1、专题检测四 概率与统计一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020山东5)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有 96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%2.(2022辽宁丹东模拟)体育课上进行投篮测试,每人投篮 3 次,至少投中 1 次则通过测试.某同学每次投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.064B.0.600C.0.784D.
2、0.9363.(2022山东潍坊三模)某省新高考改革方案推行“3+1+2”模式,要求学生在语数外 3 门全国统考科目之外,在历史和物理 2 门科目中必选且只选 1 门,再从化学、生物、地理、思想政治 4 门科目中任选2 门.某学生各门功课均比较优异,因此决定按方案要求任意选择,则该生选考物理、生物和政治这 3门科目的概率为()A.B.C.D.4.(2022全国乙文 4)分别统计了甲、乙两位同学 16 周的各周课外体育运动时长(单位:h),得如下茎叶图:则下列结论中错误的是()A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于 8C.甲同学周课外体育运
3、动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.65.(2022江苏苏锡常镇二模)随着北京冬奥会的举办,中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升.某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动,号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”,开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习,设事件 A=“甲乙两人所选课程恰有一门相同”,事件 B=“甲乙两人所选课程完全不同”,事件 C=“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”,则()A.A 与 B 为对立事件B.A 与 C 互斥C.A 与
4、 C 相互独立D.B 与 C 相互独立6.(2022山东日照三模)若将整个样本空间想象成一个边长为 1 的正方形,任何事件都对应样本空间的一个子集,且事件发生的概率对应子集的面积,则如图所示的阴影部分的面积表示()A.事件 A 发生的概率B.事件 B 发生的概率C.事件 B 不发生条件下事件 A 发生的概率D.事件 A,B 同时发生的概率7.(2022全国乙理 10)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 p1,p2,p3,且 p3p2p10.记该棋手连胜两盘的概率为 p,则()A.p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手
5、在第二盘与甲比赛,p 最大C.该棋手在第二盘与乙比赛,p 最大D.该棋手在第二盘与丙比赛,p 最大8.(2022山东德州模拟)某高中有学生 500 人,其中男生 300 人,女生 200 人,希望获得全体学生的身高信息,按照分层随机抽样的原则抽取了容量为 50 的样本.经计算得到男生身高样本均值为 170 cm,方差为 17 cm2;女生身高样本均值为 160 cm,方差为 30 cm2.下列说法中正确的个数是()男生样本量为 30;每个女生入样的概率均为 ;所有样本的均值为 166 cm;所有样本的方差为22.2 cm2.A.1B.2C.3D.49.(2022江苏南京三模)连续抛掷一枚质地均
6、匀的硬币 3 次,每次结果要么正面向上,要么反面向上,且两种结果等可能.记事件 A 表示“3 次结果中有正面向上,也有反面向上”,事件 B 表示“3 次结果中最多一次正面向上”,事件 C 表示“3 次结果中没有正面向上”,则下列说法错误的是()A.事件 B 与事件 C 互斥B.P(A)=C.事件 A 与事件 B 独立D.记 C 的对立事件为,则 P(B|)=10.(2022山东德州二模)教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知”中指出,各地要加强对学生体质健康重要性的宣传,中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动、家校协同联动等多种形式加强教育
