1、1.理解n次独立重复试验的模型和二项分布,并能利用它们解决一些简单的实际问题.2.通过本节课的学习,认真体会模型化思想在解决问题中的作用,感受概率在生活中的应用,提高数学的应用意识.1 2 1.独立重复试验 在相同的条件下,重复地做n次试验,各次试验的结果相互独立,那么称它们为n次独立重复试验.如果在一次试验中事件A发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率 名师点拨(1)独立重复试验中,每次试验都只有两种结果(即某事件要么发生,要么不发生),并且在任何一次试验中,事件发生的概率均相等.(2)独立重复试验是相互独立事件的特例,只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的
2、概率公式计算更简单.要弄清n,p,k的意义.Pn(k)=C (1 )(=0,1,2,).1 2【做一做 1-1】一名学生通过某种外语听力测试的概率为13,如果他连续测试 3 次,那么其中恰有 1 次获得通过的概率是()A.49B.29C.427D.227解析:一名学生测试1次有两种结果:要么通过,要么不通过.他连续测试3次,相当于做3次独立重复试验,根据n次独立重复试验事件A发生k次的概率公式知,连续测试3次恰有1次获得通过的概率为 答案:A P=C31 13 1 1-13 2=49.故选 A.1 2【做一做1-2】某处有供水龙头5个,调查显示每个水龙头被打开的可能性为,3个水龙头同时被打开的
3、概率为 .解析:对5个水龙头的处理可视为做5次试验,每次试验有2种可能结果即“打开”或“不打开”,相应的概率为0.1和1-0.1=0.9,根据题意得P5(3)=(0.1)3(1-0.1)5-3=0.008 1.答案:0.008 1 110 C53 1 2 2.二项分布如果随机变量 X 的分布列为(q=1-p)X 01knP n0p0qnn1p1qn-1nkpkqn-knnpnq0由于表中第二行恰好是二项式展开式(q+p)n=C0p0qn+C1p1qn-1+Cpkqn-k+Cpnq0 各对应项的值,所以称这样的离散型随机变量 X 服从参数为 n,p 的二项分布,记作XB(n,p).名师点拨 二项
4、式(q+p)n 的展开式中,第 k+1 项为 Tk+1=Cpkqn-k,可见 P(X=k)就是二项式(q+p)n 的展开式中的第 k+1 项,故此公式称为二项分布公式,并称 p 为成功概率.1 2【做一做2-1】下面三个随机变量:随机变量表示重复抛掷一枚硬币n次中正面向上的次数;有一批产品共有N件,其中M件是次品,采用有放回抽取的方法,则表示n次抽取中出现次品的件数;随机变量为n次射击中命中目标的次数.上述三个随机变量中服从二项分布的是 .(填序号)解析:二项分布是一种重要的离散型随机变量分布列,随机变量必须是从0至n的取值.答案:1 2【做一做 2-2】已知 XB 6,13,则 P(X=2)
5、=()A.316B.4243C.13243D.80243解析:P(X=2)=C62 13 2 1-13 4=15 19 1681=80243.答案:D 1.如何理解n次独立重复试验?剖析(1)独立重复试验满足的条件:每次试验是在同样条件下进行的;各次试验中的事件是相互独立的;每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.(2)独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题,但在实际应用中,从大批产品中抽取少量样品的不放回检验,可以近似地看作此类型,因此独立重复试验在实际问题中应用广泛.2.如何理解二项分布?剖析(1)二项分布实际上只是对n次独立重复试验从概率分布的角度作了进一步的阐述,与n
6、次独立重复试验恰有k次发生的概率呼应,是概率论中最重要的几种分布之一.(2)判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有二:其一是对立性,即一次试验中,事件发生与否,二者必居其一;其二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次.(3)由二项分布的定义,若 XB(n,p),则 P(X=k)=Cpk(1-p)n-k.题型一 题型二 题型三 题型四 题型一独立重复试验的概率【例1】甲足球队与乙足球队举行对抗赛,甲队获胜的概率为0.6,现双方商量对抗赛的方式,提出了两种方案:双方进行3场比赛;双方进行5场比赛.两种方案中均以比赛中得胜场数多的一方为胜利,问对乙队来说,哪一种方案更有利?分析因为每进行一次对抗赛
