两点，历时2 s，则A和B两点关于平衡位置对称，AO和OB所用时间都为1 s。质点通过B点后再经过1 s第二次通过B点，同样由对称性知Bb所用时间为0.5 s，则1.5 s，所以周期T6 s。在题中所述的3 s内，质点通过的总路程为18 cm，正好等于从a到b的距离，则2A18 cm，即A9 cm。答案：T6 sA9 cm简谐运动图像的应用1从振动图像中可得到的信息：(1)可直接读取振子在某一时刻相对于平衡位置的位移大小。(2)从振动图像上可直接读出振幅：正(负)位移的最大值。(3)从振动图像上可直接读出周期。(4)可判断某一时刻振动物体的速度
3、方向和加速度方向，以及它们的大小变化趋势。2简谐运动图像与力学知识结合可以解决运动和力的问题。2如图12所示为甲、乙两等质量的质点做简谐运动的图像，以下说法正确的是()图12A甲、乙的振幅分别为2 m和1 mB甲振动的频率比乙的高C23 s内，甲、乙的加速度方向均沿负方向Dt2 s时，甲的加速度和乙的速度都达到各自的最大值解析：通过图像可得T甲4 s，A甲2 cm，T乙8 s，A乙1 cm，故A选项错误，B选项正确；在23 s内甲的位移为负，加速度与位移反向沿正方向，C错；t2 s时，甲处在平衡位置，速度最大，而乙在正向最大位移处，加速度达到最大，D错误。答案：B单摆的周期公式及应用单摆在小角
4、度(5)振动时可看做简谐运动，除考查简谐运动的一般规律外，单摆的周期公式及特点、应用在近几年的高考中也频频出现，值得重视：(1)单摆的周期T2，与振幅、质量无关，只取决于摆长l和重力加速度g。(2)单摆的回复力由摆球重力沿圆弧切线方向的分力提供。在平衡位置，回复力为零，合力沿半径方向提供向心力；在最高点，向心力为零，回复力最大。(3)利用单摆测重力加速度原理：由单摆的周期公式可得g，因此通过测定单摆的周期和摆长，便可测出重力加速度g的值。3(上海高考)某小组在做“用单摆测定重力加速度”实验后，为进一步探究，将单摆的轻质细线改为刚性重杆。通过查资料得知，这样做成的“复摆”做简谐运动的周期T2，式
5、中Ic为由该摆决定的常量，m为摆的质量，g为重力加速度，r为转轴到重心C的距离。如图13(a)，实验时在杆上不同位置打上多个小孔，将其中一个小孔穿在光滑水平轴O上，使杆做简谐运动，测量并记录r和相应的运动周期T；然后将不同位置的孔穿在轴上重复实验，实验数据见表，并测得摆的质量m0.50 kg。图13r/m0.450.400.350.300.250.20T/s2.112.142.202.302.432.64(1)由实验数据得出图(b)所示的拟合直线，图中纵轴表示_。(2)Ic的国际单位为_，由拟合直线得到Ic的值为_(保留到小数点后二位)；(3)若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值_。(选
6、填：“偏大”、“偏小”或“不变”)解析：(1)根据复摆的周期公式：T2T2r，题图中纵坐标表示T2r。(2)根据关系式，利用单位关系可知Ic的国际单位为kgm2；根据图线可得斜率3.68，而截距1.25，解得Ic0.17。(3)本实验数据处理是通过图线的斜率分析出的，与质量无关，所以质量变化后，重力加速度的测量值不变。答案：(1)T2r(2)kgm20.17(3)不变(时间：60分钟满分：100分)一、选择题(共8小题，每小题6分，共48分，每小题只有一个选项正确。)1关于做简谐运动的物体完成一次全振动的意义有以下说法，其中正确的是()A回复力第一次恢复原来的大小和方向所经历的过程B速度第一次
7、恢复原来的大小和方向所经历的过程C动能或势能第一次恢复原来的大小和方向所经历的过程D速度和加速度第一次同时恢复原来的大小和方向所经历的过程解析：选D做简谐运动的物体，只有以相同的速度相继通过同一位置，所经历的过程才为一次全振动，故D正确，A、B、C错误。2某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x Asin t，则质点()A第1 s末与第4 s末的位移相同B第1 s末与第3 s末的速度相同C. 3 5 s末的位移方向都相同D3 5 s末的速度方向都相同解析：选D由xAsin t知，周期T8 s。第1 s、第3 s、第5 s间分别相差2 s，就是 个周期。根据简谐运动图像中的对称性可知D项正