7、引导,让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素,了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用,提高学生体育与健康素养,增强体质健康管理的意识和能力.某学校共有 2 000 名男生,为了解这部分学生的身体发育情况,学校抽查了 100 名男生的体重情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示,则下列说法错误的是()A.样本的众数为 67.5B.样本的 80%分位数为 72.5C.样本的平均值为 66D.该校男生中低于 60 公斤的学生大约为 300 人11.(2022广东深圳模拟)如图是一块高尔顿板示意图,在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形
8、小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,将小球从顶端放入,小球在下落过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中,格子从左到右分别编号为 0,1,2,3,10,用 X 表示小球落入格子的号码,则()A.P(X=1)=P(X=9)=B.P(X=1)=P(X=9)=C.D(X)=5D.D(X)=12.(2022山东济南三模)如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1顶点处有一质点 Q,点 Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动,且向每个顶点移动的概率相同.从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次.若质点 Q 的初始位置位于点 A 处,记点
9、Q 移动 n 次后仍在底面 ABCD 上的概率为 Pn,则下列说法错误的是()A.P2=B.Pn+1=Pn+C.点 Q 移动 4 次后恰好位于点 C1的概率为 0D.点 Q 移动 10 次后仍在底面 ABCD 上的概率为 ()二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.(2022新高考13)随机变量 X 服从正态分布 N(2,2),若 P(22.5)=.14.(2022全国甲理 15)从正方体的 8 个顶点中任选 4 个,则这 4 个点在同一个平面的概率为 .15.(2022云南昆明一模)长绒棉是世界上纤维品质最优的棉花,也是全球高端纺织品及特种纺织品的重要原料.新疆具有
10、独特的自然资源优势,是我国最大的长绒棉生产基地,产量占全国长绒棉总产量的95%以上.新疆某农科所为了研究不同土壤环境下棉花的品质,选取甲、乙两地实验田进行种植.在棉花成熟后采摘,分别从甲、乙两地采摘的棉花中各随机抽取 50 份样本,测定其马克隆值,整理测量数据得到如下 22 列联表(单位:份),其中 40a50 且 aN*.注:棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标,是棉纤维重要的内在质量指标之一.根据现行国家标准规定,马克隆值可分为 A,B,C 三个级别,A 级品质最好,B 级为标准级,C 级品质最差.类别 A 级或 B 级 C 级 合计 甲地 a 50-a 50 乙地 80-a
11、 a-30 50 合计 80 20 100 当 a=a0时,依据小概率值=0.01 的独立性检验,可以认为该品种棉花的马克隆值级别与土壤环境有关,则 a0的最小值为 .附:2=-.0.05 0.01 0.001 x 3.841 6.635 10.828 16.(2022天津西青模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元 222 年,赵爽为周碑算经一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的).类比“赵爽弦图”,可类似地构造如图所示的图形,它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等
12、边三角形.设在ABD 中,AD=6,BD=2,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形的概率是 .三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10 分)(2021全国乙文 17)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧
