1、第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系1.理解空间直线、平面位置关系的定义2了解可以作为推理依据的公理和定理3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.1平面的基本性质公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们过该点的公共直线两点不在一条直线上有且只有一条2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类共面直线相交直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的叫
2、做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：(0，2锐角(或直角)3直线和平面的位置关系位置关系直线a在平面内直线a与平面相交直线a与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示aaAa图形表示4两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行0两平面相交斜交a有无数个公共点在一条直线上垂直a有无数个公共点在一条直线上5.平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行1分别在两个平面内的两条直线的位置关系是()A异面 B平行C相交D以上都有可能解析：两直线可相交、异面或平行，选D.答案：D2在空间内，可以确定一个平面的条件是()A两两相交的三条直线B三条直线，其中的一条与另
3、外两条直线分别相交C三个点D三条直线，它们两两相交，但不交于同一点解析：A中两两相交的三条直线，它们可能交于同一个点，也可能不交于同一个点，若交于同一个点，则三直线不一定在同一个平面内，故排除A；B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，则三条直线不能确定一个平面，故排除B；对于C来说，三个点的位置可能不在同一直线上，也可能在同一直线上，只有前者成立才能确定一个平面，因此，排除C；只有条件D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，因而其三个交点不在同一直线上，由公理2知其可以确定一个平面答案：D3已知a、b是异面直线，直线c直线a，那么c与b()A一定是异面直线 B一
4、定是相交直线C不可能是平行直线D不可能是相交直线解析：假设cb，ca，“ab”与“a，b是异面直线”矛盾假设不成立，即c不可能平行于b.答案：C4三条直线两两相交，可以确定_个平面答案：1或35对于空间三条直线，有下列四个条件：三条直线两两相交且不共点；三条直线两两平行；三条直线共点；有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交其中，使三条直线共面的充分条件是_解析：中两直线相交确定平面，则第三条直线在这个平面内中可能有直线和平面平行中直线最多可确定3个平面同.答案：热点之一 平面基本性质的应用平面的基本性质是通过三个与平面的特征有关的公理来规定的(1)公理1说明了平面与曲面的本质区别通过直线
5、的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法(2)公理2揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法(3)公理3及其三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法例 1 如右图，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，BADFAB90，BC 綊12AD，BE 綊12FA，G、H 分别为 FA、FD 的中点(1)证明：四边形 BCHG
6、是平行四边形；(2)C、D、F、E 四点是否共面？为什么？(2)方法1：证明D点在EF、CH确定的平面内方法2：延长FE、DC分别与AB交于M，M，可证M与M重合，从而FE与DC相交思路探究(1)G、H 为中点GH 綊12AD，又 BC 綊12ADGH 綊 BC课堂记录(1)由已知 FGGA，FHHD，可得 GH 綊12AD.又 BC 綊12AD，GH 綊 BC，四边形 BCHG 为平行四边形(2)方法 1：由 BE 綊12AF，G为FA中点知，BE綊FG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BGCH，EFCH，EF与CH共面又DFH，C、D、F、E四点共面方法2：如右图，延长FE
7、，DC分别与AB交于点M，M，M与M重合，即FE与DC交于点M(M)，C、D、F、E四点共面BE 綊12AF，B 为 MA 中点BC 綊12AD，B 为 MA 中点，即时训练如右图所示，O1是正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点求证：O1、M、A三点共线证明：A1C1B1D1O1，又B1D1平面B1D1A，A1C1平面AA1C1C，O1平面B1D1A，O1平面AA1C1C.A1C平面B1D1AM，A1C平面AA1C1C，M平面B1D1A，M平面AA1C1C.又A平面B1D1A，A平面AA1C1C，O1、M、A在平面B1D1A和平面
8、AA1C1C的交线上，由公理3可知O1、M、A三点共线热点之二 两条直线位置关系的判定异面直线的判定方法：1定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内2反证法：反证法是证异面直线的常用方法定义法仅仅用来直观判断，直观判断还可用以下结论：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线例2(2009辽宁高考)如下图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点(1)若平面ABCD平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线思路探究 对于第(1)问可以根据线面角的概念作出线面角，在已知条
9、件“平面ABCD平面DCEF”下，这个线面角很容易作出来，然后解一个直角三角形即可；第(2)问明确用反证法证明，反设结论，根据线面位置关系进行推理，导出矛盾结果课堂记录(1)如下图所示，取CD的中点G，连接MG，NG.设正方形ABCD，DCEF的边长为2，则 MGCD，MG2，NG 2.因为平面 ABCD平面 DCEF，所以 MG平面 DCEF.可得MNG 是 MN 与平面 DCEF 所成的角因为 MN 6，所以 sinMNG 63 为 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值(2)假设直线ME与BN共面，则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知，两正方形不共面，故AB平