7、都可以看作是一次独立的重复性试验,所以比赛的场次都可以看作是独立重复试验,故选用n次独立重复试验恰好发生k次的概率模型作为解决问题的最基本的数学模型.题型一 题型二 题型三 题型四 解:由题意可知,双方进行n场比赛相当于n次独立重复试验,由n次独立重复试验中事件发生k次的概率公式,对乙队而言在3场比赛中获胜的概率为乙队在5场比赛中获胜的概率为 P2=P5(3)+P5(4)+P5(5)=0.230 4+0.076 8+0.010 24=0.317 44.P1P2,对乙队而言,采用方案获胜的可能性要大一些.P1=P3(2)+P3(3)=C32(1-0.6)20.6+C33(1-0.6)30.60=
8、0.352;=C53(1-0.6)30.62+C54(1-0.6)40.6+C55(1-0.6)50.60题型一 题型二 题型三 题型四 反思(1)解决实际问题的首要工作就是根据实际问题的特点和所学概型的特点进行比对,找到二者之间的一致性,从而确定其数学模型,进而使问题获解.(2)利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X=k)=的三个条件.Cpk(1-p)n-k 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二二项分布问题【例2】一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有6个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是(1)设X为这名
9、学生在途中遇到红灯的次数,求X的分布列;(2)设Y为这名学生在首次停车时经过的路口数,求Y的分布列;(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.分析本题主要考查独立重复试验的概率和二项分布等知识.13.题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)将通过每个交通岗看作一次试验,则遇到红灯的概率为13,且每次试验结果是相互独立的,故 XB 6,13,以此为基础求 X 的分布列.由 XB 6,13,得 X 的分布列为X 0123P60 13 0 23 661 13 1 23 562 13 2 23 463 13 3 23 3X 456P64 13 4 23 265 13 5 23 166 13 6
10、23 0 题型一 题型二 题型三 题型四(2)由于 Y 表示这名学生在首次停车时经过的路口数,显然 Y 是随机变量,其取值为 0,1,2,3,4,5,6.其中:Y=k(k=0,1,2,3,4,5)表示前 k 个路口没有遇上红灯,但在第(k+1)个路口遇上红灯,故各概率应按独立事件同时发生计算,P(Y=k)=23 13(k=0,1,2,3,4,5).而Y=6表示一路没有遇上红灯,故其概率为 P(Y=6)=23 6.因此 Y 的分布列为题型一 题型二 题型三 题型四 Y0 123456P1313 2313 23 213 23 313 23 413 23 5 23 6(3)这名学生在途中至少遇到一次
11、红灯的概率为P(X1)=16P(X=k)=1-P(X=0)=1-23 6=665729 0.912.题型一 题型二 题型三 题型四 反思 解决离散型随机变量分布列问题时,主要依靠概率的有关概念和运算,其关键是要识别题中的离散型随机变量服从什么分布,像本例中随机变量X表示遇到红灯次数,而每次遇到红灯是相互独立的,因此这是一个独立重复事件,符合二项分布,即XB(n,p).分布列能完整地刻画随机变量X与相应概率的变化情况,在分布列中第一行表示X的所有可能取值,第二行对应的各个值(概率值)必须都是非负实数且满足其和为1.题型一 题型二 题型三 题型四 题型三综合应用【例 3】某人抛掷一枚硬币,出现正面
12、与反面的概率都是12,构造数列an,使 an=1,当第次出现正面时,-1,当第次出现反面时.记 Sn=a1+a2+an(nN+).(1)求S8=2时的概率;(2)求S20且S8=2时的概率.分析弄清“S8=2”及“S20且S8=2”对应的事件再根据相应公式求解.题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)S8=2,需 8 次中有 5 次正面 3 次反面,设其概率为 P1,则P1=C85 12 5 12 3=87632 12 8=732.(2)S20 即前两次同时出现正面或同时出现反面.当前两次同时出现正面时,S2=2,要使 S8=2,需后 6 次中有 3 次正面 3 次反面.设其概率为 P2,则