13、设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和,样本方差分别记为 和 .(1)求 ;(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 如果 2 ,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高.18.(12 分)(2022新高考19)在某地区进行某种疾病调查,随机调查了 100 位这种疾病患者的年龄,得到如下样本数据频率分布直方图.(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄;(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)(2)估计该地区一人患这种疾病患者年龄位于区间20,70)的概率;(3)已知该地区这种疾病患者的患病率为 0.1%,该地区年龄位于区间
14、40,50)的人口占该地区总人口数的 16%,从该地区任选 1 人,若此人的年龄位于区间40,50),求此人患这种疾病的概率(精确到 0.000 1).19.(12 分)(2022山东潍坊三模)盲盒,是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子,具有随机性.因其独有的新鲜性、刺激性及社交属性而深受各个年龄段人们的喜爱.已知 M 系列盲盒共有 12 个款式,为调查 M 系列盲盒更受哪个年龄段的喜爱,向 00 前、00 后人群各随机发放了 50 份问卷,并全部收回.经统计,有 45%的人未购买该系列盲盒,在这些未购买者当中,00 后占 .(1)请根据以上信息填表,并分析依据小概率值=0.01,能否
15、认为购买该系列盲盒与年龄有关?类别 00 前 00 后 合计 购买 未购买 合计 100 附:2=-,0.1 0.05 0.01 0.001 x 2.706 3.841 6.635 10.828(2)一批盲盒中,每个盲盒随机装有一个款式,甲同学已经买到 3 个不同款,乙、丙同学分别已经买到 m个不同款,已知三个同学各自新购买一个盲盒,且相互之间无影响,他们同时买到各自的不同款的概率为 .求 m;设 X 表示三个同学中各买到自己不同款的总人数,求 X 的分布列和数学期望.20.(12 分)(2022山东德州二模)2021 年 12 月 17 日,工信部发布的“十四五”促进中小企业发展规划明确提出
16、建立“百十万千”的中小企业梯度培育体系,引导中小企业走向“专精特新”“小巨人”“隐形冠军”的发展方向,“专精特新”是指具备专业化、精细化、特色化、新颖化优势的中小企业.下表是某地各年新增企业数量的有关数据:年份/年 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 x 1 2 3 4 5 新增企业数量 y 8 17 29 24 42(1)请根据上表所给的数据,求出 y 关于 x 的经验回归方程,并预测 2023 年此地新增企业的数量;(2)若在此地进行考察,考察企业中有 4 个为“专精特新”企业,3 个为普通企业,现从这 7 个企业中随机抽取 3 个,用 X 表示抽取的 3 个为“专
17、精特新”企业个数,求随机变量 X 的分布列与期望.参考公式:经验回归方程 x 中,斜率和截距最小二乘估计公式分别为 -.21.(12 分)(2022广东深圳二模)2022 年北京冬奥会后,由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队,与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛.约定赛制如下:业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛,若甲连续赢两场则专业队获胜;若甲连续输两场则业余队获胜;若比赛三场还没有决出胜负,则视为平局,比赛结束.已知各场比赛相互独立,每场比赛都分出胜负,且甲与乙比赛,乙赢的概率为 ;甲与丙比赛,丙赢的概率为 p,其中 p .(1)若第一场比赛,业余队可以安排乙与甲进行比赛,也可以安
18、排丙与甲进行比赛.请分别计算两种安排下业余队获胜的概率;若以获胜概率大为最优决策,问:业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛?(2)为了激励专业队和业余队,赛事组织规定:比赛结束时,胜队获奖金 3 万元,负队获奖金 1.5 万元;若平局,两队各获奖金 1.8 万元.在比赛前,已知业余队采用了(1)中的最优决策与甲进行比赛,设赛事组织预备支付的奖金金额共计 X 万元,求 X 的数学期望 E(X)的取值范围.22.(12 分)(2022辽宁锦州一模)某市为了解某年十一期间市民旅游出行的方式及满意程度,对去该市甲、乙、丙三个景点旅游的市民进行了调查.现从中随机抽取 100 人作为样本,得到如下统计