10、面DCEF.又ABCD，所以AB平面DCEF，而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以ABEN.又ABCDEF，所以ENEF，这与ENEFE矛盾，故假设不成立所以ME与BN不共面，它们是异面直线思维拓展 本题考查线面角的计算及用反证法证明两条直线异面，试题的核心部分就是用反证法证明两直线异面，既考查空间线面位置关系的应用又考查重要的数学方法反证法，是高考中立体几何解答题的一个创新，值得关注即时训练 已知a，b，且baA，c，且ca.求证：b和c是异面直线证明：证法1：如右图，因为a，baA，所以A，又c，ca.所以Ac，在直线b上任取一点B(不同于A)，则B.所以b，c是异面直线证法2：
11、假设b，c共面，则bc或b与c相交(1)若bc，又因为ac，所以ab.与已知baA矛盾故bc不成立(2)若b与c相交，设交点为O，因b，c且a，则交点O必在直线a上所以a与c交于O，与已知ac矛盾所以b与c不相交由上可知b和c是异面直线 热点之三 异面直线所成的角1求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移2求异面直线所成角的步骤：作：通过作平行线，得到相交直线；证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；求：通过解三角形，求出该角例3 已知正方体ABCDABCD，(1)求AB与BD所成的角；(2
12、)求AC与BD所成的角思路探究 求异面直线所成的角关键是根据题目所给几何体的特征，利用定义将其转化为一个平面角来解决课堂记录 如下图所示(1)连 结 BD，AD.ABCD ABCD 是 正 方 体，DD 綊BB.四边形DBBD是平行四边形DBBD.AB、DB、AD是全等的正方形的对角线ABBDAD，即ABD是正三角形ABD60.ABD是锐角，ABD是异面直线AB与BD所成的角AB与BD所成的角为60.(2)取DD的中点E，连结EO、EA、EC.O为BD的中点，OEBD.EDAEDC90，ADDC，EDAEDC.EAEC.在等腰EAC中，O是AC的中点，EOAC.EOA90，EOA是异面直线AC
13、与BD所成的角AC与BD所成的角为90.等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB，二面角 CABD 的余弦值为 33，M，N 分别是 AC，BC 的中点，则 EM，AN 所成角的余弦值等于_即时训练解析：如图所示，设 AB2，作 CO平面 ABDE，OFAB，则CFAB，CFO 为二面角 CABD 的平面角，CF 3，OFCFcosCFO1，结合等边三角形 ABC 与正方形 ABDE，可知此四棱锥 CABDE 为正四棱锥，则 ANEMCF 3.取 DE 的中点 G，则 GE 綊12AB.又 MN 綊12AB，MN 綊 GE.四边形 MNGE为平行四边形ME 綊 NG，ANG 就
14、是异面直线 AN 与 EM 所成的角或其补角在ANG 中，ANNG 3，AG 5，由余弦定理，得 cosANG 32 32 522 3 316.故填16.答案：16从近年的高考试题来看，异面直线的判定、异面直线所成角在高考试题中偶尔会出现，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属低中档题，重点考查异面直线的概念、异面直线所成角的定义及求法，同时考查反证法，以及学生的空间想象能力例4(2010浙江高考)如右图，在平行四边形ABCD中，AB2BC，ABC120，E为线段AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成ADE，使平面ADE平面BCD，F为线段AC的中点(1)求证：BF平面ADE；(2)设M为线
15、段DE的中点，求直线FM与平面ADE所成角的余弦值解(1)取 AD 的中点 G，连接 GF，GE，由条件易知FGCD，FG12CD，BECD，BE12CD，所以 FGBE，FGBE，故四边形 BEGF 为平行四边形，所以 BFEG.因为 EG平面 ADE，BF平面 ADE，所以 BF平面 ADE.(2)在平行四边形 ABCD 中，设 BCa，则 ABCD2a，ADAEEBa，连接 CE，因为ABC120，在BCE 中，可得 CE 3a，在ADE 中，可得 DEa，在CDE 中，因为 CD2CE2DE2，所以 CEDE，在正三角形 ADE 中，M 为 DE 中点，所以 AMDE.由平面 ADE平
16、面 BCD，可知 AM平面 BCD，AMCE.取 AE 的中点 N，连接 NM，NF，所以 NFDE，NFAM.又因为 DE 交 AM 于 M，所以 NF平面 ADE，则FMN 为直线 FM 与平面 ADE 所成角在 RtFMN 中，NF 32 a，MN12a，FMa，则 cosFMN12，所以直线 FM 与平面 ADE 所成角的余弦值为12.1(2010全国卷)正方体 ABCDA1B1C1D1 中，BB1 与平面ACD1 所成角的余弦值为()A.23 B.33 C.23D.63解析：BB1与平面 ACD1所成角等于 DD1与平面 ACD1所成角，在三棱锥 DACD1 中，由三条侧棱两两垂直得
17、点 D 在底面 ACD1内的射影为等边ACD1 的垂心即中心 H，则DD1H 为 DD1 与平面 ACD1 所成角，设正方体的棱长为 a，则 cosDD1H63 aa 63，故选 D.答案：D 2(2010天津高考)如右图，在五面体 ABCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，FA平面 ABCD，BCAD，CD1，AD2 2，BADCDA45.(1)求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值；(2)证明：CD平面 ABF.解：(1)因为四边形 ADEF 是正方形，所以 FAED.故CED为异面直线 CE 与 AF 所成的角因为 FA平面 ABCD，所以 FACD，故 EDCD.在 RtCDE 中，CD1，ED2 2，CE CD2ED23，故 cosCEDEDCE2 23.所以异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值为2 23.(2)过点B作BGCD，交AD于点G，则BGACDA45.由BAD45，可得BGAB.从而CDAB.又CDFA，FAABA，所以CD平面ABF.