13、 P2=12 12 C63 12 3 12 3=12 8 65432=564.题型一 题型二 题型三 题型四 当前两次同时出现反面时,S2=-2,要使 S8=2,需后 6 次中有 5次正面 1 次反面.设其概率为 P3,则 P3=12 12 C65 12 5 12=12 86=3128.所以利用互斥事件概率公式,当 S20 且 S8=2 时的概率:P=P2+P3=564+3128=13128.题型一 题型二 题型三 题型四 题型四易错辨析【例 4】假定人在一年 365 天中的任一天出生的概率是一样的,某班级有 50 名学生,其中至少有两人生于元旦的概率是多少?错解:由于每个人在每天出生的概率为
14、 1365,一个人在 365 天内的生日相当于做了 365 次独立重复试验.设 50 名学生中生于元旦的人数为 X,则 P(X=0)=C3650 1365 0 364365 50,P(X=1)=C3651 1365 1 364365 49,所以至少有两人生于元旦的概率为P(X2)=1-P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-C3650 1365 0 364365 50 C3651 1365 1 364365 49.题型一 题型二 题型三 题型四 错因分析上述错解:没有弄清所解的问题是否是独立重复试验,每次试验指的是什么.由于每个人在一年中生于元旦的概率为1365,50 名同学的生日相当
15、于进行 50 次试验,各次互不影响,从而考虑重复试验问题.题型一 题型二 题型三 题型四 正解由题意,记“有一个人生日是元旦”为事件 A,则 50 名学生的生日相当于进行 50 次试验,显然各人的生日是随机的、互不影响的,所以属于 50 次独立重复试验,P(A)=1365.设 50 名学生中生于元旦的人数为 X,则 P(X=0)=C500 1365 0 364365 50,P(X=1)=C501 1365 1 364365 49,所以至少有两人生于元旦的概率为P(X2)=1-P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-C500 1365 0 364365 50C501 1365 1 364
16、365 490.008 4.123451.独立重复试验应满足的条件是()每次试验之间是相互独立的;每次试验只有发生与不发生两种结果;每次试验中发生的机会是均等的;每次试验发生的事件是互斥的.A.B.C.D.答案:C 123452.下面随机变量X的分布列不属于二项分布的是()A.据报道,下周内在某网站下载一次数据,电脑被感染某种病毒的概率是0.65.设在这一周内,某电脑从该网站下载数据n次中被感染这种病毒的次数为X B.某射手射击击中目标的概率为p,设每次射击是相互独立的,从开始射击到击中目标所需要的射击次数为X C.某射手射击击中目标的概率为p,设每次射击是相互独立的,射击n次恰好命中目标的次
17、数为X D.位于某汽车站附近有一个加油站,汽车每次出站后到这个加油站加油的概率为0.6,某天有50辆汽车开出该站,假设一天里汽车去该加油站加油是相互独立的,去该加油站加油的汽车数为X 答案:B 123453.箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球.从箱中一次摸出两个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是4的倍数,则获奖.现有4人参与摸奖,恰好有3人获奖的概率是()A.16625B.96625C.624625D.4625解析:若摸出的两球中含有 4,必获奖,有 5 种情况;若摸出的两球是2,6,也能获奖.故获奖的情况共有 6 种,获奖概率为 6C62=25.现有 4 人参与摸奖,恰有 3 人获奖的概率是C43 25 3 1-25=96625.答案:B 123454.袋子里装有5张卡片,用1,2,3,4,5编号,从中抽取3次,每次抽出一张且抽后放回,则3次中恰有两次抽得奇数编号的卡片的概率为 .答案:0.432 解析:在每次抽取中,抽到奇数的概率为35,故 P=C32 35 2 25 1=3 925 25=0.432.123455.设随机变量 B(2,p),B(3,p),若 P(1)=34,则P(1)=.解析:34=P(1)=1-P(=0)=1-(1-p)2,p=12.P(1)=1-P(=0)=1-(1-p)3=78.答案:78