19、表(单位:人):满意度得分 甲 乙 丙 报团游 自驾游 报团游 自驾游 报团游 自驾游 10 分 12 1 12 10 7 14 5 分 4 1 4 4 4 9 0 分 1 0 7 2 1 7 合计 17 2 23 16 12 30(1)从样本中任取 1 人,求此人没去丙景点的概率;(2)根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.针对甲、乙、丙三个景点,从全市十一期间旅游出行选自驾游的所有人中,随机选取 3 人,记 X 为去乙景点的人数,求 X 的分布列和数学期望;(3)如果王某要去甲、乙、丙三个景点旅游,那么以满意度得分的均值为依据,你建议王某是报团游还是自驾游?说明理由.专题检
20、测四 概率与统计1.C 解析:设既喜欢足球又喜欢游泳的学生比例数为 x.由 Venn 图可知,82%-x+60%=96%,解得 x=46%,故选 C.2.D 解析:该同学通过测试的概率为 1-0.43=0.936.3.D 解析:由题设,该生选考物理、生物和政治这 3 门科目的概率 P=.4.C 解析:由茎叶图可得甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 =7.4,故 A 正确;甲同学有 6 周的课外体育运动时长大于 8,由频率估计概率,甲同学周课外体育运动时长大于 8的概率的估计值为 8,8,8,乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于 8,故 B 正确;乙同学仅有 3 周的课外体育运动时长小于
21、 8,由频率估计概率,乙同学周课外体育运动时长大于 8的概率的估计值为 -0.6,故 D 正确.5.C 解析:依题意甲、乙两人所选课程有如下情形:有一门相同,两门都相同,两门都不相同.故 A 与 B 互斥不对立,A 与 C 不互斥,且 P(A)=,P(B)=,P(C)=,且 P(AC)=,P(BC)=0,所以 P(AC)=P(A)P(C),P(BC)P(B)P(C),即 A 与 C 相互独立,B 与 C 不相互独立.6.A 解析:由题意可知 P(A|B)P(B)+P(A|)(1-P(B)=P(AB)+P(A|)P()=P(AB)+P(A)=P(A).7.D 解析:当该棋手在第二盘与甲比赛时,p
22、=2p1p2(1-p3)+p1p3(1-p2)=2p1p2+2p1p3-4p1p2p3;当该棋手在第二盘与乙比赛时,p=2p2p1(1-p3)+p2p3(1-p1)=2p1p2+2p2p3-4p1p2p3;当该棋手在第二盘与丙比赛时,p=2p3p1(1-p2)+p3p2(1-p1)=2p1p3+2p2p3-4p1p2p3.由 p3p2p10,可知该棋手在第二盘与丙比赛,p 最大.8.B 解析:对于:抽样比为 ,所以样本中男生有 300=30 人,故正确;对于:每个女生入样的概率等于抽样比 ,故不正确;对于:由分层随机抽样知,样本中男生有 30 人,女生有 20 人,所有的样本均值为 =166,
23、故正确;对于:设男生分别为 x1,x2,x30,平均数=170,=17,女生分别为 y1,y2,y20,平均数=160,=30,所有样本的平均数为=166,方差为 s2,s2=-(yi-166)2,因为 -(xi-170)+(170-166)2=-(170-166)2+2 (xi-170)(170-166),而 (xi-170)(170-166)=(170-166)(xi-170)=4(xi-30170)=0,所以 -(170-166)2=3017+4230=990,同理可得 -(160-166)2=3020+6220=1 320,所以 s2=-=(990+1 320)=46.2,故不正确.故
24、选 B.9.A 解析:选项 A:显然 B 发生的情况中包含 C,故事件 B 与事件 C 可同时发生,错误;选项 B:P(A)=1-2=,正确;选项 C:P(B)=,P(AB)=P(A)P(B),故事件 A 与事件 B 独立,正确;选项 D:P(C)=,P(B|)=-,正确.10.C 解析:对于 A,样本的众数为 =67.5,故 A 正确;对于 B,由频率分布直方图可知样本的 80%分位数为 70+5=72.5,故 B 正确;对于 C,由直方图估计样本平均值为 57.50.15+62.50.25+67.50.3+72.50.2+77.50.1=66.75,故 C 错误;对于 D,2 000 名男
25、生中体重低于 60 kg 的人数大约为 2 00050.03=300,故 D 正确.故选 C.11.D 解析:设事件 A 表示小球向右下落,设 X 等于事件 A 发生的次数,则 X 等于落入格子的号码,而小球在下落过程中共碰撞小木钉 10 次,所以 XB(),则 P(X=k)=(),k=0,1,2,10,所以 P(X=1)=P(X=9)=,所以 A,B 不正确;又由 D(X)=10(),所以 C 不正确,D 正确.12.B 解析:在正方体中,每一个顶点有 3 个相邻顶点,其中两个在同一底面,所以当点 Q 在下底面时,随机移动一次仍在下底面的概率为 ,在上底面时,随机移动一次回到下底面的概率为