8、确。3要增加单摆在单位时间内的摆动次数，可采取的方法是()A增大摆球的质量B缩短摆长C减小摆动的角度 D升高气温解析：选B由单摆的周期公式T2可知，周期只与l、g有关，而与质量、摆动的幅度无关，当l增大时，周期增大；g增大时，周期减小；l减小时，周期减小，频率增大。所以选B。4. (重庆高考)装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图1所示。将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动。若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图2中可能正确的是()图1图2解析：选D装有砂粒的试管受到重力和浮力作用，竖直提起少许时，浮力小于重力，合力向下。试管释放时，试管处于
9、最高点(正方向最大位移处)，将在合力作用下向下(负方向)做加速运动，之后试管将做简谐运动，故试管的振动图像中0时刻位移为正方向最大值，只有选项D正确。5.如图3所示，光滑轨道的半径为2 m，C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点相距分别为6 cm与2 cm，a、b两小球分别从A、B两点由静止同时放开，则两小球相碰的位置是()图3AC点 BC点右侧CC点左侧 D不能确定解析：选Aa、b两球均做简谐运动(单摆)，且周期相同，两球从A、B两点放手后运动到C点所用时间均为T，所以两球在C点相碰，A项正确。6弹簧的劲度系数为20 N/cm的水平弹簧振子，它的振动图像如图4所示，在图中A点对应的时刻()图
10、4A振子所受的回复力大小为0.5 N，方向指向负方向B振子的速度方向指向正方向CA点对应的时刻为3.75 sD加速度正在变小解析：选B振子在A点时所受回复力方向为负方向，大小为Fkx200.25 N5 N，故A错误；此时振子向正方向运动，B正确；振子的位移表达式为xAcos t，T2 s，x0.5A时，t2k，A点对应的时刻为t3.67 s，故C错误；此时振子的位移增大，加速度增大，故D错误。7一个质点做简谐运动的图像如图5所示，下列叙述正确的是()图5A质点振动频率为4 HzB在前10 s内质点经过的路程是10 cmC在5 s末，质点速度为零，加速度最大Dt1.5 s和t4.5 s两时刻质点
11、的速度相同，加速度相同解析：选C质点的振动周期为4 s，频率为0.25 Hz，A错；前10 s为2.5T，所以路程为10A20 cm，B错误；5 s末，质点位移最大，加速度最大，速度为零，C正确；t1.5 s和t4.5 s两时刻，质点的加速度相同，而速度大小相等、方向相反，D错。8一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，如图6所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动。匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动。把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期。若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动图线如图7甲所示。当把手以某一速度匀速转
12、动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图线如图乙所示。图6图7若用T0表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，Y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅，则()A由图线可知T06 sB由图线可知T08 sC当T在4 s附近时，Y显著增大；当T比4 s小得多或大得多时，Y很小D当T在8 s附近时，Y显著增大；当T比8 s小得多或大得多时，Y很小解析：选C该题是考查机械振动图像和共振现象的题目。细读图中所给情景，可知：图甲是描述弹簧振子在不受驱动力的情况下振动情况的图像，此时的振动周期是该弹簧振子的固有周期，从图中可直接读出固有周期为4 s，A、B错；当驱动力的频率与固有频率相近时，发生共振，振幅显著
13、增大，所以当曲杆的转动周期与弹簧振子的固有周期4 s接近的时候，振幅Y显著增大，其他情况下Y很小，C对，D错。二、非选择题(共4小题，共52分。解答题应写出必要的文字说明、方程式和演算步骤，有数值计算的要注明单位)9(12分)某同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，先测得摆线长为78.50 cm，摆球直径为2.00 cm，然后将一个力电传感器接到计算机上，实验中测量快速变化的力，悬线上拉力F的大小随时间t的变化曲线如图8所示。图8(1)该摆的摆长为_ cm；(2)该摆的摆动周期为_ s；(3)测得当地重力加速度g的值为_ m/s2；(4)如果测得g值偏小，可能原因是_。A测摆线长时摆线拉得
