1、广西崇左高级中学2020-2021学年高一数学上学期第一次月考试题（含解析）满分150分，考试时间120分钟.一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列各组对象能构成集合的是（ ）A. 新冠肺炎死亡率低的国家B. 19世纪中国平均气温较高的年份C. 一组对边平行的四边形D. 的近似值【答案】C【解析】【分析】根据集合的互异性、确定性判定.【详解】解：只要一组对边平行的四边形都在选项C这个全体中，那么C中所有对象能构成一个集合，而选项A，B，D都没有明确的判定标准判定个体是否在全体中.故选：C.【点睛】判断一组对象能否构成集合的
2、依据：是否具有确定性：具有，能构成集合；不具有，不能构成集合.2. 若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简集合T，直接利用交集定义求解即可.【详解】，.故选：B.3. 设集合，则集合M的非空真子集的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】写出集合M的非空真子集即可.【详解】由题知，所以集合M的非空真子集为所以个数2个，故选：C.4. 已知函数 ，则的图象过定点（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令，则，即所以函数的图象过定点，得到答案.【详解】由题意知，函数，令，则，所以函数的图象过定点，故选B.【点睛】本题主要
3、考查了指数函数的性质的应用，其中解答中熟记指数函数的性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5. 给出下列关系式：；，其中正确关系式的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】利用元素与集合的关系，集合与集合间的关系直接求解.【详解】对于，元素与集合间的关系为属于关系，不是包含关系，故错误；对于空集是任何集合的子集，故正确；对于，点为抛物线上的点，故正确；对于，故错误；所以正确的个数为2个.故选：C.6. 已知函数，则（ ）A. 6B. 8C. 3D. 1【答案】A【解析】【分析】由分段函数的解析式代入即可得解.【详解】因为，所以，所以.故选：A7.
4、 下列四组函数中，表示相等函数的是（ ）A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】B【解析】【分析】分别判断两个函数的定义域和解析式是否一样可得答案.【详解】A. ，所以两个函数解析式不同，不相等；B. 与，两个函数解析式相同，定义域也一样，所以它们相等；C. 与解析式不一样，所以它们不相等；D. 的定义域为R， 的定义域为，两个函数定义域不一样，所以它们不相等. 故选：B.8. 函数的图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数，根据一次函数的图象，即可判定，得到答案.【详解】由题意，函数，根据一次函数的图象，可得函数的图象为选项C.故选C.【点睛】本题主要考查了函数的
5、图象的识别，其中解答中正确化简函数的解析式，利用一次函数的图象判定是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及识图能力，属于基础题.9. 设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据偶函数的性质可得，由函数的单调性可得函数值的大小关系.【详解】根据偶函数的性质可知，当时，是减函数，因为，所以故选:C.【点睛】思路点睛：在比较函数值大小的题目中，主要根据函数的单调性进行判断.当自变量不在同一单调区间时，可以结合偶函数的性质将自变量x转化为同一单调区间，再进行判断即可.10. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A. B. C
6、. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出函数的定义域，要使函数有意义，可得，即可得出结果.【详解】函数的定义域为，函数定义域为.要使函数有意义，必须使，即，所以函数的定义域为.故选：D.11. 某公园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心水平距离为处达到最高，最高高度为.另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此汇合，则这个装饰物的高度应该为（ ）A. 2.5B. 1.75C. 2.75D. 3.75【答案】D【解析】【分析】这个装饰物的高度就是时拋物线的函数值，所以需要求抛物线解析式，根据题意设顶点式较简便.【
7、详解】如图：以圆形水池的圆心为原点，一条直径所在直线为x轴，垂直于水面建立平面直角坐标系xOy.由题意，可设第一象限内水柱轨迹的函数关系式为，由，可得，于是所求函数解析式是，当时，所以装饰物的高度为3.75m.故选：D.12. 给定数集M，若对于任意，有且，则称集合M为封闭集合.下列说法中正确的个数为（ ）集合不是封闭集合；有理数集是封闭集合；无理数集是封闭集合；若集合，封闭集合，且，则A. 4B. 3C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】根据封闭集合的定义逐个判断可得答案.【详解】根据题意：因为 ，所以集合不是封闭集合；因为任意两个有理数的积仍然是有理数，任意一个有理数除以一个非零有理数
