1、高考大题专项练三高考中的数列1.(2020全国,文17)设等比数列an满足a1+a2=4,a3-a1=8.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为数列log3an的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.解：(1)设an的公比为q,则an=a1qn-1.由已知得a1+a1q=4,a1q2-a1=8,解得a1=1,q=3.所以an的通项公式为an=3n-1.(2)由(1)知log3an=n-1,故Sn=n(n-1)2.由Sm+Sm+1=Sm+3得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即m2-5m-6=0,解得m=-1(舍去),m=6.2.已知等比数列an的前n项和为Sn,若S6S3
2、=9,a2+a5=36,数列bn满足bn=anlog2an.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列bn的前n项和Tn.解：(1)设等比数列an的公比为q(q1),因为S6S3=9,a2+a5=36,所以1-q61-q3=9,a1q+a1q4=36,解得a1=2,q=2,所以an=2n.(2)由(1)知,bn=2nlog22n=n2n,则Tn=12+222+323+n2n,2Tn=122+223+324+n2n+1,两式相减得-Tn=2+22+23+2n-n2n+1=2(1-2n)1-2-n2n+1=2n+1-n2n+1-2,故Tn=(n-1)2n+1+2.3.若数列an的前n项和为Sn,且a
3、10,2Sn=an2+an(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)若an0(nN*),令bn=1an(an+2),求数列bn的前n项和Tn.解：(1)当n=1时,2S1=a12+a1,则a1=1.当n2时,an=Sn-Sn-1=an2+an2-an-12+an-12,即(an+an-1)(an-an-1-1)=0an=-an-1或an=an-1+1,故an=(-1)n-1或an=n.(2)由an0,得an=n,bn=1n(n+2)=121n-1n+2,故Tn=121-13+12-14+1n-1n+2=121+12-1n+1-1n+2=34-2n+32(n+1)(n+2).4.设an是等差
4、数列,其前n项和为Sn(nN*);bn是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(nN*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.(1)求Sn和Tn;(2)若Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.解：(1)设等比数列bn的公比为q.由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0.因为q0,可得q=2,故bn=2n-1.所以,Tn=1-2n1-2=2n-1.设等差数列an的公差为d.由b4=a3+a5,可得a1+3d=4.由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,从而a1=1,d=1,故an=n.所以,Sn=n(n+1)2.(2)由(1),
5、有T1+T2+Tn=(21+22+2n)-n=2(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2.由Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn可得,n(n+1)2+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4.所以,n的值为4.5.已知f(x)=2sin2x,集合M=x|f(x)|=2,x0,把M中的元素从小到大依次排成一列,得到数列an,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)记bn=1an+12,设数列bn的前n项和为Tn,求证:Tn0,则2x=k+2,解得x=2k+1(kZ),把M中的元素从小到大依次排成一列,得到数列an,所以an=2n-1.(2)证明
6、bn=1an+12=1(2n+1)214n2+4n=141n-1n+1,故Tn=b1+b2+bn141-12+12-13+1n-1n+1=141-1n+11,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列bn满足b1=1,数列(bn+1-bn)an的前n项和为2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列bn的通项公式.解：(1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20,得8q+1q=20,解得q=2或q=12,因为q1,所以q=2.(2)设cn=(bn+1-bn)an,数列cn前n项和为Sn
7、,由cn=S1,n=1,Sn-Sn-1,n2,解得cn=4n-1.由(1)可知an=2n-1,所以bn+1-bn=(4n-1)12n-1.故bn-bn-1=(4n-5)12n-2,n2,bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)12n-2+(4n-9)12n-3+712+3.设Tn=3+712+11122+(4n-5)12n-2,n2,12Tn=312+7122+(4n-9)12n-2+(4n-5)12n-1,所以12Tn=3+412+4122+412n-2-(4n-5)12n-1,因此Tn=14-(4n+3)12n-2,n2,又b1=
8、1,所以bn=15-(4n+3)12n-2,n2.因为b1=1满足上式,所以bn=15-(4n+3)12n-2.7.已知正项数列an的首项a1=1,前n项和Sn满足an=Sn+Sn-1(n2).(1)求证:Sn为等差数列,并求数列an的通项公式;(2)记数列1anan+1的前n项和为Tn,若对任意的nN*,不等式4Tna2-a恒成立,求实数a的取值范围.解：(1)因为an=Sn+Sn-1,n2,所以Sn-Sn-1=Sn+Sn-1,即Sn-Sn-1=1,所以数列Sn是首项为S1=a1=1,公差为1的等差数列,得Sn=n,所以an=Sn+Sn-1=n+(n-1)=2n-1(n2),当n=1时,a1
9、=1也适合,所以an=2n-1.(2)因为1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,所以Tn=121-13+13-15+12n-1-12n+1=121-12n+1.所以Tn12.要使不等式4Tna2-a恒成立,只需2a2-a恒成立,解得a-1或a2,故实数a的取值范围是(-,-12,+).8.设an是等差数列,bn是等比数列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3.(1)求an和bn的通项公式;(2)设数列cn满足cn=1,n为奇数,bn2,n为偶数,求a1c1+a2c2+a2nc2n(nN*).解：(1)设等差数列an的公差为d,等比数列b
10、n的公比为q.依题意,得3q=3+2d,3q2=15+4d,解得d=3,q=3.故an=3+3(n-1)=3n,bn=33n-1=3n.所以,an的通项公式为an=3n,bn的通项公式为bn=3n.(2)a1c1+a2c2+a2nc2n=(a1+a3+a5+a2n-1)+(a2b1+a4b2+a6b3+a2nbn)=n3+n(n-1)26+(631+1232+1833+6n3n)=3n2+6(131+232+n3n).记Tn=131+232+n3n,则3Tn=132+233+n3n+1,-得,2Tn=-3-32-33-3n+n3n+1=-3(1-3n)1-3+n3n+1=(2n-1)3n+1+32.所以,a1c1+a2c2+a2nc2n=3n2+6Tn=3n2+3(2n-1)3n+1+32=(2n-1)3n+2+6n2+92(nN*).
