1、考点测试41椭圆高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分或12分，中、高等难度考纲研读1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2了解椭圆的简单应用3理解数形结合的思想一、基础小题1已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1B1C.1Dy21答案C解析依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c1，e，所以a2，b2a2c23，因此其方程是1.故选C.2椭圆x2my21的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m等于()A.B2C.4D答案D解析由x21及题意知，2221，得m.故选D.3
2、已知动点M(x，y)满足 4，则动点M的轨迹是()A椭圆B直线C.圆D线段答案D解析设点F1(2,0)，F2(2,0)，由题意知动点M满足|MF1|MF2|4|F1F2|，故动点M的轨迹是线段F1F2.故选D.4设F1，F2为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()A.BC.D答案B解析由题意知a3，b.由椭圆定义知|PF1|PF2|6.在PF1F2中，因为PF1的中点在y轴上，O为F1F2的中点，由三角形中位线的性质可推得PF2x轴，所以由xc时可得|PF2|，所以|PF1|6|PF2|，所以.故选B.5已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，且
3、点N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A圆B椭圆C.双曲线D抛物线答案B解析点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|PN|，又AM是圆的半径，所以|PM|PN|PM|PA|AM|6|MN|，由椭圆定义知，动点P的轨迹是椭圆故选B.6(多选)已知P是椭圆C：y21上的动点，Q是圆D：(x1)2y2上的动点，则()AC的焦距为BC的离心率为C圆D在C的内部D|PQ|的最小值为答案BC解析y21，a，b1，c，则C的焦距为2，离心率e.设P(x，y)，则|PD|2(x1)2y2(x1)212，圆D在C的内部，且|PQ|的最小值为 .故选BC.7(多选)椭圆C：y21的
4、左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以下说法正确的是()A过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则ABF1的周长为8B椭圆C上存在点P，使得0C椭圆C的离心率为DP为椭圆y21上一点，Q为圆x2y21上一点，则点P，Q间的最大距离为3答案ABD解析对于A，因为F1，F2分别为椭圆C：y21的左、右焦点，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，由椭圆定义可得，|AF1|AF2|BF1|BF2|2a4，因此ABF1的周长为|AF1|BF1|AB|AF1|BF1|AF2|BF2|4a8，故A正确；对于B，设点P(x，y)为椭圆C：y21上任意一点，则点P坐标满足y21，且2x2，又F1(，0)，
5、F2(，0)，所以(x，y)，(x，y)，因此(x)(x)y2x2312，由20，可得x2,2，故B正确；对于C，因为a24，b21，所以c2413，即c，所以离心率为e，故C错误；对于D，设点P(x，y)为椭圆C：y21上任意一点，由题意可得，点P(x，y)到圆x2y21的圆心的距离为|PO|，因为1y1，所以|PQ|max|PO|max113，故D正确故选ABD.8已知A(3,0)，B(2,1)是椭圆1内的点，M是椭圆上的一动点，则|MA|MB|的最大值为_，最小值为_答案1010解析由题意知A为椭圆的右焦点，设左焦点为F1，由椭圆的定义知|MF1|MA|10，所以|MA|MB|10|MB
6、|MF1|.又|MB|MF1|BF1|，所以|BF1|MB|MF1|BF1|，如图，设直线BF1交椭圆于M1，M2两点当M为点M1时，|MB|MF1|最小，当M为点M2时，|MB|MF1|最大所以|MA|MB|的最大值为10，最小值为10.二、高考小题9(2021新高考卷)已知F1，F2是椭圆C：1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|MF2|的最大值为()A13B12C.9D6答案C解析由椭圆的定义可知，|MF1|MF2|2a6.由基本不等式可得|MF1|MF2|229，当且仅当|MF1|MF2|3时等号成立故选C.10(2021全国乙卷)设B是椭圆C：1(ab0)的上顶点，若C上的任意一点P
