1、第2节匀速圆周运动的向心力和向心加速度1.向心力是做匀速圆周运动的物体受到的指向圆心的合力，是按力的作用效果命名的，其作用是改变物体速度的方向。2向心力始终指向圆心，与速度方向垂直，其大小为Fm2rm。3向心加速度是物体在向心力作用下产生的，其方向一定指向圆心，大小为a2r，描述物体速度方向变化的快慢。一、向心力1定义：做匀速圆周运动的物体受到的始终指向圆心的合力。2方向：始终指向圆心，总是与运动方向垂直。3作用效果：只改变速度方向，不改变速度大小。4向心力的大小(1)实验探究探究目的：探究向心力大小F与质量m、角速度和半径r之间的关系。实验方法：控制变量法。实验过程a保持、r相同，研究向心力
2、F与小球质量之间的关系。b保持m、r相同，研究向心力F与角速度之间的关系。c保持、m相同，研究向心力F与半径r之间的关系。实验结论：做匀速圆周运动所需向心力的大小，在质量和角速度一定时，与半径成正比；在质量和半径一定时，与角速度的平方成正比；在半径和角速度一定时，与质量成正比。(2)向心力的公式：Fm2r或Fm。二、向心加速度1定义做匀速圆周运动的物体，在向心力作用下产生的加速度。2大小a2r。3方向与向心力的方向相同，总是沿着半径指向圆心，即始终与运动方向垂直。4物理意义描述速度方向改变快慢的物理量。向心加速度越大，表示速度方向改变的越快。由于向心加速度始终与速度垂直，故向心加速度只改变速度
3、的方向，不改变速度的大小。1自主思考判一判(1)向心力既可以改变速度的大小，也可以改变速度的方向。()(2)物体做圆周运动的速度越大，向心力一定越大。()(3)向心力和重力、弹力一样，是性质力。()(4)匀速圆周运动是加速度不变的曲线运动。()(5)匀速圆周运动的向心加速度的方向始终与速度方向垂直。()(6)物体做匀速圆周运动时，速度变化量为零。()2合作探究议一议(1)如图221所示，用长短不同、材料和粗细均相同的两根绳子各拴着一个质量相同的小球，在光滑的水平面上做匀速圆周运动，若两个小球以相同的角速度运动，长绳容易断还是短绳容易断？若两个小球以相同的线速度运动呢？图221提示：若两小球角速
4、度相同，由Fm2r可知，长绳中张力大，长绳易断。若两小球线速度相同，由Fm可知，短绳中张力大，短绳易断。(2)甲同学认为由公式a知向心加速度a与运动半径r成反比；而乙同学认为由公式a2r知向心加速度a与运动半径r成正比，他们两人谁的观点正确？说一说你的观点。提示：他们两人的观点都不准确。当v一定时，a与r成反比；当一定时，a与r成正比。(3)如图222所示，物体在圆筒壁上随筒壁一起绕竖直转轴匀速转动，试问：物体受几个力作用？向心力由什么力提供？图222提示：物体受三个力，分别为重力、弹力和摩擦力。物体做匀速圆周运动，向心力等于以上三个力的合力，由于重力与摩擦力抵消，实际上向心力仅由弹力提供。对
5、向心力的理解1大小：Fmamm2rmvmr(1)匀速圆周运动中向心力的大小始终不变。(2)非匀速圆周运动中向心力的大小随速率v的变化而变化，公式表述的只是瞬时值。2方向：无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。3向心力是效果力(1)向心力因其方向时刻指向圆心而得名，是效果力。(2)它的作用效果是只改变速度方向不改变速度大小。(3)不是因为物体做圆周运动才产生向心力，而是向心力作用迫使物体不断改变速度方向而做圆周运动。4向心力的来源物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供。可以由一个力充当向心力；也可以由几个力的合力充当向心力；还可以是某
6、个力的分力充当向心力。实例向心力示意图用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向FG用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动线的拉力提供向心力，F向T物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向f小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向F合典例如图223所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针匀速转动时，下列说法正确的是()图223AP受的摩擦力方向为aBP受的摩擦力方向为bCP受的摩擦力方向为cDP受的摩擦力方向可能为d思路点拨
7、解析物块P在水平转盘上随转盘一起做匀速圆周运动，必须有向心力作用，而重力、支持力合力为零，故物块P的向心力应由指向圆心的静摩擦力来提供，故选C。答案C向心力与合外力的辨析(1)“一定”关系：无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，物体所受各力沿半径方向分量的矢量和一定为向心力。(2)“不一定”关系：匀速圆周运动中，向心力就是合外力；非匀速圆周运动中，向心力不是合外力，向心力是合外力沿半径方向的分力，合外力不指向圆心。(3)“一定不”关系：对物体进行受力分析时，一定不要在分析完重力、弹力、摩擦力等性质力后，又多出一个“向心力”，向心力只是上述性质力合成或分解得到的一个效果力。1(多选)关于做匀速圆
