1、高二年级数学（理科）试卷第 1页共 4页高二年级数学（理科）试卷第 2页共 4页2019 级高二上学期理科数学期中考试数学试题（理科）（分值：150 分时长：120 分钟）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列关于棱柱说法正确的是（）A.棱柱的所有面都是四边形B.棱柱中只有两个面互相平行C.一个棱柱至少有六个顶点、九条棱、五个面D.棱柱的侧棱长不都相等2.直线310 xy 的倾斜角的大小为（）A.30B.60C.120D.1503.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.8B.83C.163D.16
2、4.过点1,3且垂直于直线230 xy的直线方程为（）A.210 xy B.250 xyC.250 xyD.270 xy5.圆锥和圆柱的底面半径高都是 R，则圆锥的表面积和圆柱的表面积之比为（）A.(21):4B.2:2C.1:2D.(21):26.已知直线 1:220lxay与直线 2:(1)320laxy平行，则 a （）A.3B.2C.2 或3D.57.设l 为直线，,是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若/l，/l，则/B.若，/l，则 lC.若 l，/l，则/D.若 l，l，则/8.点 P 在直线 350 xy上，且点 P 到直线10 xy 的距离为2，则 P 点坐标为（）A
3、.(1,2)B.(2,1)C.(1,2)或(2,1)D.(1,2)或(2,1)9.如图，在四棱锥 EABCD中，底面 ABCD 为梯形，/ABCD，23ABCD，M 为 AE 的中点，若三棱锥 EMBC的体积为 6，那么四棱锥 EABCD的体积为（）A.15B.18C.20D.3010.如图，在三棱柱1 11ABCA B C中，侧棱垂直于底面，底面是边长为 2 的正三角形，侧棱长为 3，则1BB 与平面11AB C 所成角的大小为（）A.30B.45C.60D.9011.在平面直角坐标系 xOy 中，直线:40l kxyk与曲线29yx交于 A，B 两点，且2AB，则 k （）A.33B.22
4、C.1D.312.棱长为 6 的正方体1 111ABCDA B C D中，点 E 是线段11C D 的中点，点 F 在线段1BB 上，4BF，则正方体1 111ABCDA B C D被平面 AEF 所截得的截面面积为（）A.27 172B.21 172C.15 172D.13 172二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。高二年级数学（理科）试卷第 3页共 4页高二年级数学（理科）试卷第 4页共 4页13.若 x，y 满足约束条件3503030 xyxyxy ，则2yx的最大值为.14.在空间直角坐标系 Oxyz中，若点1,2,3A，1,1,4B，点 C 是点 A 关于平面
5、 yOz 的对称点，则点 B 与 C 的距离为_.15.设圆222:()0O xyrr，定点(3,4)A，若圆 O 上存在两点到 A 的距离为 2，则 r 的取值范围是_.16.如图，四棱锥 PABCD，PA 底面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，且3PA，4AB，设该四棱锥的外接球半径为 R，内切球半径为 r，则 Rr.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分 10 分）如图，四棱台1 111ABCDA B C D，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，且50ABcm，1 140A Bcm，110AAcm.（1）求四棱台1 111AB
6、CDA B C D的侧面积；（2）求四棱台1 111ABCDA B C D的体积.（台体体积公式1()3VSSS Sh下下上上）18.（本小题满分 12 分）已知 ABC的顶点 3,1A，AB 边上的中线CM 所在直线方程为 210 xy，B的角平分线BN 所在直线方程为20 xy.（1）求顶点 B 的坐标；（2）求直线 BC 的方程.19.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 PABCD，M、N 分别是 AB、PC 的中点，底面 ABCD 为平行四边形.（1）求证：/MN平面 PAD；（2）若4MNBC，4 3PA，求异面直线 PA 与 MN 所成的角的大小.20.（本小题满分 12 分）圆
7、心为 C 的圆经过点(4,1)A 和(3,2)B，且圆心 C 在直线:20l xy上.（1）求圆心为 C 的圆的方程；（2）过点(5,8)P作圆 C 的切线，求切线的方程.21.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 EABCD中，平面 CDE 平面 ABCD，90ABCDAB ,2ECAD，1ABBC，2DE.（1）证明：AB 平面 ADE；（2）求二面角 CAED的大小22.（本小题满分 12 分）已知动点 P 与两个定点(0,0)O，(3,0)A的距离的比值为 2，点 P 的轨迹为曲线 C.（1）求曲线 C 的轨迹方程；（2）过点(0,3)A且斜率为 k 的直线l，交曲线 C 于 M、N