7、都满足|PB|2b，则C的离心率的取值范围是()A.BC.D答案C解析依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|b，1，可得xa2y，则|PB|2x(y0b)2xy2by0b2y2by0a2b24b2.因为当y0b时，|PB|24b2，所以b，得2c2a2，所以离心率e.故选C.11(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()A.y21B1C.1D1答案B解析设椭圆的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义可得|AF1|AB|BF1|4a.|AB|BF1|，|AF2|
8、2|F2B|，|AB|BF1|AF2|，|AF1|3|AF2|4a.又|AF1|AF2|2a，|AF1|AF2|a，点A是椭圆的短轴端点，如图不妨设A(0，b)，由F2(1,0)，2，得B.由点B在椭圆上，得1，得a23，b2a2c22.椭圆C的方程为1.故选B.12(2021浙江高考)已知椭圆1(ab0)，焦点F1(c,0)，F2(c,0)(c0)若过F1的直线和圆2y2c2相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2x轴，则该直线的斜率是_，椭圆的离心率是_答案解析设过F1的直线与圆的切点为M，圆心A，则|AM|c，|AF1|c，所以|MF1|c，所以该直线的斜率k.因为PF2x轴，所以|PF
9、2|，又|F1F2|2c，所以k，解得e(负值舍去)13(2021全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为_答案8解析解法一：由|PQ|F1F2|，得|OP|F1F2|(O为坐标原点)，所以PF1PF2，又由椭圆的对称性，知四边形PF1QF2为平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形设|PF1|m，则|PF2|2a|PF1|8m，则|PF1|2|PF2|2m2(8m)22m26416m|F1F2|24c24(a2b2)48，得m(8m)8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|PF2|m(8m)8.
10、解法二：由椭圆C：1可知|F1F2|4.由P，Q为C上关于坐标原点对称的两个点，且|PQ|F1F2|，得|PO|QO|2(O为坐标原点)，所以P，Q既在椭圆1上，又在圆x2y212上不妨设点P在第一象限，则由可得P，所以由对称性，可得四边形PF1QF2的面积S四边形PF1QF22SPF1F22|F1F2|yP248.解法三：由椭圆方程知，a4，b2，则c2.由点P在椭圆上，得|PF1|PF2|8，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|64.由椭圆的对称性及|PQ|F1F2|知，四边形PF1QF2是矩形，在RtPF1F2中，由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，所以|PF
11、1|2|PF2|248.由得|PF1|PF2|8，所以S四边形PF1QF2|PF1|PF2|8.14(2019全国卷)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_答案(3，)解析设F1为椭圆的左焦点，则|MF1|MF2|，|F1F2|2c28，因为MF1F2为等腰三角形，|MF1|MF2|，且|MF1|MF2|2a12，所以|MF1|6，|MF2|0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若F1AF2，则m()A1BC.D2答案C解析在椭圆1(m0)中，a，bm，c1，如图所示，因为椭圆1(m0)的上顶点为点A，焦点为F1，F2，所以|AF1|
12、AF2|a，因为F1AF2，所以F1AF2为等边三角形，则|AF1|F1F2|，即a2c2，因此，m.故选C.18(2022湖南长沙长郡中学高三上开学考试)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点F，点P在椭圆C上，点Q在圆E：(x3)2(y4)24上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若|PQ|PF|的最小值为26，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则椭圆C的标准方程为()A.y21By21C.1D1答案C解析因为圆E：(x3)2(y4)24的半径为2，所以a2，设椭圆的左焦点为F1(c,0)，由椭圆的定义可得|PF1|PF|2a4，所以|PF|4|PF1|，所以|PQ|PF|PQ|PF1|4|QF