8、仍然是有理数，所以有理数集是封闭集合，所以 正确，而对于 ，若取，则为有理数，故不是封闭集合.考虑题干中对于封闭集合的定义，当时，.故1是所有封闭集合中的元素.故 正确.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查了集合的新定义问题.理解新定义并且运用新定义解题是解决本题的关键.二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】求使解析式有意义的自变量的范围，解不等式组即可得出结果.【详解】由题意满足所以.故答案为：.14. 集合，若，则a的值为_.【答案】3【解析】【分析】由或解得，再验证集合中元素的互异性可得解.【详解】由题知或，所以或，经检验符合题意
9、.故答案为：3.【点睛】本题考查了由集合的包含关系求参数值，考查了集合中元素的互异性，属于基础题.15. 函数在区间上为减函数，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】由已知结合二次函数的单调性与对称轴的位置关系，可求出实数的取值范围，再根据指数函数的单调性，即可求出的取值范围【详解】函数的对称轴为.因为函数在区上为减函数，所以，即，所以的取值范围为故答案为：16. 已知是定义在R上的偶函数，若在上单调递减，且，则满足的a的取值范围是_.【答案】【解析】分析】利用偶函数性质可得，再根据单调性可得，从而可得的取值范围.【详解】因为是定义在R上偶函数，故，所以要使成立，即，因为在上单调递减，故，
10、则，解得.故答案为：.【点睛】方法点睛：（1）若为偶函数，则；（2）解函数不等式，一般要利用函数的单调性和奇偶性去掉对应法则.三解答题：共70分.解答应写岀文字说眀证眀过程或演算步骤.17. 设全集，集合，.（1）求，；（2）若，求实数a的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用集合的交并补运算求解即可；（2）利用得到，列出不等式组求解即可.【详解】解：（1）由，则，所以；.（2）因为，所以，又，所以，解得，所以实数a的取值范围为.18. (1)计算：；(2)化简(，).【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)根据分数指数的运算性质直接求解即可；(2)将根式化为分数
11、指数幂，然后根据分数指数的运算性质化简即可.【详解】(1)原式.(2).【点睛】方法点睛：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算. 负指数幂化为正指数幂的倒数. 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质19. 设函数，且.（1）判断的奇偶性，并说明理由；（2）证明：函数在区间上单调递增.【答案】（1）为奇函数；答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)根据可得出的值，再根据函数奇偶性的判断方法可确定的奇偶性.(2)根据定义法，可证明函数在区间是单调递增.【详解】（1）由，得，
12、则，所以.为奇函数.理由如下：的定义域为，.（2）证明：设，且，则.因为，所以，.所以，故在区间上单调递增.20. 已知函数(，且)（1）若函数的图象过点，求实数a的值；（2）求关于x的不等式的解集【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）将点代入，求实数的值；（2）讨论和两种情况，解指数不等式.【详解】解：（1）据题意，得，或.又，且，.（2），又，且，讨论：（i）当时，.（ii）当时，.综上，当时，关于x的不等式的解集为；当时，关于x的不等式的解集为.21. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水量不超过吨时，每吨为元；当用水量超吨时，超过部分每吨为元.月甲乙两用户共交水费
13、元，已知甲乙两用户月用水量分别为吨，吨.（1）求关于的函数（2）若甲乙两用户月共交元，分别求甲乙两用户月的用水量.【答案】（1）；（2）甲乙两用户月的用水量分别为吨，吨.【解析】【分析】（1）根据两户用水量是否超过4吨分类讨论可得；（2）根据（1）中函数判断两户用水量不超过4吨时最多缴费数，可得34元时都超过4吨，由此计算可得结论【详解】解：（1）当，即时，当且时，即时，当，即时，综上所述：（2）当时，（舍），当时，（舍），当时，则吨，吨甲乙两用户月的用水量分别为吨，吨.22. 已知二次函数的图象过点，且满足.（1）求函数的解析式；（2）求在区间上的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，由题得，解方程组即得解；（2）对分三种情况讨论得到在区间上的最大值.【详解】解：（1）设，因为，所以的对称轴方程为.由题意，得，解得，所以.（2）因为抛物线的开口向下且对称轴方程是，所以可按如下三种情况分类讨论：当，即时，在上单调递增，故最大值；当，即时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，故最大值；当时，在区间上单调递减，故最大值.综上所述，.【点睛】方法点睛：求二次函数（抛物线的对称轴是固定的）在活动区间上的最值，一般要分类讨论求解.
