1、课时跟踪检测（二十五） 双曲线的简单几何性质1双曲线x2my21的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于()A BC2 D4解析：选D双曲线x2my21的实轴长为2，虚轴长为2，由双曲线x2my21的实轴长是虚轴长的2倍，可得24，解得m4.2(2018全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A B2C D2解析：选De，1.双曲线的渐近线方程为xy0.点(4,0)到C的渐近线的距离d2.3已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为()A1 B1C1 D1解析：选D由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2y2(0)，将点(5,3
2、)代入方程，可得523216，所以双曲线方程为x2y216，即1.4斜率为的直线与双曲线1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是()A2，) B(2，)C(1，) D(，)解析：选D因为斜率为的直线与双曲线1恒有两个公共点，所以，所以e .所以双曲线离心率的取值范围是(，)5已知双曲线1的离心率e(1,2)，则m的取值范围是()A(12,0) B(，0)C(3,0) D(60，12)解析：选A显然m0，所以a24，b2m，c2a2b24m，因为e(1,2)，所以e2(1,4)，所以(1,4)，所以m(12,0)6焦点为(0,6)，且与双曲线y21有相同的渐近线的双曲线方程是_. 解析：由y
3、21，得双曲线的渐近线为yx.设双曲线方程为y2(0)的左、右焦点分别是F1，F2，其中一条渐近线方程为yx，点P(，y0)在双曲线上，则_. 解析：由渐近线方程可知双曲线为等轴双曲线，所以b22，所以双曲线方程为1，代入点P的坐标可得y1，由c2可知，F1(2,0)，F2(2,0)所以(2，y0)(2，y0)0.答案：09已知F1，F2分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，且双曲线C的实轴长为6，离心率为.(1)求双曲线C的标准方程；(2)设点P是双曲线C上任意一点，且|PF1|10，求|PF2|.解：(1)由题意知，2a6，解得a3，c5，故b4.所以双曲线C的标准方程为1.(2)
4、因为ac8，|PF1|108，所以点P可能在双曲线的左支上也可能在双曲线的右支上若点P在双曲线的左支上，则|PF2|PF1|2a6，所以|PF2|PF1|616; 若点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a6，所以|PF2|PF1|64.综上，|PF2|16或4.10双曲线1(0ab)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率解：由l过两点(a,0)，(0，b)，设l的方程为bxayab0.由原点到l的距离为c，得c.将b代入，平方后整理，得1621630.令x，则16x216x30，解得x或x.因为e，有e.故e或e2.因为0a，所以离
5、心率e为2.1(2019全国卷)双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为()A2sin 40 B2cos 40C D解析：选D由题意可得tan 130，所以e.2(2018全国卷)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|()A B3C2 D4解析：选B法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y x设两条渐近线的夹角为2，则有tan ，所以30.所以MON260.又OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MNON，如图所示在RtONF中，|OF|2，则|ON|.在RtOM
6、N中，|MN|ON|tan 2tan 603.故选B.法二：因为双曲线y21的渐近线方程为yx，所以MON60.不妨设过点F的直线与直线yx交于点M，由OMN为直角三角形，不妨设OMN90，则MFO60，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y(x2)，由得所以M，所以|OM| ，所以|MN|OM|3，故选B.3(2020郑州一中月考)设双曲线1(a0，b0)的左、右顶点分别为A，B，点P在双曲线上，且异于A，B两点O为坐标原点，若直线PA，PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为_解析：由题意设A(a,0)，B(a,0)，P(x，y)，由点P在双曲线上，得1，即，由kPAkPB，得.所
7、以.所以该双曲线的离心率e .答案：4中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x5)2y216相切(1)求双曲线的离心率；(2)P(3，4)是渐近线上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若PF1PF2，求双曲线的方程解： (1)设经过第一、三象限的渐近线的方程为ykx，则4，解得k.若双曲线焦点在x轴上，则，e；若双曲线焦点在y轴上， 则，e，故所求双曲线的离心率为e或e.(2)由题意设F1(c,0)，F2(c,0)，由PF1PF2，得0，所以(3c)(3c)160，即c5，由(1)知，又a2b2c225，所以a3，b4，所以双曲线的方程为1.5. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2，其中O为原点，求k的取值范围解：(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0)，由已知得a，c2.又因为a2b2c2，所以b21，故双曲线C的方程为y21.(2)将ykx代入y21中，得(13k2)x26kx90，由直线l与双曲线交于不同的两点得即k2且k22得xAxByAyB2，而xAxByAyBxAxB(kxA)(kxB)(k21)xAxBk(xAxB)2(k21)2，于是2，解此不等式得k23.由得k21.故k的取值范围是.