13、1|4|QF1|EQ|6|EF1|6，当且仅当P，Q位于线段EF1上时，等号成立，又|PQ|PF|的最小值为26，所以|EF1|626，即|EF1|2，所以2，解得c1或c5a2(舍)所以b2a2c2413，所以椭圆C的标准方程为1.故选C.19(多选)(2021广东韶关第一次综合测试)设P是椭圆1(ab0)上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，焦距为2c(c0)，若F1PF2是直角，则()A|OP|c(O为原点)BSF1PF2b2CF1PF2的内切圆半径racD|PF1|maxac答案ABC解析在RtF1PF2中，O为斜边F1F2的中点，所以|OP|F1F2|c，故A正确；设|PF1|m，|
14、PF2|n，则有m2n2(2c)2，mn2a，所以mn(mn)2(m2n2)2b2，所以SF1PF2mnb2，故B正确；因为SF1PF2(mn2c)rb2，所以rac，故C正确；|PF1|ac，当且仅当P为椭圆右顶点，此时P，F1，F2不构成三角形，故D错误20(多选)(2021山东潍坊6月模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|2，点P(1,1)在椭圆的内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是()A|QF1|QP|的最小值为21B椭圆C的短轴长可能为2C椭圆C的离心率的取值范围为D若，则椭圆C的长轴长为答案ACD解析因为|F1F2|2，所以F2(1,0)，|P
15、F2|1，所以|QF1|QP|2|QF2|QP|2|PF2|21，当Q，F2，P三点共线且点Q在第一象限时，取等号，故A正确；若椭圆C的短轴长为2，则b1，a2，所以椭圆C的方程为1，又1，则点P在椭圆外，故B错误；因为点P(1，1)在椭圆内部，所以1，又ab1，所以ba1，所以0，解得a，所以，所以eb0)的左焦点为F，过点F且倾斜角为45的直线l与椭圆交于A，B两点(点B在x轴上方)，且2，则椭圆的离心率为_答案解析设F(c,0)，c0，由题意知，l的斜率为tan451，则直线方程为yxc，设A(x1，y1)，B(x2，y2)联立直线和椭圆的方程得整理得(a2b2)y22cb2yc2b2a
16、2b20，则y1y2，y1y2，且2，可得y22y1，则y1，2y，所以22，可得9c22a2，所以e.22(2022湖北恩施州高三上第一次教学质量监测)设点P是椭圆1上的点，F1，F2是该椭圆的两个焦点，若PF1F2的面积为，则sinF1PF2_.答案解析在椭圆1中，长半轴长a3，半焦距c2，由椭圆定义得|PF1|PF2|2a6，在PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，即(2c)2(2a)22|PF1|PF2|(1cosF1PF2)，则|PF1|PF2|(1cosF1PF2)10，又PF1F2的面积为，则|PF1|PF2|sin
17、F1PF2，即|PF1|PF2|sinF1PF25，于是得2sinF1PF21cosF1PF2，两边平方得(1cosF1PF2)24sin2F1PF24(1cosF1PF2)(1cosF1PF2)，解得cosF1PF2，则sinF1PF2，所以sinF1PF2.一、高考大题1(2021北京高考)已知椭圆E：1(ab0)过点A(0，2)，以四个顶点围成的四边形面积为4.(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点P(0，3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC分别交直线y3于点M，N，若|PM|PN|15，求k的取值范围解(1)因为椭圆过A(0，2)，所以b2，因为四个顶点围成的
18、四边形的面积为4，所以2a2b4，即a，故椭圆E的标准方程为1.(2)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，因为直线BC的斜率存在，所以x1x20，故直线AB的方程为yx2，令y3，则xM，同理xN.设直线BC的方程为ykx3，由可得(45k2)x230kx250，故900k2100(45k2)0，解得k1.又x1x2，x1x2，故x1x20，所以xMxN0.又|PM|PN|xMxN|5|k|，故5|k|15，即|k|3，综上，k的取值范围是3，1)(1,32(2021天津高考)已知椭圆1(ab0)的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且|BF|.(1)求椭圆的方程；(2)直线l与椭圆有唯一的公
19、共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P.若MPBF，求直线l的方程解(1)易知点F(c,0)，B(0，b)，故|BF|a，因为椭圆的离心率为e，故c2，b1，因此，椭圆的方程为y21.(2)设点M(x0，y0)(y00)为椭圆y21上一点，先证明直线MN的方程为y0y1，联立消去y并整理得x22x0xx0，4x4x0，因此，椭圆y21在点M(x0，y0)处的切线方程为y0y1.在直线MN的方程中，令x0，可得y，由题意可知y00，即点N，直线BF的斜率为kBF，所以直线PN的方程为y2x，在直线PN的方程中，令y0，可得x，即点P，因为MPBF，所以kMPkBF，即，