8、周运动的物体所受的向心力，下列说法正确的是()A因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力B因向心力指向圆心，且与线速度的方向垂直，所以它不能改变线速度的大小C它是物体所受的合力D向心力和向心加速度的方向都是不变的解析：选BC做匀速圆周运动的物体所受的向心力是物体所受的合力，由于始终指向圆心，且与线速度垂直，故不能改变线速度的大小，只能改变线速度的方向，向心力虽大小不变，但方向时刻改变，不是恒力，由此产生的向心加速度也是变化的，所以A、D错误，B、C正确。2如图224所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰受力的说法正确的是()图224A老鹰受重力、空气对它的作用
9、力和向心力的作用B老鹰受重力和空气对它的作用力C老鹰受重力和向心力的作用D老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用解析：选B老鹰在空中做圆周运动，受重力和空气对它的作用力的作用，两个力的合力充当它做圆周运动的向心力。向心力是根据力的作用效果命名的，不是物体实际受到的力，在分析物体的受力时，不能将其作为物体受到的力。选项B正确。3. (多选)如图225所示，一小球用轻绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是()图225A绳的拉力B重力和绳的拉力的合力C重力和绳的拉力的合力沿绳方向的分力D绳的拉力和重力沿绳方向的分力的合力解析：选CD小球受重
10、力和绳子的拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力。因此，可以说向心力是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以说向心力是各力沿绳方向的分力的合力，C、D正确。对向心加速度的理解1公式拓展a2rrv2a与r的关系图像如图226甲、乙所示。图226由ar图像可以看出：a与r成正比还是反比，要看是恒定还是v恒定。3向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动，在变速圆周运动(速度大小变化)中，物体的加速度不指向圆心，该加速度沿圆心方向的分量是向心加速度。典例图227所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S与转动轴的距离是半径的，当大轮边缘上P点的向心加速度是1
11、2 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度分别为多大？图227 思路点拨轮上P点和S点属同轴转动，角速度相同，由a2r可建立联系。轮上P点和Q点属皮带传动，线速度相同，由a可建立联系。解析设S和P到大轮轴心的距离分别为rS和rP，由向心加速度公式ar2，且SP可知，S与P两点的向心加速度之比为解得aSaP4 m/s2设小轮半径为rQ，由向心加速度公式a，且vPvQ，可得P与Q两点的向心加速度之比为解得aQaP24 m/s2。答案4 m/s224 m/s2常用向心加速度的计算公式及关系 1关于向心加速度，下列说法中正确的是()A向心加速度是描述线速度变化快慢的物理量B向心加速度只
12、改变线速度的方向，不改变线速度的大小C向心加速度大小恒定，方向时刻改变D向心加速度的大小也可以用a来计算解析：选B加速度是描述速度变化快慢的物理量，而向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，故A错误，B正确。根据向心加速度的计算公式a可知，只有匀速圆周运动的向心加速度大小才恒定，故C错误。圆周运动的加速度是时刻改变的，向心加速度是瞬时加速度而不是平均加速度，故不能用a来计算，只能用a或a2r(2f)2rr来计算，故D错误。2.2016年1月29日，第十三届全国冬季运动会花样滑冰双人滑自由滑比赛在新疆冰上运动中心短道花样馆结束，哈尔滨队的隋文静和韩聪夺得冠军。如图228所示，在男女双人花样滑
13、冰运动中，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动。若运动员的转速为30 r/min，女运动员触地冰鞋的线速度为4.8 m/s，求女运动员做圆周运动的角速度、触地冰鞋做圆周运动的半径及向心加速度的大小。图228解析：男女运动员的转速、角速度是相同的，由2n得23.14 rad/s3.14 rad/s由vr，得r m1.53 m由a2r，得a3.1421.53 m/s215.1 m/s2。答案：3.14 rad/s1.53 m15.1 m/s2圆周运动中的动力学问题典例如图229所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳中张力为零)。已
14、知物块与转盘间最大静摩擦力是其重力的k倍，当绳中张力达到8kmg时，绳子将被拉断。求：图229 (1)转盘的角速度为1 时，绳中的张力T1；(2)转盘的角速度为2 时，绳中的张力T2；(3)要将绳拉断，转盘的最小转速min。思路点拨(1)当转速较小时， 由静摩擦力提供物块做圆周运动的向心力。(2)当转速较大时，由最大静摩擦力和绳上的拉力共同提供物块做圆周运动的向心力。解析设角速度为0时绳刚好被拉直且绳中张力为零，则由题意有：kmgm02r解得：0 。(1)当转盘的角速度为1 时，因为10，物块所受最大静摩擦力不足以提供物块随转盘做圆周运动所需向心力，则绳子有张力。则有：kmgT2m22r解得：