8、 两点，若9OM ON，求斜率 k.第 1页共 3 页2019 级高二上学期理科数学期中考试参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号123456789101112答案CCBAABDDCACB二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.【答案】314.【答案】1415.【答案】3,716.【答案】412三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.解：（1）因为侧面是全等的等腰梯形，50ABcm，1 140A Bcm，110AAcm.所以侧高为22504010()
9、5 32cm四棱台1 111ABCDA B C D的侧面积为214(4050)5 3900 32cm（2）因为侧面是全等的等腰梯形，50ABcm，1 140A Bcm，110AAcm.所以四棱台的高为2210(5 2)5 2cm四棱台1 111ABCDA B C D的体积为22223130500 2(40405050)5 233cm18.解：（1）设顶点 B 的坐标为(,)m n，因为顶点 B 在直线 BN 上，所以20mn由题意知 M 的坐标为31(,)22mn因为中点 M 在直线 CM 上，所以3121022mn，即 230mn联立方程组202+30mnmn，解得顶点 B 的坐标为2,1（
10、2）设顶点关于直线 BN 的对称点为(,)A s t由于线段 AA 的中点在在直线 BN 上，得方程312022st，即210st 由直线 AA 与直线 BN 垂直，得方程 11123ts，即 2+70s t 联立方程组2102+70sts t，得13 9,55A（）显然13 9,55A（）在直线 BC 上，且顶点 B 的坐标为2,1所以直线 BC 的方程为129131255yx，整理得142350 xy第 2页共 3 页19.解：（1）取 PD 的中点 H，连接 AH因为 H、N 分别是 PD、PC 的中点，所以/NHCD 且12NHCD因为 M 是 AB 的中点，所以/NHAM 且 NHA
11、M，即 AMNH 为平行四边形，所以/MNAH又因为 MN 平面 PAD，AH 平面 PAD，所以/MN平面 PAD（2）因为/MNAH，所以PAH就是直线 PA 与 MN 所成的角因为4MNBC，4 3PA，所以4AH，设2PDx因为 coscos0PHAAHD，根据余弦定可知，221648161602 42 4xxxx 解得4x 在PAH中，4816163cos22 4 4 3PAH，所以30PAH所以，异面直线 PA 与 MN 所成的角为 3020.解：（1）根据题意可得：2113(4)ABk ，点 A 和 B 的中垂线为73()22yx 联立方程2073()22xyyx 可得圆心坐标(
12、0,2)，且222(0(3)(22)25r 圆 C 的方程为22(2)25xy（2）过点 P 斜率不存在的直线为5x，与圆 C 相切；过点 P 斜率存在的直线设斜率为 k，则(5)8yk x，即580kxyk圆心(0,2)到切线的距离为2|0(2)58|51kkk，解得34k 综上，切线的方程为5x 或 34170 xy21.解：（1）证明：在直角梯形 ABCD 中，由1ABBC，2AD，得2ACCD因为2DE，2CE，所以222CECDDE，所以 DECD因为平面 CDE 平面 ABCD，平面 CDE 平面 ABCDCD，DE 平面 CDE所以 DE 平面 ABCD因为 AB 平面 ABCD
13、，所以 ABDE因为 ABAD，ADDED，AD 平面 ADE，DE 平面 ADE所以 AB 平面 ADE第 3页共 3 页（2）取 AD 中点 F，过点 F 作 FOAE，与 AE 交于点O，连接 OC，CF因为/CFAB，AB 平面 ADE，所以 CF 平面 ADE所以COF是二面角 CAED的平面角在 RtADE 中，由22ADAF，2DE，所以33OF 在 RtCOF 中，由1CF ，33OF，所以60COF二面角 CAED的大小是 6022.解：（1）设点,P x y，2POPA，即2POPA，222243xyxy，即2244xy，曲线 C 的方程为2244xy.（2）过点(0,3)A且斜率为 k 的直线 l 即3ykx，设 M、N 两点分别为11(,)x y和22(,)xy联立 22344ykxxy得22(1)(68)210kxkx则122681kxxk，122211x xk因为9OM ON，所以12129x xy y，则1212(3)(3)9x xkxkx，即21212(1)3()0kx xk xx所以2222168(1)()3()011kkkkk，解得1k 或7k 检验：当1k 时，方程2214210 xx有解；当7k 时，方程25050210 xx无解；综上，1k