20、整理可得(x05y0)20，所以x05y0，所以y6y1，又y00，故y0，x0，所以直线l的方程为xy1，即xy0.3(2021新高考卷)已知椭圆C的方程为1(ab0)，右焦点为F(，0)，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2y2b2(x0)相切证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|.解(1)由题意，知椭圆的半焦距c且e，所以a，又b2a2c21，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：由(1)得，曲线为x2y21(x0)，当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x1，不符合题意；当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)必要
21、性：若M，N，F三点共线，可设直线MN：yk(x)，即kxyk0，由直线MN与曲线x2y21(x0)相切可得1，解得k1，联立可得4x26x30，所以x1x2，x1x2，所以|MN|，所以必要性成立；充分性：设直线MN：ykxm(km0)相切可得1，所以m2k21，联立可得(13k2)x26kmx3m230，所以x1x2，x1x2，所以|MN| ，化简得3(k21)20，所以k1，所以或所以直线MN：yx或yx，所以直线MN过点F(，0)，即M，N，F三点共线，充分性成立所以M，N，F三点共线的充要条件是|MN|.二、模拟大题4(2022广东高三综合能力测试)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在
22、x轴上，焦距为2，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点A，F分别为椭圆C的左顶点、右焦点，过点F的直线交椭圆C于P，Q两点，直线AP，AQ分别与直线l：x3交于点M，N，求证：直线FM和直线FN的斜率之积为定值解(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，焦距为2c，依题意，可得解得a2，c1，又a2b2c2，则b，所以椭圆C的标准方程为1.(2)证明：由(1)得A(2,0)，F(1,0)，设直线PQ：xmy1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立消去x，整理，得(3m24)y26my90，则y1y2，y1y2，依题意，可设M(3，yM)，N(3，yN)，则
23、由，可得yM，同理，可得yN，所以直线FM和直线FN的斜率之积kFMkFN.所以直线FM和直线FN的斜率之积为定值.5(2022长春四校联考)已知平面上一动点P到定点F(，0)的距离与它到直线x的距离之比为，记动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设直线l：ykxm与曲线C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOMkON，求MON面积的最大值解(1)设P(x，y)，则，化简，得y21.即曲线C的方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得(4k21)x28kmx4m240，依题意，得(8km)24(4k21)(4m24)0，化简，得m24k21，x1x2，x1x2，
24、y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，若kOMkON，则，即4y1y25x1x2，4k2x1x24km(x1x2)4m25x1x2，(4k25)4km4m20，即(4k25)(m21)8k2m2m2(4k21)0，化简，得m2k2，|MN|x1x2|，原点O到直线l的距离d，SMON|MN|d .设4k21t，由得0m2，k2，t6，b0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆O上运动，若PAB面积的最大值为2，椭圆O的离心率为.(1)求椭圆O的标准方程；(2)过B点作圆E：x2(y2)2r2(0r2)的两条切线，分别与椭圆O交于C，D两点(异于点B)，当r变化时，直线CD是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由解(1)由题可知当点P在椭圆O的上顶点(或下顶点)时，SPAB最大，此时SPAB2abab2，椭圆O的标准方程为1.(2)设过点B(2,0)与圆E相切的直线方程为yk(x2)，即kxy2k0，直线与圆E：x2(y2)2r2相切，dr，即(4r2)k28k4r20.设两切线的斜率分别为k1，k2(k1k2)，则k1k21，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由(34k)x216kx16k120，2x1，即x1，y1；同理，x2，y2；kCD.直线CD的方程为y，整理得yx(x14)直线CD恒过定点(14,0)