26、,所以P2=,故 A 正确;Pn+1=Pn+(1-Pn)=Pn+,故 B 错误;点 Q 由点 A 移动到点 C1处最少需要 3 次,任意折返都需要 2 次移动,所以移动 4 次后不可能到达点 C1,故 C 正确;由于 Pn+1=Pn+Pn+1-(-)且 P1=P1-,所以 Pn-()-Pn=(),所以 P10=(),故 D 正确.13.0.14 解析:由题意可知,P(X2)=0.5,故 P(X2.5)=P(X2)-P(22 ,故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.18.解(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄为=(50.001+150.002+250.012+350.017+45
27、0.023+550.020+650.017+750.006+850.002)10=47.9(岁).(2)由题图,得这 100 位这种疾病患者中年龄位于区间20,70)的频率为(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)10=0.89,故可估计该地区一人患这种疾病患者年龄位于区间20,70)的概率为 0.89.(3)设 B=任选一人年龄位于区间40,50),C=任选一人患这种疾病,由条件概率公式可得P(C|B)=0.001 437 50.001 4.19.解(1)零假设为 H0:购买该系列盲盒与年龄无关.由题意可得 类别 00 前 00 后 合计 购买 35 20 55 未购买
28、 15 30 45 合计 50 50 100 则 2=-9.0916.635,根据小概率值=0.01 的独立性检验,我们推断 H0不成立,所以认为购买该系列盲盒与年龄有关,此推断犯错误的概率不大于 0.01.(2)由题意三个同学同时买到各自的不同款的概率为 -,解得 m=20 或 4,因为0m12,所以 m=4.由题意知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,P(X=0)=;P(X=1)=2=;P(X=2)=2+;P(X=3)=.其分布列为 X 0 1 2 3 P 所以数学期望 E(X)=0 +1 +2 +3 .20.解(1)=3,=24,(xi-)(yi-)=(-2)(-16)+(-1)(-
29、7)+05+10+218=75,-=4+1+0+1+4=10,所以 -=7.5,=1.5,所以 =1.5+7.5x.故预测 2023 年,即当 x=7 时,由经验回归方程可得 =54,所以预测 2023 年此地新增企业的数量为 54.(2)由题意可知,X 的可能取值为 0,1,2,3,因为 P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以 E(X)=0 +1 +2 +3 .21.解(1)第一场比赛,业余队安排乙与甲进行比赛,业余队获胜的概率为 P1=p+p p;第一场比赛,业余队安排丙与甲进行比赛,业余队获胜的概率为 P2=p
30、+(1-p)p=-p2+p,因为 p0,所以 P1P2.所以,业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.(2)由已知 X=4.5 万元或 X=3.6 万元.由(1)知,业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛.此时业余队获胜的概率为 P1=p,专业队获胜的概率为 P3=(1-p)+(1-p)p,所以,非平局的概率为 P(X=4.5)=P1+P3=p,平局的概率为 P(X=3.6)=1-P1-P3=p.X 的分布列为 X 4.5 3.6 P p p X 的数学期望为 E(X)=4.5 p+3.6 p=4.4-0.3p(万元),而 p ,所以 E(X)的取值范围为(4.25,4.3)(单位:万元).
31、22.解(1)设事件 A:从样本中任取 1 人,此人没去丙景点,由表格中所给数据可知,去甲、乙、丙旅游的人数分别为 19,39,42,故 P(A)=.(2)由题意可得,X 的所有可能取值为 0,1,2,3.从全市十一期间旅游出行选自驾游的所有人中,随机取 1 人,此人去乙景点的概率为 ,则XB(),P(X=0)=()(-),P(X=1)=(-),P(X=2)=()(-),P(X=3)=()(-),故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以 E(X)=0 +1 +2 +3 =1 或 E(X)=3 =1.(3)由题干所给表格中数据可知,报团游、自驾游的总人数分别为 52,48,得分为 10 分的报团游、自驾游的总人数分别为 31,25,得分为 5 分的报团游、自驾游的总人数分别为 12,14,得分为 0 分的报团游、自驾游的总人数分别为 9,9,所以从满意度来看,报团游满意度的均值为 ,自驾游满意度的均值为 ,