15、T2kmg。(3)要将绳拉断，静摩擦力和绳子的张力都要达到最大值，则有：kmg8kmgmmin2r解得：min3。答案(1)0(2)kmg(3)3圆周运动动力学问题的解题步骤(1)明确研究对象：解题时要明确所研究的是哪一个做圆周运动的物体。(2)确定物体做圆周运动的轨道平面，并找出圆心和半径。(3)确定研究对象在某个位置所处的状态，分析物体的受力情况，判断哪些力提供向心力，这是解题的关键。(4)根据向心力公式列方程求解。1.如图2210所示，一个圆形框架以竖直的直径为转轴匀速转动。在框架上套着两个质量相等的小球A、B，小球A、B到竖直转轴的距离相等，它们与圆形框架保持相对静止。下列说法正确的是
16、()图2210A小球A所受的合力小于小球B所受的合力B小球A与框架间可能没有摩擦力C小球B与框架间可能没有摩擦力D圆形框架以更大的角速度转动，小球B受到的摩擦力一定增大解析：选C小球受到的合力充当向心力，因为到竖直转轴的距离相等，所以两小球的速度大小相等，半径相等，由F合m可知，两小球受到的合力大小相等，A错误；小球A受到的重力竖直向下，受到的支持力垂直圆环该点切线方向背向圆心，故两个力的合力不可能指向竖直转轴，所以一定受到摩擦力作用，小球B受到竖直向下的重力，垂直该点切线方向指向圆心的支持力，合力可能垂直指向竖直转轴，所以小球B可能不受摩擦力作用，B错误，C正确；当圆形框架以更大的角速度转动
17、时，小球B受到的摩擦力可能增大，也可能减小，故D错误。2.如图2211所示，在光滑的水平桌面上有一光滑小孔O，一根轻绳穿过小孔，一端连接质量为m1 kg的小球A，另一端连接质量为M4 kg的重物B。求：图2211 (1)当A球沿半径为R0.1 m的圆做匀速圆周运动，其角速度为10 rad/s时，B对地面的压力为多少？(2)要使B物体对地面恰好无压力，A球的角速度应为多大？(g取10 m/s2)解析：(1)对小球A来说，小球受到的重力和支持力平衡，因此绳子的拉力提供向心力，则TmR210.1102 N10 N。对物体B来说，物体受到三个力的作用：重力Mg、绳子的拉力T、地面的支持力N，由力的平衡
18、条件可得TNMg，所以NMgT。将T10 N代入上式，可得：N410 N10 N30 N。由牛顿第三定律可知，B对地面的压力为30 N，方向竖直向下。(2)当B对地面恰好无压力时，有：MgT，拉力T提供小球A所需向心力，则：TmR2，则 rad/s20 rad/s。即当B对地面恰好无压力时，A球的角速度应为20 rad/s。答案：(1)30 N，方向竖直向下(2)20 rad/s1(多选)关于向心力的下列说法中正确的是()A物体受到向心力的作用才能做圆周运动B向心力是指向圆心方向的合外力，它是根据力的作用效果命名的C向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是某种力的分力D向心力不但
19、能改变物体的运动方向，而且可以改变物体运动的快慢解析：选BC向心力是根据力的作用效果命名的力，而不是一种性质力，物体之所以能做圆周运动，不是因为物体多受了一个向心力的作用，而是物体所受各种力的合力始终指向圆心，从而只改变物体速度的方向而不改变速度的大小，故选项A、D错误，B、C正确。2甲、乙两质点做匀速圆周运动，其半径之比R1R234，角速度之比1243，则甲、乙两质点的向心加速度之比a1a2是()A.B.C. D.解析：选A因为半径之比R1R234，角速度之比1243，根据a2R得：a1a243，故选A。3. (多选)如图1所示，为A、B两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中
20、A为双曲线的一个分支，由图可知()图1AA物体运动的线速度大小不变BA物体运动的角速度大小不变CB物体运动的角速度大小不变DB物体运动的线速度大小不变解析：选AC匀速圆周运动的向心加速度的计算式有两个：a或a2r，因此不能不加判断就认为a与r成反比或a与r成正比，而只能这样表述：当v的大小相等时，a的大小跟r成反比；当相同时，a的大小跟r成正比。B质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化规律是通过原点的一条直线，即ar，故C项对。A质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化规律是双曲线的一支，即a，故A项对。4.如图2所示，一圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块
21、随圆盘一起转动(俯视为逆时针)。某段时间圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮块所受合力F的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是()图2解析：选C橡皮块做加速圆周运动，合力不指向圆心，但一定指向圆周的内侧；由于做加速圆周运动，速率不断增加，故合力与速度的夹角小于90，选项C正确。5.如图3所示，长为L的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端固定在水平转轴O上，杆随转轴O在竖直平面内匀速转动，角速度为，某时刻杆对球的作用力恰好与杆垂直，则此时杆与水平面的夹角是()图3Asin Btan Csin Dtan 解析：选A小球所受重力和轻杆的作用力的合力提供向心力，根据牛顿