14、过紧B摆线上端点悬点未固定好，摆动中出现松动C计算摆长时，忘记了加小球半径D读单摆周期时，读数偏大解析：(1)摆长摆线长小球半径78.50 cm1.00 cm79.50 cm(2)由Ft变化图线可知，T1.8 s。(3)由单摆的周期公式T2得：g cm/s29.68 m/s2(4)由g可知，g值偏小的可能原因是：l的测量值偏小，B、C正确，A错误；也可能是T值偏大，D正确。答案：(1)79.50(2)1.8(3)9.68(4)B、C、D10(12分)(天津高考)某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素。(1)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮
15、夹紧，如图9所示。这样做的目的是_(填字母代号)。图9A保证摆动过程中摆长不变B可使周期测量得更加准确C需要改变摆长时便于调节D保证摆球在同一竖直平面内摆动(2)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L0.999 0 m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图10所示，则摆球的直径为_ mm，单摆摆长为_m。图10(3)下列振动图像真实地描述了对摆长约为1 m的单摆进行周期测量的四种操作过程，图中横坐标原点表示计时开始，A、B、C均为30次全振动的图像，已知sin 50.087，sin 150.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是_(填字母代号)。
16、图11解析：(1)用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线的目的是保证摆动过程中摆长不变，需要改变摆长时便于调节，选项A、C正确。(2)根据游标卡尺读数规则，摆球直径为12.0 mm，单摆摆长为Ld/20.999 0 m0.006 0 m0.993 0 m。(3)单摆测量周期，必须从平衡位置开始计时，且摆角小于10，所以合乎实验要求且误差最小的是A。答案：(1)AC(2)12.00.993 0(3)A11(12分)如图12所示为一质点做简谐运动的图像。图12(1)求振幅、周期和频率。(2)何时速度最大？(3)写出此振动质点的运动表达式。解析：(1)由题图知，A2 cm，T2 s，f0.5 Hz。(2)质点
17、位移为零时，速度最大，即t0,1 s,2 s,3 s时，速度最大。(3)质点振动表达式为xAsin t代入xt图像的数据得：x2sin t (cm)。答案：(1)2 cm2 s0.5 Hz(2)见解析(3)x2sin t (cm)12(16分)如图13所示为一单摆及其振动图像，由图回答：图13(1)单摆的振幅、频率、摆长分别是多少？(2)若从E指向G为正方向，为最大摆角，则振动图像中O、A、B、C分别对应单摆中的哪些点？一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是哪段？势能增加且速度为正的时间范围是哪段？(3)若单摆摆球在最大位移处摆线断了，此后摆球做什么运动？若摆球过平衡位置时摆线断
18、了，摆球又做什么运动？解析：(1)由振动图像的纵坐标可直接读取振幅为3 cm，从横坐标可直接读取周期T2.0 s，进而算出频率f1/T0.5 Hz，算出摆长l1 m。(2)振动图像中O点位移为零，O到A的过程位移为正，且增大，A处最大，历时T/4，显然摆球是从平衡位置E起振并向G方向运动的，所以O对应E，A对应G；A到B的过程分析方法相同。因而O、A、B、C对应E、G、E、F点。摆动中EF间加速度为正，且靠近平衡位置过程中加速度逐渐减小，所以是从F向E的运动过程。在图像中为C到D的过程，时间范围是1.52.0 s。摆球远离平衡位置势能增加，即从E向两侧摆动，而速度为正，显然是从E向G的过程。在振动图像中为从O到A的过程，时间范围是00.5 s。(3)解答此问的关键是要分析在线断的瞬间，摆球所处的运动状态和受力情况，在最大位移处线断，此时球速度为零，只受重力作用，所以球做自由落体运动。在平衡位置线断，此时球有最大水平速度，又只受重力作用，故做平抛运动。答案：(1)3 cm0.5 Hz1 m(2)E、G、E、F1.52.0 s00.5 s(3)自由落体运动平抛运动