22、第二定律有mgsin mL2，解得sin ，故A正确，B、C、D错误。6A、B两个质点分别做匀速圆周运动，在相等时间内通过的弧长之比sAsB43，转过的圆心角之比AB32。则下列说法中正确的是()A它们的线速度之比vAvB43B它们的角速度之比AB23C它们的周期之比TATB32D它们的向心加速度之比aAaB32解析：选AA、B两质点分别做匀速圆周运动，若在相等时间内它们通过的弧长之比为sAsB43，根据公式v，线速度之比为vAvB43，故A正确；通过的圆心角之比AB32，根据公式，角速度之比为32，故B错误；由公式T，周期之比为TATB23，故C错误；根据av，可知aAaB21，故D错误。7
23、.如图4所示，将完全相同的两个小球A、B，用长L0.8 m的细绳悬于以v4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止运动，此时悬线的拉力之比FBFA为(g取10 m/s2)()图4A11 B12C13 D14解析：选C小车突然停止，B球受到的拉力FB仍然等于小球的重力，A球要做圆周运动，由牛顿第二定律得FAmgm，解得FA3 mg，所以FBFA13，C正确。8. (多选)如图5所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方有一钉子C，OC距离为，把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的()图5A线速
24、度突然增大为原来的2倍B角速度突然增大为原来的2倍C向心加速度突然增大为原来的2倍D悬线拉力突然增大为原来的2倍解析：选BC悬线与钉子碰撞前后，线的拉力始终与小球运动方向垂直，小球的线速度不变，A错；当半径减小时，由知变大为原来的2倍，B对；再由a知向心加速度突然增大为原来的2倍，C对；而在最低点Fmgm，故碰到钉子后合力变为原来的2倍，悬线拉力变大，但不是原来的2倍，D错。9如图6所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30，g
25、取10 m/s2。则的最大值是()图6A. rad/s B. rad/sC1.0 rad/s D0.5 rad/s解析：选C物体随圆盘做圆周运动，运动到最低点时最容易滑动，因此物体在最低点且刚好要滑动时的转动角速度为最大值，这时，根据牛顿第二定律可知，mgcos 30mgsin 30mr2，求得1.0 rad/s，C项正确，A、B、D项错误。10.如图7所示，倒置的光滑圆锥面内侧，有质量相同的两个小玻璃球A、B，沿锥面在水平面内做匀速圆周运动，关于A、B两球的角速度、线速度和向心加速度正确的说法是()图7A它们的角速度相等ABB它们的线速度vAvBC它们的向心加速度相等DA球的向心加速度大于B
26、球的向心加速度解析：选C对A、B两球分别受力分析，如图所示。由图可知F合F合mgtan 根据向心力公式有mgtan mam2Rm解得agtan v 由于A球转动半径较大，故A球的线速度较大，角速度较小；两球的向心加速度一样大，故选C。11.如图8所示，水平长杆AB绕过B端的竖直轴OO匀速转动，在杆上套有一个质量m1 kg的圆环，若圆环与水平杆间的动摩擦因数0.5，且假设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等(g取10 m/s2)，求：图8 (1)当杆转动的角速度2 rad/s时，圆环随杆转动的最大半径为多大？(2)如果水平杆转动的角速度降为1.5 rad/s，圆环能否相对于杆静止在原位置，此时它所受
27、的摩擦力有多大？解析：(1)圆环在水平面内做匀速圆周运动的向心力是杆施加给它的静摩擦力提供的，则最大向心力F向mg，代入公式F向mRmax2，得Rmax，代入数据可得Rmax1.25 m。(2)当水平杆转动的角速度降为1.5 rad/s时，圆环所需的向心力减小，则圆环所受的静摩擦力随之减小，不会相对于杆滑动，故圆环相对于杆仍静止在原来的位置，此时的静摩擦力fmRmax22.81 N。答案：(1)1.25 m(2)能2.81 N12.如图9所示，用一根长为l1 m的细线，一端系一质量为m1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角37，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为时，细线的张力为T。(g取10 m/s2，结果可用根式表示)求：图9 (1)若要小球离开锥面，则小球的角速度0至少为多大？(2)若细线与竖直方向的夹角为60，则小球的角速度为多大？解析：(1)若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力，小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平。在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得：mgtan m02lsin 解得：02，即0 rad/s。(2)同理，当细线与竖直方向成60角时，由牛顿第二定律及向心力公式有：mgtan m2lsin 解得：2，即 2 rad/s。答案：(1) rad/s(2)2 rad/s
